徐 彥，成 強，黃 河，周 鑫，李 明

（1.中國航天科技集團有限公司空間結(jié)構(gòu)與機構(gòu)技術(shù)實驗室,上海201108；2.浙江大學(xué)航空航天學(xué)院，浙江杭州310027；3.西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西西安710072）

固面反射面因具有非常高的型面精度而廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星的口徑天線。然而，固面反射面的結(jié)構(gòu)形式導(dǎo)致其口徑尺寸受到限制及收納性能較差，進而無法提高天線的增益，影響天線的適用范圍。采用固面反射面可展開的形式能有效增大其口徑和提高其收納性能。

目前，可展開固面反射面天線大多采用以中心對稱的花瓣式旋轉(zhuǎn)收納的可展開結(jié)構(gòu)形式［1-7］，其收納比可降低至0.3～0.4［1］。其中，大型花瓣式空間望遠鏡（large petal-type space mirror，LPSM）模型［3］和新型花瓣式可展開固面反射面天線（new petal-type de-ployable solid surface antenna，NPDSSA）［1］采用的是完整單葉片沿正交雙軸展開的形式；美國湯普森·拉莫·伍爾德里奇（簡稱TRW）公司研發(fā)的花瓣式可展開（extended flower）天線模型［8］和固面可展開天線（solid surface deployable antenna，SSDA）模型［9］采用的是葉片通過多個鉸鏈實現(xiàn)折疊和展開的形式。上述模型和天線的每一個葉片都有2個甚至更多的轉(zhuǎn)動副，這導(dǎo)致可展開結(jié)構(gòu)的可靠性較低。而俄羅斯列別捷夫物理研究所天文空間中心（Astro Space Cen-ter of Lebedev Physical Institute）提出的10 m口徑光譜-M太空望遠鏡［10］的可展開反射面采用完整單葉片繞單軸旋轉(zhuǎn)的方式，減少了轉(zhuǎn)動副的數(shù)量，從而提高了可展開結(jié)構(gòu)的可靠性。

基于單葉片繞單軸旋轉(zhuǎn)的原理，筆者主要探究了花瓣式可展開固面反射面天線葉片繞正交雙軸旋轉(zhuǎn)展開和繞單軸旋轉(zhuǎn)展開的對應(yīng)關(guān)系及相應(yīng)的設(shè)計方法，并通過實例驗證其展開過程，旨在為繞單軸旋轉(zhuǎn)展開的固面反射面的設(shè)計與分析提供參考。

1 繞雙軸旋轉(zhuǎn)與繞單軸旋轉(zhuǎn)的等效變換設(shè)計

繞正交雙軸旋轉(zhuǎn)的固面可展開天線［1］以葉片自身的對稱軸和與中心圓盤邊緣相切的軸線為2個正交的旋轉(zhuǎn)軸進行展開：先繞葉片自身的對稱軸旋轉(zhuǎn)θ，再繞與中心圓盤邊緣相切的軸線旋轉(zhuǎn)ω，最終展開到位。如圖1所示，將拋物反射面分割成中心圓盤和環(huán)向等分的拋物面葉片，曲面CDFE是以平面XOZ為對稱平面的主要參考葉片，中心圓盤在平面XOY上的投影半徑為r，完整拋物反射面在平面XOY上的投影半徑為R，則參考葉片在平面XOY上的投影半徑的范圍為［r，R］。定義與中心圓盤邊緣相切的軸線A1A2到中心圓盤頂點O在X方向的投影距離為m，沿Z方向到拋物面的距離為a；葉片自身的對稱軸B1B2的中心沿X方向的投影距離為l，沿Z方向到拋物面的距離為b。

根據(jù)Euler定理，任意一種旋轉(zhuǎn)變換都可以歸結(jié)為若干個繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的組合。因此，通過坐標變換，將上述葉片先后繞2條正交軸線B1B2和A1A2的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為繞空間內(nèi)某個軸線矢量n=（nx，ny，nz）T旋轉(zhuǎn)φ，得到等效的展開結(jié)果。

