黃小華， 李雙， 金艷麗， 何小橋， 王家明

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧 530004；2. 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；3. 香港城市大學(xué) 建筑學(xué)及土木工程學(xué)系，香港 999077)

材料在生產(chǎn)和使用過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一系列細(xì)小裂紋而帶縫工作，這些裂縫極有可能導(dǎo)致材料的破壞，甚至結(jié)構(gòu)的失效[1]。因此在材料中預(yù)制裂紋，研究裂紋擴(kuò)展規(guī)律是解決含缺陷材料破壞問(wèn)題的一種較為常見(jiàn)的手段。有限元等基于傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的數(shù)值方法在結(jié)構(gòu)變形分析中取得了巨大的成功，但是它在不連續(xù)處沒(méi)有定義，存在奇異性，在解決材料的破壞問(wèn)題上舉步維艱。新近興起的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論[2]采用位移的空間積分形式完全重構(gòu)了傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，這種積分型方程在不連續(xù)處仍有定義，且形式不變，實(shí)現(xiàn)了對(duì)連續(xù)介質(zhì)和非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)行為的統(tǒng)一描述，能模擬材料中裂紋自發(fā)地萌生和擴(kuò)展，是一種特別適合模擬材料破壞的力學(xué)理論和方法。Silling[2]提出了鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，它將物質(zhì)點(diǎn)間的相互作用視為它們中心受力的鍵，這種中心力模型只有一個(gè)參數(shù)，即鍵剛度(或微觀模量)，稱(chēng)為傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型(或單參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，bond-based peridynamics，BPD)。

均勻各向同性線(xiàn)彈性材料的力學(xué)屬性須由2個(gè)獨(dú)立的彈性參數(shù)才能完全表述，采用單參數(shù)鍵基PD模型描述其力學(xué)行為時(shí)，2個(gè)獨(dú)立彈性參數(shù)將被縮減為1個(gè)參數(shù)，必然導(dǎo)致某一個(gè)彈性參數(shù)將以恒定的形式固化到中心力模型中。例如泊松比參數(shù)被固化成常數(shù)，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，泊松比只能是1/3，平面應(yīng)變狀態(tài)和三維應(yīng)力狀態(tài)下，泊松比只能是1/4[3]。毫無(wú)疑問(wèn)，這種泊松比恒定的要求大大限制了傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論的適用范圍。為此，Silling[4]又提出了態(tài)基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，它是通過(guò)考慮兩物質(zhì)點(diǎn)鄰域內(nèi)所有鍵的集合作用來(lái)增強(qiáng)材料的本構(gòu)描述。與鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型中2物質(zhì)點(diǎn)間的作用僅由它倆自身決定不同，態(tài)基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型中2物質(zhì)點(diǎn)間的作用須考慮2物質(zhì)點(diǎn)鄰域內(nèi)所有物質(zhì)點(diǎn)[5]，是一種典型的多體相互作用。因此，態(tài)基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法的計(jì)算復(fù)雜性以及對(duì)資源的耗費(fèi)都較鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)有了更高的要求。于是，為了保留傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型的簡(jiǎn)單性以及數(shù)值實(shí)施的穩(wěn)定性，部分學(xué)者仍立足于鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型的兩體間相互作用，通過(guò)引入切向鍵[6-8]、引入鍵的轉(zhuǎn)角[9]、力量補(bǔ)償方案[10]或以梁換鍵[11-12]等方式擴(kuò)展鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，突破了泊松比的限制。其中，通過(guò)引入切向鍵或鍵的轉(zhuǎn)角等方式增加2物質(zhì)點(diǎn)間的切向作用較為便捷，對(duì)傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型改動(dòng)很小。Prakash等[9]通過(guò)引入法向彈簧，提出一種二維雙參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型。Zhou等[6-7]基于超彈性理論提出一種三維兩參數(shù)共軛鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型。Zhu[8]等通過(guò)增加鍵的轉(zhuǎn)角，提出雙參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型。當(dāng)泊松比取上述恒定值時(shí)(如在平面應(yīng)力狀態(tài)下，泊松比取1/3)，兩參數(shù)都能退化為單參數(shù)。但一些模型[6-7,9]退化后的參數(shù)與傳統(tǒng)單參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的參數(shù)并不相同。

