基于自適應(yīng)網(wǎng)格及響應(yīng)面模型的永磁電機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化

劉曉宇，袁 彬，戴太陽(yáng),殷 毅

(重慶大學(xué) 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045)

0 引 言

永磁電機(jī)由于具有噪聲低、運(yùn)行效率高、使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)勢(shì)，逐漸成為電氣自動(dòng)化設(shè)備體系的重要組成。隨著永磁電機(jī)在工業(yè)中作為如輪轂電機(jī)、風(fēng)機(jī)等受到廣泛應(yīng)用，高效、節(jié)能目前正成為永磁電機(jī)的重要發(fā)展方向。

永磁電機(jī)設(shè)計(jì)中,為了提高電機(jī)性能和可靠性，需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。如分析槽口寬度、極槽配合、磁鋼參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的影響[1]；分析極槽配合和磁鋼參數(shù)對(duì)于紋波轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響[2]。有限元法是電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中廣泛使用的數(shù)值方法之一，采用網(wǎng)格離散的方式，可以準(zhǔn)確模擬電機(jī)內(nèi)部的電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)等分布情況。應(yīng)用于電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，有限元法通過(guò)分析包含多個(gè)對(duì)象的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)場(chǎng)的分布情況來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題。這些對(duì)象的結(jié)構(gòu)可能是復(fù)雜的甚至具有時(shí)變特性[3]，在這種情況下，需要在優(yōu)化過(guò)程的每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)重新生成有限元網(wǎng)格，這需要耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。解決這類(lèi)問(wèn)題的方法之一是開(kāi)發(fā)一種新的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，使網(wǎng)格重構(gòu)更加方便或不需要對(duì)全部網(wǎng)格進(jìn)行重構(gòu)。目前，更新網(wǎng)格的方法主要是通過(guò)利用幾何參數(shù)更新網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。另一種方法是通過(guò)求解彈性方程[4]或者拉普拉斯方程[5]，獲得新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)重構(gòu)部分區(qū)域的網(wǎng)格。然而，這種類(lèi)型的部分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)重新映射方法仍然是相當(dāng)耗時(shí)的，而且構(gòu)成的網(wǎng)格單元甚至可能產(chǎn)生折疊。基于徑向基函數(shù)插值的網(wǎng)格重構(gòu)法[6]和基于優(yōu)化的移動(dòng)網(wǎng)格策略[7]等方法，其算法復(fù)雜，難以實(shí)際應(yīng)用于仿真分析。參數(shù)化網(wǎng)格技術(shù)[8]可以通過(guò)將節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為一組向量基下的展開(kāi)系數(shù)，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的快速二維變形。然而，這種方法適應(yīng)于較小的形變，對(duì)于幾何變形較大的情況會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)格重疊。因此，為了能有效解決電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中有限元法網(wǎng)格重構(gòu)的復(fù)雜性，需要一種適用于各種范圍形變的網(wǎng)格重構(gòu)方法，降低有限元計(jì)算的工作量，提高計(jì)算效率。

本文提出一種基于雙層結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格，即形變對(duì)象處于上層網(wǎng)格，該對(duì)象周?chē)鷧^(qū)域位于背景網(wǎng)格。在優(yōu)化部件存在較大尺寸變化的優(yōu)化過(guò)程中，采用這種自適應(yīng)雙層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，可以避免網(wǎng)格的變形，不需要重新計(jì)算所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，從而減少網(wǎng)格重構(gòu)所需的計(jì)算量。為了進(jìn)一步減小計(jì)算量，提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效率，本文采用基于移動(dòng)最小二乘法響應(yīng)面模型，模擬目標(biāo)函數(shù)與不同輸入因素之間的關(guān)系。采用有限元仿真結(jié)果校驗(yàn)調(diào)整響應(yīng)面模型參數(shù)，使響應(yīng)面模型充分考慮數(shù)學(xué)描述和物理原則之間的關(guān)系,使模型更接近實(shí)際結(jié)構(gòu),從而提高響應(yīng)面模型的精度[9]。

