空氣不耦合裝藥孔壁初始沖擊壓力的計(jì)算

張恒根，王衛(wèi)華，王永強(qiáng)

(中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083)

在確定不耦合裝藥系數(shù)等爆破參數(shù)時(shí)，孔壁初始沖擊壓力是重要的依據(jù)之一，對(duì)它的研究吸引了眾多學(xué)者的注意。在以往的研究中，有些學(xué)者主張利用計(jì)算爆轟產(chǎn)物壓力的方法得到不耦合裝藥時(shí)的孔壁壓力，如費(fèi)鴻祿等[1]以爆轟氣體動(dòng)力學(xué)及巖石斷裂理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了裝藥不耦合系數(shù)的計(jì)算公式。宗琦等[2]將爆生氣體膨脹充滿炮孔時(shí)的準(zhǔn)靜壓力作為孔壁初始?jí)毫?，得到了空氣墊層裝藥結(jié)構(gòu)軸向不耦合系數(shù)的計(jì)算方法。也有學(xué)者主張利用計(jì)算沖擊波壓力的方法得到不耦合裝藥時(shí)的孔壁壓力，如朱紅兵等[3]利用沖擊波理論分析了空氣間隔裝藥炮孔內(nèi)壓力波的傳播過(guò)程，得到了合理空氣層比例的確定方法。陳明等[4]推導(dǎo)了爆炸沖擊波與彈性壁碰撞后壓力增大倍數(shù)的理論解，提出了輪廓爆破孔壁壓力峰值的計(jì)算模型。杜俊林等[5]利用沖擊波的基本關(guān)系式計(jì)算了空氣不耦合裝藥時(shí)的孔壁壓力。還有學(xué)者用模擬及實(shí)驗(yàn)等其他方法對(duì)孔壁壓力進(jìn)行了研究，如王志亮等[6]對(duì)水不耦合裝藥爆破進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了孔壁壓力與不耦合系數(shù)之間的關(guān)系。V.R.Feldgun等[7]對(duì)爆破荷載的變化過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析對(duì)比。凌偉明[8]采用錳銅壓阻傳感器進(jìn)行了孔壁壓力測(cè)量的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了錳銅壓阻傳感器用于測(cè)試孔壁壓力的可行性。劉云川等[9]按照能量等效原則，給出了徑向不耦合裝藥條件下炮孔初始?jí)毫Φ挠?jì)算公式。樓曉明等[10]引入St-arfield迭加法，分析得到了上部空氣間隔裝藥和中部空氣間隔裝藥條件下孔壁初始沖擊壓力的計(jì)算公式。眾多其他學(xué)者[11-14]也研究了孔壁初始沖擊壓力問(wèn)題，提出了許多計(jì)算孔壁壓力的方法。

目前常用的計(jì)算不耦合裝藥孔壁初始沖擊壓力的方法是,先計(jì)算爆轟產(chǎn)物在炮孔內(nèi)做等熵膨脹后作用于孔壁的準(zhǔn)靜壓力，然后將準(zhǔn)靜壓力乘以壓力增大系數(shù)n，近似得到了孔壁巖石所受到的初始?jí)毫?。n一般取8～11。爆轟產(chǎn)物在炮孔內(nèi)的膨脹可以按照一階段或兩階段等熵膨脹計(jì)算[15]。當(dāng)不耦合系數(shù)比較小時(shí)，通常按照一階段等熵膨脹計(jì)算：

(1)

當(dāng)不耦合系數(shù)比較大時(shí)，按照兩階段等熵膨脹計(jì)算：

(2)

式(1～2)中：pt為透射入孔壁的初始沖擊壓力；ρw為炸藥的密度；D為爆轟波波陣面的速度；R為炮孔半徑；r為藥卷半徑；pk為兩階段交接點(diǎn)處的臨界壓力，中等威力的硝銨類炸藥pk一般取2.0×108Pa。