在參考葉片CDEF旋轉(zhuǎn)到C'D'E'F'的過程中，通過坐標的旋轉(zhuǎn)變換，在考慮||n||=1的情況下，可得單軸軸線矢量n、單軸旋轉(zhuǎn)角φ與雙軸旋轉(zhuǎn)角θ、ω之間的關(guān)系為：

式（1）還可以表示為：（x-x0）/nx=（y-y0）/ny=（z-z0）/nz=p，其中點（x0，y0，z0）在該軸線上。

設(shè)葉片CDEF上任意一點M的初始坐標為（xM，yM，zM），通過文獻［1］中的雙軸旋轉(zhuǎn)坐標公式可求得旋轉(zhuǎn)后葉片C'D'E'F'上點M'的坐標為（xM'，yM'，zM'），M點在單軸軸線上的垂足H的坐標為（xH，yH，zH）。由相應(yīng)幾何關(guān)系可知，矢量MH垂直于該單軸軸線矢量n，且點M和點M'到垂足H的距離相等，則可得待求軸線上點的坐標，即由軸線矢量n和軸線上某一點的坐標即可確定該單軸在空間中的位置。因此，通過式（1）和式（2）可以將繞正交雙軸旋轉(zhuǎn)展開等效變換為繞空間內(nèi)某一單軸旋轉(zhuǎn)展開。

2 繞單軸旋轉(zhuǎn)的固面可展開天線展開實例

基于上述繞雙軸與單軸旋轉(zhuǎn)的等效變換設(shè)計原理，設(shè)計了一個10 m口徑星載固面可展開天線。該天線反射面的拋物面方程為x2+y2=12 000z，其焦距f=3 000 mm，反射面半徑R=5 000 mm，中心圓盤半徑r=1 600 mm，葉片數(shù)N=20，則π/N=9°；參考葉片的設(shè)計參數(shù)為：a=120 mm，b=120 mm，m=1 200 mm，l=2 400 mm。當葉片繞雙軸旋轉(zhuǎn)展開時，首先繞軸線B1B2旋轉(zhuǎn) -45°，再繞軸線A1A2旋轉(zhuǎn)-75°，即θ=-45°，ω=-75°。

葉片CDEF的4個角點的初始坐標為：C（4 938.44，-782.17，2 083.33）mm，D（4 938.44，782.17，2 083.33）mm，E（1 580.30，-250.30，213.33）mm，F(xiàn)（1 580.30，250.30，213.33）mm。由文獻［1］中雙軸旋轉(zhuǎn)坐標公式可求得4個角點旋轉(zhuǎn)后的坐標為：C'（108.55，665.50，4 162.77）mm，D'（1 177.02，1 771.66，3 876.48）mm，E'（879.92，-280.69，479.48）mm，F(xiàn)'（1 221.83，73.28，387.87）mm。

將θ=-45°，ω=-75°代入式（1）和式（2）中，可得：n=（0.446 299，0.826 765，0.342 457）T，φ=-85.73°。

再從C、D、E、F中任意選取其中2點（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2），并根據(jù)第1節(jié)所述的幾何關(guān)系建立6個方程，聯(lián)立方程組可求得所選2點在單軸軸線上垂足的坐標為：（x1H，y1H，z1H）=（1 876.7，1041.3，855.2）mm，（x2H，y2H，z2H）=（1 230.2，-156.3，359.1）mm。

由此可以確定單軸在空間內(nèi)的位置以及參考葉片繞該軸線的旋轉(zhuǎn)角度φ，最終得到固面可展開天線繞單軸旋轉(zhuǎn)的等效模型。

3 繞單軸旋轉(zhuǎn)的固面可展開天線展開過程的驗證

根據(jù)上述實例，建立固面可展開天線的ADAMS（automatic dynamic analysis of mechanical systems，機械系統(tǒng)動力學(xué)自動分析）模型。以單一葉片完全展開狀態(tài)作為初始狀態(tài)，分別繞雙軸旋轉(zhuǎn)和單軸旋轉(zhuǎn)完成收攏。葉片繞雙軸旋轉(zhuǎn)和單軸旋轉(zhuǎn)的收攏過程如圖2和圖3所示。通過對比參考葉片的最終收攏狀態(tài)可知，繞單軸旋轉(zhuǎn)模型的展開效果等效于繞雙軸旋轉(zhuǎn)模型，說明本文的設(shè)計方法是可行、有效的。