本文在BPD模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)鍵內(nèi)直接添加切向剛度系數(shù)，提出一種單鍵雙參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型(TBPD)，推導(dǎo)模型的雙參數(shù)與材料彈性參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立TBPD模型單鍵斷裂條件。然后探討不同泊松比下BPD模型和TBPD模型的適用性，最后，采用TBPD模型，研究裂紋間距和隨機(jī)分布的細(xì)小裂紋對(duì)平行雙裂紋薄板破壞的影響。

1 單鍵雙參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法

1.1 理論模型

傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型認(rèn)為宏觀連續(xù)體在其所在空間域Ω內(nèi)由大量物質(zhì)點(diǎn)組成，物質(zhì)點(diǎn)以初始構(gòu)型的位置X作為標(biāo)記，攜有體積VX和質(zhì)量密度ρ。任一物質(zhì)點(diǎn)X僅在其有限的“域”內(nèi)通過(guò)鍵與其他物質(zhì)點(diǎn)X′存在相互作用力f。域是以該物質(zhì)點(diǎn)為中心，以δ為半徑的范圍，記域內(nèi)所有其他物質(zhì)點(diǎn)為Hδ={X′∈Ω:|X′-X|≤δ}，據(jù)牛頓第二定律，物質(zhì)點(diǎn)X在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型將物質(zhì)點(diǎn)間的相互作用視為它們中心受力的鍵，鍵僅有一個(gè)剛度系數(shù)，表示法向作用，故這里稱(chēng)之為單鍵單參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型。

在傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)鍵內(nèi)直接添加切向剛度系數(shù)，使其具有法向和切向雙剛度，并稱(chēng)之為單鍵雙參數(shù)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 TBPD模型中鍵的運(yùn)動(dòng)示意Fig.1 Motion of a bond in TBPD model

(2)

此時(shí)，X和X′間鍵的微觀彈性應(yīng)變密度(單位體積的應(yīng)變能密度)為:

(3)

將每個(gè)鍵的應(yīng)變能都等分給鍵兩端的物質(zhì)點(diǎn)，則物質(zhì)點(diǎn)X的宏觀彈性應(yīng)變能密度為：

(4)

對(duì)點(diǎn)力f是鍵的微觀彈性應(yīng)變能密度ω對(duì)該鍵相對(duì)位移矢量η的導(dǎo)數(shù)：

(5)

以示區(qū)別，傳統(tǒng)BPD模型的對(duì)點(diǎn)力[14]為：

(6)

(7)

則式(6)可改寫(xiě)為：

(8)

(9)

式中δij為Kronecker符號(hào)。于是，Green應(yīng)變張量E可表示為：

(10)

小變形時(shí)有|?ui/?Xj|?1，略去位移梯度的乘積項(xiàng)，Green應(yīng)變E變?yōu)镃auchy應(yīng)變?chǔ)?，則式(9)變?yōu)椋?/p>

Fij=δij+εij+ωij

(11)

(12)

將方程(3)代入方程(4)，得物質(zhì)點(diǎn)X的宏觀彈性應(yīng)變能密度：

(13)

將方程(12)代入方程(13)化簡(jiǎn)得：

(14)

式中h為材料厚度。在經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度為：

(15)

(16)

式(16)中的法向剛度參數(shù)cn與傳統(tǒng)鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的微模量[14]完全相同。若方程(14)和方程(15)中采用平面應(yīng)變狀態(tài)下或者三維狀態(tài)下的應(yīng)變能密度，則可得到對(duì)應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)下TBPD模型的微模量與材料彈性參數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如表1所示。

表1 TBPD模型的微模量cn和ctTable 1 Micro-modulus cn and ct of TBPD model

不難驗(yàn)證，當(dāng)切向剛度系數(shù)ct=0時(shí)，TBPD模型退化后參數(shù)cn與BPD模型參數(shù)完全相同，且有方程(5)右邊表達(dá)式將退化成方程(8)右邊表達(dá)式，則此時(shí)，TBPD模型將近似為BPD模型。微模量參數(shù)cn和ct作為鍵基PD的剛度系數(shù)，必須滿(mǎn)足cn≥0且ct≥0。因此TBPD模型的泊松比適用范圍為：平面應(yīng)變和三維情形時(shí)-1<ν≤1/4，平面應(yīng)力時(shí)-1<ν≤1/3。