本文以一臺(tái)48槽22對(duì)極表貼式永磁同步電機(jī)(電機(jī)Ⅰ)和一臺(tái)18槽22對(duì)極徑向磁通調(diào)制電機(jī)(電機(jī)Ⅱ)為對(duì)象,通過(guò)有限元仿真軟件建立模型,以磁鋼厚度、鐵心軸向長(zhǎng)度、定轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑等為優(yōu)化參數(shù),對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩與溫升, 利用自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法，建立樣本數(shù)據(jù)組,構(gòu)建并校驗(yàn)基于移動(dòng)最小二乘法的響應(yīng)面模型，將建立的響應(yīng)面模型應(yīng)用于電機(jī)結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，證明了所提出的方法能有效優(yōu)化電機(jī)的性能。

1 數(shù)值計(jì)算方法

1.1 自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法

圖1 設(shè)計(jì)區(qū)域及邊界示意圖

-Δui=fi在Ωi里i=1,2

(1)

[un]=0 在Γ上

(2)

u=0 在Γ上

(3)

自適應(yīng)雙層網(wǎng)格的構(gòu)建方法如下：

(1) 如圖2(a)所示，在優(yōu)化部件及整個(gè)背景區(qū)域劃分初始網(wǎng)格。在優(yōu)化過(guò)程中，背景網(wǎng)格將保持不動(dòng)，與此同時(shí)，上層網(wǎng)格與背景網(wǎng)格的相對(duì)關(guān)系將保持不變。

(2) 如圖2(b)所示，在背景網(wǎng)格上確定發(fā)生兩層網(wǎng)格交疊的單元。

(a) 初始網(wǎng)格劃分

(3) 獲得交疊單元的單元信息，如節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、交點(diǎn)坐標(biāo)、節(jié)點(diǎn)數(shù)、單元數(shù)、單元邊界條件等，這些信息將被儲(chǔ)存起來(lái)供后續(xù)調(diào)用。

(4) 根據(jù)交疊單元的信息，在背景網(wǎng)格重新構(gòu)建多邊形單元替代交疊單元。

根據(jù)交疊單元的信息，進(jìn)行有限元單元計(jì)算及后處理，標(biāo)量值函數(shù)u(x)的插值方案如下式:

(4)

(5)

(6)

式中：φi(x)為構(gòu)成插值矩陣的系數(shù)；ξi(x)為與角度和系數(shù)有關(guān)的變量；ri=ri(x)是個(gè)體p和pi之間的歐式距離,其中角度αi如圖3所示。整個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)分為三種類(lèi)型的單元:背景網(wǎng)格單元、上層網(wǎng)格單元、交疊網(wǎng)格單元。不同區(qū)域的單元分析可以單獨(dú)計(jì)算。圖4為雙層網(wǎng)格交疊部位示意圖。

圖4 雙層網(wǎng)格交疊部位示意圖

圖3 多邊形單元的平均值坐標(biāo)

1.2 響應(yīng)面模型

本文所采用的改進(jìn)的響應(yīng)面模型是基于移動(dòng)最小二乘法以及先驗(yàn)信息。移動(dòng)最小二乘法用于搜尋響應(yīng)面模型的有效系數(shù)，先驗(yàn)信息用于構(gòu)建可靠的響應(yīng)面模型。最小二乘法函數(shù)L(x)定義為如下帶權(quán)重的誤差之和:

(7)

式中：y為n×1目標(biāo)函數(shù)值向量；n為實(shí)驗(yàn)次數(shù);X為n×p獨(dú)立變量水平矩陣；ωi是第i個(gè)響應(yīng)值權(quán)重;x是近似位置向量;W(x)為位置x處目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重矩陣。特別的，在移動(dòng)最小二乘法中，W(x)是目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的對(duì)稱(chēng)矩陣。為了得到最小化的L(x)，移動(dòng)最小二乘估計(jì)方法如下式:

(8)

b(x)=[XTW(x)X]-1XTW(x)y

(9)

1.3 氣隙導(dǎo)熱系數(shù)和對(duì)流換熱系數(shù)

在電機(jī)的氣隙部位，對(duì)流傳熱是通過(guò)如下等效傳熱假設(shè)實(shí)現(xiàn)的:當(dāng)靜止的空氣轉(zhuǎn)移的熱量等于向流動(dòng)的空氣傳遞的熱量,轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)可以看作一個(gè)穩(wěn)定的過(guò)程,在氣隙,空氣流動(dòng)的傳熱能力由靜止的導(dǎo)熱系數(shù)表示。有效導(dǎo)熱系數(shù)的計(jì)算方法如式(10)～式(11)所示[4]。

轉(zhuǎn)子表面的對(duì)流換熱系數(shù):