上述常用公式在理論上并不嚴(yán)密，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值往往相差較大。以往對(duì)于不耦合裝藥孔壁初始沖擊壓力計(jì)算方法的研究始終圍繞著不耦合裝藥的破巖機(jī)理，即由沖擊波破巖和爆生氣體破巖的理論展開(kāi)。由于確定爆破近區(qū)空氣沖擊波衰減和爆生氣體膨脹規(guī)律的困難性，以及爆轟波、空氣沖擊波與孔壁之間相互作用的復(fù)雜性和測(cè)試系統(tǒng)的局限性等原因，致使空氣不耦合裝藥條件下孔壁初始沖擊壓力較難確定。以往利用計(jì)算爆轟產(chǎn)物壓力的方法計(jì)算孔壁壓力時(shí)，往往事先假定忽略炮孔內(nèi)空氣層的存在，進(jìn)而忽略空氣沖擊波對(duì)孔壁的影響，這與事實(shí)不符，因?yàn)槔糜?jì)算沖擊波壓力的方法確定孔壁壓力時(shí)，往往將孔壁面作彈性面簡(jiǎn)化處理，且較少考慮空氣沖擊波傳播過(guò)程中的衰減。作者在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析不耦合裝藥爆轟后沖擊波作用于孔壁的物理過(guò)程，建立了空氣沖擊波在炮孔內(nèi)衰減傳播模型，利用該模型計(jì)算了空氣沖擊波對(duì)孔壁的入射壓力，再利用空氣沖擊波正入射時(shí)的界面處連續(xù)條件，獲得了孔壁初始沖擊壓力的計(jì)算公式，并將計(jì)算結(jié)果與常用公式的計(jì)算值、模擬值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 物理過(guò)程

為了比較合理地確定孔壁初始?jí)毫?，首先要清楚爆轟后沖擊波作用于孔壁的物理過(guò)程?？諝獠获詈涎b藥爆轟后，空氣沖擊波隨時(shí)間變化作用于孔壁的過(guò)程如圖1所示。

注：(1)區(qū)為未爆轟的藥卷；(2)區(qū)為炮孔內(nèi)的空氣層；(3)區(qū)為爆轟后還未膨脹的爆轟產(chǎn)物；(4)區(qū)為受膨脹波擾動(dòng)后開(kāi)始膨脹的爆轟產(chǎn)物；(5)區(qū)為空氣沖擊波過(guò)后被壓縮的空氣。圖1 空氣沖擊波隨時(shí)間變化作用于孔壁的過(guò)程Fig.1 The process of air shock wave acting on the hole wall with time