固面可展開天線繞單軸旋轉(zhuǎn)的展開過程如圖4所示，由電機驅(qū)動各旋轉(zhuǎn)軸展開葉片。結(jié)果顯示各葉片之間無相互干擾且展開過程平穩(wěn)。

在同樣的外力和展開條件下，在天線繞單軸旋轉(zhuǎn)和雙軸旋轉(zhuǎn)的展開過程中鉸鏈受到的力和扭矩的變化曲線分別如圖5和圖6所示。在天線繞單軸旋轉(zhuǎn)展開的過程中，每個葉片只有1個鉸鏈，而繞雙軸旋轉(zhuǎn)展開過程中每個葉片有2個鉸鏈。由圖5（a）和圖6（a）可知，盡管繞單軸旋轉(zhuǎn)展開時在展開的后半程鉸鏈所受的力略大于繞雙軸旋轉(zhuǎn)展開時任一鉸鏈所受的力，但是雙鉸鏈的構(gòu)造導(dǎo)致繞雙軸旋轉(zhuǎn)時在2個鉸鏈位置處產(chǎn)生了作用力及初始突變峰值，這大大降低了固面可展開天線的整體可靠性。對比圖5（b）和圖6（b）可知，雖然繞單軸旋轉(zhuǎn)展開天線中葉片上的鉸鏈所受扭矩也大于繞雙軸旋轉(zhuǎn)展開天線中葉片上任一鉸鏈的扭矩，但繞雙軸旋轉(zhuǎn)展開天線的2個鉸鏈均承受與繞單軸旋轉(zhuǎn)展開同一數(shù)量級的扭矩，因此繞雙軸旋轉(zhuǎn)展開天線中的鉸鏈所承受的扭矩更大，對展開過程產(chǎn)生了一定的影響。

圖2 參考葉片繞雙軸旋轉(zhuǎn)的收攏過程Fig.2 Folding process of reference blade rotating along two axes

圖3 參考葉片繞單軸旋轉(zhuǎn)的收攏過程Fig.3 Folding process of reference blade rotating along a single axis

從多體運動的角度分析，相較于繞雙軸旋轉(zhuǎn)，繞單軸旋轉(zhuǎn)大大減少了剛體和轉(zhuǎn)動副的數(shù)量，在保證結(jié)構(gòu)平穩(wěn)展開的基礎(chǔ)上，大幅度降低了多運動副間的作用力，提高了這類可展開結(jié)構(gòu)的展開可靠性。

圖4 固面可展開天線繞單軸旋轉(zhuǎn)的展開過程Fig.4 Deploying process of solid-surface deployed antenna rotating along a single axis

圖5 天線繞單軸旋轉(zhuǎn)展開過程中鉸鏈的受力Fig.5 The force on the hinge during the deploying process of antenna rotating along a single axis

圖6 天線繞雙軸旋轉(zhuǎn)展開過程中鉸鏈的受力Fig.6 The forces on the hinges during the deploying process of antenna rotating along two axes

4 結(jié)論

通過繞雙軸旋轉(zhuǎn)與繞單軸旋轉(zhuǎn)的等效變換設(shè)計，將目前廣泛應(yīng)用的繞正交雙軸旋轉(zhuǎn)的固面可展開天線簡化成繞單軸旋轉(zhuǎn)的等效形式，并提出了簡單可行的設(shè)計方法，減少了花瓣式旋轉(zhuǎn)固面可展開天線的轉(zhuǎn)動副數(shù)量，提高了天線結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性和展開可靠性，降低了天線的設(shè)計難度與制造成本，這對固面可展開天線的設(shè)計和分析有重要的參考價值。