值得指出的是，表1轉(zhuǎn)換關(guān)系與Zhu等[8]相同，但兩者引入切向剛度的方法和推導(dǎo)過(guò)程并不同。TBPD模型通過(guò)鍵內(nèi)直接增加切向剛度系數(shù)，在小變形條件下，以均勻應(yīng)變工況，得到模型的雙參數(shù)與材料彈性參數(shù)的轉(zhuǎn)換公式。Zhu等[8]未就雙參數(shù)鍵基PD模型開(kāi)展破壞分析，本文接下來(lái)將討論TBPD模型的斷裂準(zhǔn)則及其破壞應(yīng)用。

1.2 單鍵斷裂條件

這里采用能量準(zhǔn)則作為判斷單鍵斷裂的依據(jù)，即鍵中包含的微觀應(yīng)變能密度ω(η,ξ)超過(guò)某個(gè)極限值ωc(η,ξ)(簡(jiǎn)記為ωc)時(shí)，認(rèn)為該鍵斷裂，將不再傳遞力的作用。

考慮含裂紋CD的無(wú)限大板，板厚h，裂紋長(zhǎng)度為2a。當(dāng)裂紋CD穿過(guò)某一物質(zhì)點(diǎn)的鄰域時(shí)，所有被裂紋穿過(guò)的鍵都將斷裂，存儲(chǔ)在這些鍵中的應(yīng)變能也被耗散。如圖2所示，鍵AB將發(fā)生斷裂，存儲(chǔ)在該鍵中的應(yīng)變能ωcVAVB將被耗散，其中VA和VB分別為物質(zhì)點(diǎn)A和物質(zhì)點(diǎn)B攜帶的體積，當(dāng)VA和VB趨于無(wú)限小時(shí)，所有因裂紋CD而耗散的鍵的總應(yīng)變能用積分表示為：

圖2 斷裂面未完全穿過(guò)物質(zhì)點(diǎn)鄰域的微勢(shì)能積分域Fig.2 Integration domain of the micropotentials not completely crossing a fracture surface

(17)

式中：ΩA和ΩB分別表示位于裂紋CD兩側(cè)的物質(zhì)點(diǎn)A和物質(zhì)點(diǎn)B的取值范圍，它們須滿(mǎn)足一定的斷鍵條件，即線(xiàn)段AB的距離rAB≤δ，且線(xiàn)段AB和線(xiàn)段CD有交點(diǎn)。

ΩB1+ΩB2=ΩB

(18)

則對(duì)于所有距裂紋CD垂直距離為z的物質(zhì)點(diǎn)，因裂紋CD而耗散的鍵的總應(yīng)變能為：

(19)

式中：dz為物質(zhì)點(diǎn)A攜帶體積在z軸的長(zhǎng)度，S′A為裂紋CD在直線(xiàn)AA2所在水平面上的投影區(qū)。

記Gc為產(chǎn)生每單位裂紋表面所需的能量，則：

(20)

與傳統(tǒng)BPD模型相類(lèi)似，將ωc假定為ξ的線(xiàn)性函數(shù)，即:

ωc(η,ξ)=ωc0ξ

(21)

將式(21)代入式(20)，得:

(22)

故

(23)

由式(3)、式(21)和式(23)知，TBPD模型的單鍵斷裂條件為：

(24)

在采用TBPD方法計(jì)算過(guò)程中，一旦鍵滿(mǎn)足式(24)，則該鍵斷裂且永久失效。不難驗(yàn)證，當(dāng)切向剛度系數(shù)ct=0時(shí)，TBPD模型的單鍵斷裂條件可退化后為BPD模型的單鍵斷裂條件，即：

(25)

式中c和sc分別為BPD模型中鍵的微觀模量以及鍵的臨界伸長(zhǎng)率。

在TBPD模型中，鍵斷裂與否采用狀態(tài)函數(shù)μ(ξ,t)來(lái)記錄。物質(zhì)點(diǎn)的損傷通過(guò)物質(zhì)點(diǎn)鄰域內(nèi)鍵的斷裂程度，用函數(shù)φ(X,t)來(lái)計(jì)算，μ(ξ,t)和φ(X,t)具體的表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[15]。