當(dāng)柱狀藥卷(1)孔底起爆時(shí)，爆轟波以半球面波的形式自藥卷底部向孔口方向傳播。爆轟波的波陣面在藥卷壁處以較小的傾斜角度β猛烈地撞擊藥卷周圍(2)區(qū)內(nèi)的空氣，并在接觸空氣的瞬間產(chǎn)生反射和透射。這個(gè)傾角β即為爆轟波對(duì)空氣介質(zhì)的入射角，由于入射角很小，可以近似地認(rèn)為爆轟波以正入射的方式接觸藥卷周圍的空氣。由于爆轟波后(3)區(qū)內(nèi)爆轟產(chǎn)物的沖擊阻抗遠(yuǎn)大于(2)區(qū)內(nèi)空氣介質(zhì)的沖擊阻抗，因此爆轟波在空氣介質(zhì)處的反射波為一膨脹波，反射的膨脹波可以理想化為經(jīng)由(3)區(qū)內(nèi)還未膨脹的爆轟產(chǎn)物向藥卷中心軸線上傳播的半徑不斷縮小的柱面波，受膨脹波的擾動(dòng)，(3)區(qū)內(nèi)未膨脹的爆轟產(chǎn)物即開(kāi)始膨脹。膨脹波的波陣面最終匯聚于藥卷中心的軸線上，并且在軸線上產(chǎn)生一個(gè)在(4)區(qū)內(nèi)已經(jīng)膨脹的爆轟產(chǎn)物中向外傳播的新反射波。爆轟波透射形成的空氣沖擊波經(jīng)(2)區(qū)內(nèi)的空氣層向孔壁傳播，由于壓縮(5)區(qū)內(nèi)的空氣散失能量致使空氣沖擊波在空氣層中傳播時(shí)，其峰值壓力和波陣面的速度會(huì)逐漸衰減。最后，衰減后的空氣沖擊波會(huì)以正入射的方式作用于孔壁巖石上，產(chǎn)生反射和透射。由于巖石的沖擊阻抗遠(yuǎn)大于(2)區(qū)內(nèi)空氣介質(zhì)的沖擊阻抗，因此空氣沖擊波在孔壁處的反射波仍為沖擊波，反射的沖擊波同樣可以理想化為經(jīng)由(4)區(qū)內(nèi)已經(jīng)膨脹的爆轟產(chǎn)物向炮孔中心軸線上傳播的半徑不斷減小的柱面波，并在其波陣面匯聚于炮孔中心的軸線上后向外傳播一個(gè)新的反射波。由于這個(gè)新的反射波在爆轟產(chǎn)物中傳播時(shí)，氣態(tài)爆轟產(chǎn)物已經(jīng)迅速膨脹，充滿了整個(gè)炮孔，故可以認(rèn)為在爆轟氣體接觸孔壁之前，爆轟擾動(dòng)空氣產(chǎn)生的空氣沖擊波在孔壁的透射沖擊波參數(shù)即為孔壁初始沖擊參數(shù)。

2 衰減規(guī)律

爆轟擾動(dòng)空氣形成的初始空氣沖擊波以柱面波的形式向孔壁傳播，由于柱面半徑的增大，其波陣面單位面積上的能量將不斷減少，被壓縮后的空氣由于熵值的增大，會(huì)將部分動(dòng)能不可逆的轉(zhuǎn)化為熱能，這些能量的散失致使空氣沖擊波在到達(dá)孔壁時(shí)，其峰值壓力和波陣面的速度已迅速下降，另外隨著沖擊波寬度的增加，對(duì)空氣的正壓作用時(shí)間也不斷加長(zhǎng)。

空氣沖擊波在炮孔空氣層中衰減傳播的計(jì)算模型如圖2所示，其中Da、pa、μa、ρa(bǔ)分別表示空氣沖擊波在炮孔內(nèi)傳播距離為x時(shí)波陣面的速度、壓力、質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度和密度；p0、ρ0、μ0分別表示空氣沖擊波前未受擾動(dòng)的空氣的壓力、密度和質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度。未受擾動(dòng)的空氣處于靜止?fàn)顟B(tài)，μ0=0，ρ0=1.2 kg/m3。

圖2 空氣沖擊波在炮孔空氣層內(nèi)衰減傳播模型Fig.2 Attenuation propagation model of air shock wave in the air layer of blasthole

假定當(dāng)空氣沖擊波在炮孔內(nèi)的傳播距離為x時(shí)，途經(jīng)的空氣受其擾動(dòng)，質(zhì)量全部集中于波陣面附近厚度為Δr的薄層之中。由于空氣沖擊波波陣面的壓力pa很強(qiáng)，波前靜止空氣的壓力p0可以忽略，于是空氣沖擊波滿足強(qiáng)沖擊波的基本關(guān)系式[16]如下：

(3)

(4)

(5)

式中：k為絕熱指數(shù)，一般取1.3。

(6)

(7)

式中：pw為爆生氣體的平均爆轟壓力，pw=ρwD2/2(γ+1)；Vw為裝藥體積，Vw=πr2l，l為炮孔長(zhǎng)度，裝藥系數(shù)為1；Vk為爆生氣體壓力為pk時(shí)的體積；px為爆生氣體膨脹到距藥卷中心x處時(shí)的平均壓力；Vx為爆生氣體壓力為px時(shí)的體積，Vx=πx2l。

由界面條件可知，在薄層與爆生氣體的交界處，界面兩側(cè)的壓力相等，則

(8)

