朱小扣 樊惟媛
(1.安徽省無(wú)為第三中學(xué)城北校區(qū) 238300;2.上海市嘉定區(qū)第一中學(xué) 201808)
柯西不等式在競(jìng)賽中不等式的證明與代數(shù)式最值的計(jì)算,有著十分重要的作用.與此同時(shí),柯西不等式經(jīng)常也與其他不等式結(jié)合使用,能解決出很多有難度的試題.本文旨在幫助同學(xué)們突破有關(guān)柯西不等式運(yùn)用的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題.
當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi,即ai,bi(i=1,2,3,…,n)成比例時(shí)取等號(hào).
1.柯西不等式的直接運(yùn)用
例1 (2018年河北初賽題)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmin=____.
解由柯西不等式得:(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,故(3-z2)·5≥(4+2z)2
例1是通過(guò)移項(xiàng)把z移到一邊,從而對(duì)x,y用柯西不等式,得到了z的范圍.
≤(x2+2-x2)(1-x2+x2)=2.
例3 (2018年河南初賽)已知cos(α-β)=cosα+cosβ,試求cosα的最大值.
解由cos(α-β)=cosα+cosβ得:cosβ(cosα-1)+sinβsinα=cosα.
由柯西不等式得:
cos2α=[cosβ(cosα-1)+sinβsinα]2
≤(cos2β+sin2β)[(cosα-1)2+sin2α]
評(píng)析由柯西不等式可以直接求出上面這一類(lèi)題的最值,特別在例2,例3中的應(yīng)用,應(yīng)該引起大家的重視.
2.結(jié)合待定系數(shù)法使用
解由柯西不等式得:
于是,
利用待定系數(shù)法與柯西不等式也是解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法.此法不僅可以求出含兩個(gè)根號(hào)的函數(shù)的最大值,只要用法得當(dāng),還可以求出含多個(gè)根號(hào)的函數(shù)的最大值.
解由柯西不等式并結(jié)合待定系數(shù)法可得:
由柯西不等式得:
[(1-t)2+(2-t)2+(3-t)2+(4-t)2+t2][a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2]
≥[(1-t)a+(2-t)b+(3-t)c+(4-t)d+t(a+b+c+d)]2=10.
于是,
a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2
評(píng)析運(yùn)用柯西不等式結(jié)合待定系數(shù)法可以解決很多類(lèi)似的題.待定系數(shù)法配湊系數(shù),是很有技巧性的,待定后配湊可進(jìn)一步延拓了柯西不等式解題范圍.
3.用其他的不等式預(yù)處理,再用柯西不等式
a2+b2+2≥(a+b)+(ab+1).
于是,由柯西不等式可得:
≥(1+1)2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=1時(shí)取等號(hào).
像上面的題,無(wú)法直接用柯西不等式,必須用其他不等式預(yù)處理下.又如:
例8 (數(shù)學(xué)通訊問(wèn)題306)已知正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足abc=1,求證:
≥(1+1+1)2=9.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào).
評(píng)析以后,當(dāng)我們看到一題無(wú)法直接用柯西不等式解決時(shí),不能放棄柯西不等式,要想到先運(yùn)用均值不等式,配方等方法預(yù)處理后,再用柯西不等式試試.
4.先用柯西不等式處理,再用其他不等式證明題目
例9 (2018年陜西省聯(lián)賽二試)設(shè)a,b,c,均為正實(shí)數(shù),求證:
證明由柯西不等式可得:
故只需證:
由均值不等式,得:
故只需證:
≥2(ab+bc+ca)①.
令a=x2,b=y2,c=z2,則由舒爾不等式及均值不等式得:
=x4+y4+z4+xyz(x+y+z)
≥x3(y+z)+y3(z+x)+z3(x+y)
≥2(x2y2+y2z2+z2x2)=2(ab+bc+ca),
即①式成立,故原不等式成立.
例11 (2018年廣西預(yù)賽)設(shè)a1,a2,…,an為非負(fù)數(shù),求證:
證明用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k為正整數(shù))時(shí),結(jié)論對(duì)任意k個(gè)非負(fù)數(shù)成立.則n=k+1時(shí),對(duì)任意k+1個(gè)非負(fù)數(shù)a1,a2,…,ak,ak+1,根據(jù)歸納假設(shè)有:
從而有:
下面證明:
由柯西不等式可得:
于是有:
故
即①式成立,于是,n=k+1時(shí),結(jié)論成立.
綜合(1)(2),對(duì)任意非負(fù)數(shù)a1,a2,…,an,結(jié)論都成立.
評(píng)析在解決一道難題時(shí),也可用柯西不等式先處理下,再用其他的方法如數(shù)學(xué)歸納法去證明.這體現(xiàn)了考察柯西不等式與其他不等式知識(shí)的交匯十分頻繁,我們必須要掌握好柯西不等式.
柯西不等式在解題中既有一定的獨(dú)立性,又經(jīng)常與其他知識(shí)進(jìn)行交匯,所以通過(guò)柯西不等式能命制出很多精彩的試題,我們要想做出這些題目,必須要非常了解柯西不等式的運(yùn)用及其延拓形式.以上是筆者對(duì)柯西不等式在解題中的四種運(yùn)用的一些見(jiàn)解,不足之處,希望各位專(zhuān)家批評(píng)指正.