2 模型驗(yàn)證

算例1尺寸為1 m×0.5 m的長(zhǎng)方形薄板，板厚0.01 m，其彈性模量200 GPa，密度7 850 kg/m3，沿兩短邊作用p=200 MPa的均勻法向拉力，采用BPD和TBPD模型分別計(jì)算，物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=0.01 m，鄰域半徑δ=3.015Δ，拉伸荷載通過(guò)轉(zhuǎn)變成體力荷載p/Δ，施加在兩短邊最外一層的真實(shí)物質(zhì)點(diǎn)上[14]，如圖3所示。

圖3 單軸拉伸荷載作用下的薄板近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)離散示意Fig.3 Geometry of a plate under uniaxial tension and its PD discretization

1)當(dāng)泊松比ν=1/3時(shí)，如圖4所示，采用BPD模型或TBPD模型計(jì)算的位移結(jié)果都與解析解很好地吻合。采用TBPD方法計(jì)算的位移ux的最大相對(duì)誤差為3.25%，分布在薄板4個(gè)角點(diǎn)附近，這是由近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的邊界效應(yīng)導(dǎo)致的。

圖4 2種模型計(jì)算的位移ux的相對(duì)誤差Fig.4 Relative error on ux of two models

2)當(dāng)泊松比ν∈[0,1/3]時(shí)，采用反算泊松比方法[8-9]和計(jì)算物質(zhì)點(diǎn)的位移ux的相對(duì)誤差來(lái)驗(yàn)證BPD和TBPD模型的合理性，結(jié)果列于表2和表3。

表2 BPD模型與TBPD模型的泊松比ν反算結(jié)果 Table 2 Poisson′s ratio inverse calculation result of BPD and TBPD model

表3 BPD模型與TBPD模型計(jì)算的ux最大相對(duì)誤差Table 3 Maximum relative error on ux calculated by BPD model and TBPD model %

由表2可知，BPD模型無(wú)論材料泊松比怎么取值，反算泊松比總是0.332 8，當(dāng)ν≠1/3時(shí)相對(duì)誤差大，這證實(shí)了它僅適合用來(lái)描述前面所說(shuō)的特定泊松比材料。而采用TBPD模型時(shí)，反算泊松比值與真實(shí)泊松比非常接近，相對(duì)誤差為0.16%～0.70%。故它較適合用來(lái)描述泊松比在一定范圍內(nèi)的材料力學(xué)行為。此外，采用TBPD模型計(jì)算，在ν∈[0,1/3]時(shí)，位移ux的誤差全部小于5.0%，且隨著泊松比的減小，誤差逐漸減??；而采用BPD模型計(jì)算，在ν∈[0,0.20]時(shí)，位移ux的誤差全部大于5.0%，且泊松比越小，相對(duì)誤差越大。

圖5 剪切邊界條件幾何模型示意Fig.5 Geometric model of shear boundary conditions

如圖6所示，采用TBPD模型計(jì)算的位移結(jié)果與解析解高度吻合，位移ux和uy的最大相對(duì)誤差都為0.202%。

圖6 TBPD方法計(jì)算的位移ux與解析解間的相對(duì)誤差Fig.6 Relative error on ux for TBPD method

算例3邊長(zhǎng)為50 mm的正方形薄板，中心有一長(zhǎng)度2a=10 mm的水平裂紋，彈性模量192 GPa，密度8 000 kg/m3，泊松比ν=1/3，臨界斷裂能83 kJ/m2，在薄板上、下邊界作用大小20 m/s的均勻法向速度荷載。分別采用BPD和TBPD模型進(jìn)行計(jì)算，物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=0.25 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ，計(jì)算時(shí)步取1.3367E-8 s，上、下兩邊的速度邊界條件是施加在薄板上下邊以外寬度為δ的3層虛擬物質(zhì)點(diǎn)上[14]。

采用BPD和TBPD模型計(jì)算時(shí)，薄板都是在裂紋左右兩端同時(shí)啟裂，然后各自向左右兩側(cè)沿水平方向擴(kuò)展，最終貫通薄板。薄板在啟裂和貫通時(shí)刻稍有差異，但薄板破壞耗時(shí)基本相同，相關(guān)數(shù)據(jù)列于表4中。如圖7所示，取t=6.68 μs時(shí)刻的位移進(jìn)行對(duì)比，兩模型計(jì)算的位移uy差異甚微。如圖8所示，取t=24.09 μs時(shí)刻的薄板破壞形態(tài)進(jìn)行對(duì)比，兩模型計(jì)算的結(jié)果幾乎相同。