令pc等于波陣面壓強(qiáng)pa的θ倍，對(duì)薄層內(nèi)的空氣應(yīng)用牛頓第二定律，得

(9)

式中：m為被空氣沖擊波所席卷的空氣的質(zhì)量，m=π(x2-r2)lρ0。

將式(3)和式(4)代入式(9)化簡(jiǎn)得

(10)

可以將上式寫(xiě)為

(11)

對(duì)兩邊積分得Da=A(x2-r2)θ-1，其中A為積分常數(shù)。

(12)

單位質(zhì)量的理想氣體，其內(nèi)能為

e=pν/(k-1)

(13)

式中：p和ν分別表示氣體的壓力和比容。

假設(shè)空氣薄層內(nèi)壓力呈線性變化，則薄層內(nèi)空氣的內(nèi)能ET為

(14)

將式(4)和式(5)代入式(14)并替換掉m和Da可得

(15)

爆炸傳遞給沖擊波的總能量EO為

(16)

在對(duì)爆轟擾動(dòng)空氣形成的初始沖擊波參數(shù)的計(jì)算過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，空氣沖擊波的傳播速度要大于爆轟產(chǎn)物的噴流速度[15]，故可以認(rèn)為空氣沖擊波對(duì)空氣的裹挾要快于爆轟產(chǎn)物膨脹對(duì)空氣的壓縮，進(jìn)而認(rèn)為爆轟產(chǎn)物在膨脹到孔壁前為自由膨脹，對(duì)炮孔內(nèi)的空氣做功為零。爆轟傳遞給沖擊波的總能量EO為一定值，即EO為與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，故

2θ-1=0

(17)

得θ=1/2。

借助于式(8)求得的pc值，可以計(jì)算出當(dāng)空氣沖擊波傳播到孔壁時(shí)，即當(dāng)x=R時(shí)，空氣沖擊波對(duì)孔壁的入射壓力pa為

(18)

利用強(qiáng)沖擊波的基本關(guān)系式和pa值可得,當(dāng)空氣沖擊波傳播到孔壁時(shí)，入射空氣沖擊波波陣面的速度Da和質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度μa分別為

(19)

(20)

將式(16)變換后代入Da=A(x2-r2)θ-1，并化簡(jiǎn)得

(21)

將式(21)代入式(3)和式(4)可得

(22)

(23)

由式(21)～(23)得到空氣沖擊波參數(shù)隨傳播距離的衰減關(guān)系(見(jiàn)圖3～圖4)。

圖3 空氣沖擊波波陣面速度和質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度隨傳播距離的衰減Fig.3 Attenuation of wave front velocity and particle moving velocity of air shock wave with propagation distance

圖4 空氣沖擊波波陣面壓力隨傳播距離的衰減Fig.4 Attenuation of wave front pressure of air shock wave with propagation distance

從圖3和圖4可以看出，空氣沖擊波在炮孔內(nèi)空氣層中傳播時(shí)，波陣面的速度、壓力和質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度會(huì)隨傳播距離的增加呈指數(shù)型衰減，波陣面壓力的衰減速度要比波陣面速度和波陣面質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度衰減的快。空氣沖擊波參數(shù)的大小與爆炸傳遞給沖擊波的總能量和藥卷長(zhǎng)度之間存在線性關(guān)系，爆炸傳遞給沖擊波的總能量越強(qiáng)，則沖擊波的參數(shù)越大?？諝鉀_擊波的衰減規(guī)律如下：

(24)

3 初始參數(shù)計(jì)算

空氣沖擊波傳播到孔壁時(shí)即產(chǎn)生反射和透射，在求解透射波的初始參數(shù)時(shí)，以往的研究中多將孔壁面作為彈性面處理，認(rèn)為透射波是直接以應(yīng)力波的形式在孔壁巖石中傳播的，進(jìn)而應(yīng)用彈性理論求解孔壁的初始沖擊壓力[16]。實(shí)際上，空氣沖擊波正入射孔壁之后，在已經(jīng)膨脹的爆轟產(chǎn)物中傳播的反射波和在孔壁巖石中傳播的透射波均為沖擊波，且反射沖擊波和透射沖擊波波陣面的壓力會(huì)因巖石波阻抗的增大而大于入射空氣沖擊波波陣面的壓力?？諝鉀_擊波在孔壁處的壓力變化如圖5所示。