圖7 泊松比ν=1/3時(shí)2種模型在t=6.68 μs時(shí)刻的uy云圖Fig.7 Comparison of the uyat ν=1/3, t=6.68 μs of two models

圖8 2種模型在t=24.09 μs時(shí)刻的破壞形式對(duì)比Fig.8 Comparison of the failure modes at t=24.32 μs of two models

表4 薄板啟裂和貫通時(shí)刻Table 4 Initiating and through time of plate μs

算例4邊長(zhǎng)200 mm的正方形薄板，其彈性模量為30 GPa，密度2 265 kg/m3，Ⅰ型能量釋放率GΙc=110 J/m2，Ⅱ型能量釋放率GIIc=10GIc，泊松比0.2。在試件中部的左右兩側(cè)各有一條長(zhǎng)25 mm，寬5 mm的預(yù)制裂紋[16]， 如圖9所示。首先在薄板左側(cè)上半部分和右側(cè)下部分都水平施加合力為5 kN的均布力p，然后在薄板上下邊界施加v=10 mm/s的速度荷載。采用TBPD模型計(jì)算，物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=4 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ，計(jì)算步長(zhǎng)1.0×10-7s，左右兩側(cè)的均布力p通過(guò)轉(zhuǎn)變成體力荷載p/Δ后，施加在薄板該部位的最外一層，寬度為Δ的真實(shí)物質(zhì)點(diǎn)上，速度荷載v作用在薄板以外寬度為δ的3層虛擬物質(zhì)點(diǎn)上。

圖9 混合破壞模式斷裂試樣的幾何形狀Fig.9 The geometry of the mixed mode fracture specimen

圖10(a)給出了采用TBPD模型計(jì)算得到的薄板的最終破壞形態(tài)，它與O?BOLT等采用基于微平面模型的有限元代碼模擬的結(jié)果[16]和試驗(yàn)結(jié)果[17]基本相同，如圖10(b)、(c)所示。

圖10 混合破壞模式斷裂試樣的模擬結(jié)果Fig.10 Simulation results of the mixed mode fracture specimen

上述算例分別從薄板連續(xù)變形的定量計(jì)算和薄板破壞形態(tài)模擬2個(gè)方面都驗(yàn)證了TBPD模型的合理性和有效性。

3 平行雙裂紋薄板的受拉破壞

如圖11所示，一邊長(zhǎng)為50 mm的正方形薄板，中部預(yù)制有長(zhǎng)2a=10 mm的2條水平裂紋，記為主裂紋①和主裂紋②，兩裂紋縱向間距為d。薄板的彈性模量為203 GPa，泊松比0.3，密度為7 850 kg/m3，在薄板上、下邊界作用大小20 m/s的均勻法向速度荷載。所用參數(shù)與趙金海等[18]相同，采用TBPD模型進(jìn)行計(jì)算，物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=0.5 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ，計(jì)算步長(zhǎng)取1.336 7×10-8s。按以下2種情形分別計(jì)算和討論：

圖11 平行雙裂紋薄板的裂紋布置Fig.11 Micro-crack distribution of plates with parallel double cracks

1)平行雙裂紋間距d取3 mm、5mm和7 mm時(shí)，對(duì)薄板破壞形態(tài)的影響；

2)平行雙裂紋間距d=3 mm時(shí)，考慮3種隨機(jī)分布的細(xì)小裂紋對(duì)薄板破壞形態(tài)的影響。

3.1 裂紋間距的影響

d取3 mm、5mm和7 mm時(shí)，裂紋擴(kuò)展路徑如圖12(b)、(c)、(d)所示。薄板破壞過(guò)程都是在裂紋左右兩端同時(shí)啟裂，水平延伸一定距離后，裂紋①斜向上方、裂紋②斜向下方繼續(xù)擴(kuò)展，兩裂紋縱向間距越來(lái)越大，直至貫通薄板。裂紋間距對(duì)薄板破壞模式影響不大，但對(duì)于裂紋水平延伸距離、擴(kuò)展角度、裂紋貫通后縱向間距、起裂和貫通時(shí)間都有一定影響，如表5所示。隨著裂紋間距的增大，裂紋起裂時(shí)刻提前，水平延伸長(zhǎng)度逐漸減小，但裂紋偏移角度、貫通間距和貫通時(shí)刻卻隨之增大。

圖12 TBPD模型計(jì)算的不同間距d下平行雙裂紋擴(kuò)展Fig.12 Crack propagation paths of parallel double cracks calculated by TBPD model with longitudinal spacing d

表5 不同縱向間距d的平行雙裂紋擴(kuò)展情況Table 5 Propagation of parallel double cracks with different longitudinal spacing d

值得注意的是，圖12(b)破壞模式與趙金海等基于傳統(tǒng)BPD模型所得結(jié)果[18]有很大差異，文獻(xiàn)[18]給出的破壞模式如圖13所示，其雙裂紋水平延伸一定距離后，都斜向薄板水平中心交匯成一條裂紋，然后水平延伸，直至貫通薄板。鑒于傳統(tǒng)BPD模型只能模擬ν=1/3的材料的力學(xué)行為[3]，所以將它用于模擬其他泊松比材料時(shí)，裂紋擴(kuò)展路徑將可能出現(xiàn)失真或失效的情形。

圖13 d=3 mm時(shí)BPD模型計(jì)算泊松比0.3的薄板破壞Fig.13 Crack propagation path of plate with Poisson′s ratio 0.3 calculated by BPD model at d=3 mm

3.2 3種隨機(jī)細(xì)小裂紋的影響

在平行雙裂紋薄板內(nèi)，裂紋間距d=3 mm時(shí)考慮3種隨機(jī)細(xì)小裂紋的分布，細(xì)小裂紋長(zhǎng)度取0～2 mm，細(xì)小裂紋布置方式和破壞形態(tài)見(jiàn)圖14。

如圖14(a)～(d)所示，當(dāng)細(xì)小裂紋主要分布在某一主裂紋附近時(shí)，該主裂紋將沿著垂直于加載方向擴(kuò)展直至貫通，而另一主裂紋幾乎沒(méi)有擴(kuò)展。如圖14(e)、(f)所示，當(dāng)細(xì)小裂紋分布在主裂紋的某一端附近，則主裂紋沿著分布有細(xì)小裂紋的這一端在荷載作用下擴(kuò)展貫通，而該主裂紋的另一端只發(fā)生較小變化。對(duì)比圖12(b)可以看出，隨機(jī)細(xì)小裂紋的分布在一定程度上會(huì)抑制某一主裂紋在單側(cè)或兩側(cè)的擴(kuò)展，導(dǎo)致薄板的破壞形態(tài)發(fā)生顯著的改變。

圖14 含隨機(jī)細(xì)小裂紋的平行雙裂紋板及其擴(kuò)展路徑Fig.14 Parallel double cracks plate with small cracks and its′ propagation paths

4 結(jié)論

1)在不計(jì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和小變形條件下，以均勻應(yīng)變工況，一次得到了模型的雙參數(shù)與材料彈性參數(shù)的轉(zhuǎn)換公式。且切向剛度系數(shù)的引入，使雙參數(shù)鍵的性能較單參數(shù)鍵更加完備，解決問(wèn)題的能力更強(qiáng)。BPD模型只能模擬特定泊松比材料的力學(xué)行為，否則材料的反算泊松比、位移結(jié)果存在較大誤差，破壞模式也可能失真；TBPD模型突破了特定泊松比的限制，能夠模擬泊松比在一定范圍內(nèi)的材料力學(xué)行為，退化后的模型參數(shù)與傳統(tǒng)BPD的參數(shù)完全相同。

2) 以能量準(zhǔn)則作為判斷單鍵斷裂的依據(jù)，詳細(xì)給出了TBPD模型單鍵斷裂條件，在特定泊松比情形下，它可退化為BPD模型的單鍵斷裂條件。

3)在一定條件下，平行雙裂紋的縱向間距對(duì)薄板的破壞過(guò)程產(chǎn)生一定的影響，隨著雙裂紋縱向間距的增大，裂紋起裂時(shí)刻提前，水平延伸長(zhǎng)度逐漸減小，但裂紋偏移角度、貫通間距和貫通時(shí)刻卻隨之增大。隨機(jī)細(xì)小裂紋的分布在一定程度上會(huì)抑制某一主裂紋在單側(cè)或兩側(cè)的擴(kuò)展，導(dǎo)致薄板的破壞形態(tài)發(fā)生顯著的改變。