注：pa，μa分別表示空氣沖擊波傳播到孔壁時(shí)波陣面的壓力和質(zhì)點(diǎn)速度；pt，μt分別表示在孔壁巖石中傳播的透射沖擊波波陣面的壓力和質(zhì)點(diǎn)速度；μs表示反射沖擊波波陣面的質(zhì)點(diǎn)速度，其與空氣沖擊波的傳播方向相反；pr，μr，ρr分別表示透射沖擊波前未受擾動(dòng)的巖石的壓力、質(zhì)點(diǎn)速度和密度。圖5 空氣沖擊波在孔壁處的透、反射Fig.5 The transmission and reflection of the air shock wave at the hole wall

未受擾動(dòng)的巖石處于靜止?fàn)顟B(tài)，μr=0。空氣與巖石交界面兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)的移動(dòng)速度是相等的，因此在交界面上有

μt=μa-μs

(25)

對(duì)反射沖擊波應(yīng)用沖擊波后質(zhì)點(diǎn)速度方程可得

(26)

式中：ca，ct分別為反射沖擊波波前和波后介質(zhì)的比容。

反射沖擊波的沖擊絕熱線可以寫(xiě)為

(27)

將式(26)和式(27)代入式(25)可得

(28)

將式(18)和式(20)以及ca=(k-1)/(k+1)ρ0代入式(28)可得

(29)

對(duì)在巖石中傳播的透射沖擊波可用沖擊波后的質(zhì)點(diǎn)速度方程計(jì)算，由于pt?pr，方程中的pr可以忽略，得

(30)

式中：ρt為受透射沖擊波擾動(dòng)后巖石的密度。

巖石的狀態(tài)方程為[17]

(31)

式中：Cr為未受擾動(dòng)的巖石中的縱波波速；B為常數(shù)。

當(dāng)炸藥的密度ρw，爆速D，炮孔半徑R和藥卷半徑r已知時(shí)，由式(18)和式(29)～式(31)即可求得孔壁初始沖擊壓力pt。

4 結(jié)果對(duì)比與討論

文獻(xiàn)[8]采用錳銅壓阻傳感器實(shí)驗(yàn)測(cè)量了水泥砂漿試件在空氣不耦合裝藥條件下的孔壁壓力，文獻(xiàn)[12]利用ANSYS/LS-DYNA軟件對(duì)文獻(xiàn)[8]中的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行了數(shù)值模擬。采用文獻(xiàn)[8]中的巖石和炸藥參數(shù)以及不耦合系數(shù)，炸藥密度ρw=1.0 g/cm3，爆速D=3 200 m/s，水泥砂漿試件未受擾動(dòng)時(shí)的密度ρr=2.2 g/cm3，縱波波速Cr=3 200 m/s，壓力增大系數(shù)n取8，炮孔直徑40 mm，分別代入2個(gè)常用公式和本文推導(dǎo)的方程組中計(jì)算孔壁初始?jí)毫?，將?jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]的實(shí)測(cè)值及文獻(xiàn)[12]的模擬值共同繪制于圖6中。

圖6 本文計(jì)算結(jié)果與模擬值、實(shí)測(cè)值的比較Fig.6 Comparison of calculated results with simulated and measured values

從圖6可以看出，用本文推導(dǎo)方程組計(jì)算的孔壁初始?jí)毫Ρ瘸Ｓ霉降挠?jì)算值和模擬值更接近于實(shí)測(cè)值。當(dāng)不耦合系數(shù)為1.14時(shí)，方程組計(jì)算的孔壁初始?jí)毫?，與實(shí)測(cè)值誤差為8%；當(dāng)不耦合系數(shù)為1.6時(shí)，誤差為21%，均小于模擬值和常用公式計(jì)算值相對(duì)于實(shí)測(cè)值的誤差。方程組計(jì)算值與實(shí)測(cè)值隨不耦合系數(shù)變化的趨勢(shì)也較為一致。數(shù)值模擬的結(jié)果與實(shí)測(cè)值相比，可靠度為80%左右[12]。

常用公式的計(jì)算結(jié)果比實(shí)測(cè)值小很多。常用公式依據(jù)沖擊波在炮孔壁的透、反射致使孔壁入射壓力增強(qiáng)的觀點(diǎn)得出，計(jì)算時(shí)將爆生氣體的準(zhǔn)靜態(tài)壓力作為沖擊波對(duì)孔壁的入射壓力，理論上并不嚴(yán)密。其中n的取值直接影響到孔壁壓力的計(jì)算值。n的取值與裝藥結(jié)構(gòu)、炸藥特性和巖體介質(zhì)等多種因素有關(guān)，且應(yīng)當(dāng)隨不耦合系數(shù)的變化而變化，因此想要比較合理的確定n值是比較困難的[4]。

如果在方程組的推導(dǎo)過(guò)程中將爆生氣體在炮孔內(nèi)的膨脹按照一階段的等熵膨脹計(jì)算，則此時(shí)用方程組計(jì)算的孔壁入射壓力值即為爆轟波波陣面的壓力，可得到耦合裝藥時(shí)孔壁壓力的計(jì)算方程組，其與文獻(xiàn)[11]中推導(dǎo)的耦合裝藥時(shí)巖體中爆炸沖擊波參數(shù)的計(jì)算公式一致。

文獻(xiàn)[18]利用彈性波動(dòng)理論得出了耦合裝藥時(shí)透射波初始?jí)毫Φ挠?jì)算公式為

(32)

將文獻(xiàn)[8]中的巖石與炸藥參數(shù)代入式(32)計(jì)算得耦合裝藥時(shí)的孔壁壓力為3.52 GPa，與實(shí)驗(yàn)值和模擬值相差較大。方程組計(jì)算的耦合裝藥時(shí)的孔壁壓力為8.14 GPa，與實(shí)驗(yàn)值誤差僅為4.5%，遠(yuǎn)小于模擬值和式(32)計(jì)算值較實(shí)驗(yàn)值的誤差。

筆者在求解薄層內(nèi)側(cè)壓力時(shí)，假設(shè)爆生氣體內(nèi)壓力均勻分布，這樣會(huì)導(dǎo)致當(dāng)不耦合系數(shù)較小時(shí)，計(jì)算的空氣沖擊波對(duì)孔壁的入射壓力值偏大，從而使孔壁壓力計(jì)算值偏大。其原因是當(dāng)不耦合系數(shù)較小時(shí)，炮孔內(nèi)孔隙較小，爆生氣體的膨脹空間有限，將爆生氣體內(nèi)壓力做均壓處理會(huì)使計(jì)算的入射沖擊波壓力增大，導(dǎo)致計(jì)算的孔壁壓力值偏大。

5 結(jié)論

1)空氣不耦合裝藥時(shí)，爆轟擾動(dòng)形成的空氣沖擊波在炮孔內(nèi)的空氣層中傳播時(shí)，波陣面的速度、壓力和質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度會(huì)隨距離的增加呈指數(shù)型衰減。

2)空氣不耦合裝藥時(shí)孔壁初始沖擊壓力會(huì)隨裝藥不耦合系數(shù)的增大先迅速減小后趨于穩(wěn)定值。

3)與經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算值和模擬值相比，本文推導(dǎo)方程組的計(jì)算值較實(shí)驗(yàn)值誤差更小。如果將爆生氣體的膨脹作一階段等熵膨脹考慮時(shí)，該方程組也能較好的計(jì)算耦合裝藥時(shí)的孔壁壓力。