(10)

式中：υ為轉(zhuǎn)子表面的旋轉(zhuǎn)速度。槽內(nèi)絕緣的等效導(dǎo)熱系數(shù):

(11)

式中：λi和δi分別為不同絕緣材料的平均導(dǎo)熱系數(shù)和等效厚度。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

2.1 電機(jī)結(jié)構(gòu)及參數(shù)

本文采用的永磁體材料為N35SH，最大耐熱溫度為150 ℃, 剩磁為 1.14 T，矯頑力為860 kA/m。

圖5(a)為傳統(tǒng)的48槽22對(duì)極分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)(電機(jī)Ⅰ)，相關(guān)初始參數(shù)如表1所示。圖5(b)

表1 電機(jī)Ⅰ的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

(a) 永磁同步電機(jī)(電機(jī)Ⅰ)

為18槽22對(duì)極徑向磁通調(diào)制電機(jī)(電機(jī)Ⅱ)，電機(jī)Ⅱ具有一個(gè)氣隙，相關(guān)初始參數(shù)如表2所示。

表2 電機(jī)Ⅱ的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.2 響應(yīng)面模型

為了將所提出的方法應(yīng)用于電機(jī)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，本文設(shè)計(jì)并優(yōu)化了分?jǐn)?shù)槽永磁同步電機(jī)和徑向磁通調(diào)制電機(jī)。優(yōu)化問(wèn)題可以用下式：

(12)

式中：f(X)={f1，f2} 表示目標(biāo)函數(shù)，f1為轉(zhuǎn)矩，f2為溫升；gi(X)為約束條件，m為約束條件數(shù)量；X={x1,x2,…,xn}為一系列結(jié)構(gòu)參數(shù)，n為參數(shù)數(shù)量。本文通過(guò)調(diào)節(jié)兩臺(tái)電機(jī)的繞組電流來(lái)控制溫升。采用基于移動(dòng)最小二乘法的電流-溫升關(guān)系模型，該模型可以替代優(yōu)化過(guò)程中的有限元仿真，能夠較大地減少優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算時(shí)間。電機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果將用于驗(yàn)證提出的優(yōu)化方法的可行性。式(13)將用于驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

(13)

式中：N為對(duì)比測(cè)試中隨機(jī)樣本點(diǎn)的數(shù)量。本文中，溫升的響應(yīng)面模型與有限元比較測(cè)試中，選取了15個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn)，轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面模型與有限元比較測(cè)試中選取了20個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn)。

以溫升為例，通過(guò)磁場(chǎng)分析得到電機(jī)各部件的損耗后利用熱分析計(jì)算出兩臺(tái)電機(jī)的溫升。對(duì)電機(jī)Ⅰ、電機(jī)Ⅱ采用自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法模擬電磁場(chǎng)分布情況，獲得電機(jī)的溫升情況，通過(guò)調(diào)節(jié)繞組電流進(jìn)行采樣，對(duì)樣本點(diǎn)采用基于移動(dòng)最小二乘法的響應(yīng)面模型建立電流-溫升關(guān)系模型，得到的電機(jī)Ⅰ、電機(jī)Ⅱ溫度模型分別如下：

yⅠ=0.000 197 32x3-0.030 456x2+2.519 1x

(14)

yⅡ=0.000 052 001x3-0.004 603x2+0.888x

(15)

電機(jī)Ⅰ、電機(jī)Ⅱ溫升隨電流變化及輸出轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面模擬值與有限元對(duì)比如圖6、圖7所示。由此可見(jiàn)，本文采用的響應(yīng)面模型對(duì)溫升及轉(zhuǎn)矩的模擬較為準(zhǔn)確，可以作為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，替代迭代尋優(yōu)中的有限元分析。

(a) 電機(jī)Ⅰ

圖7 轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面模型與有限元法比較

2.3 多目標(biāo)優(yōu)化

采用本文提出的自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元法，結(jié)合基于移動(dòng)最小二乘法的響應(yīng)面模型，依據(jù)多目標(biāo)遺傳算法對(duì)電機(jī)Ⅰ、電機(jī)Ⅱ進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。優(yōu)化后電機(jī)的磁通分布如圖8所示。兩種電機(jī)的最高溫升都在定子繞組內(nèi)。電機(jī)Ⅰ、電機(jī)Ⅱ的定子和繞組的溫度分布如圖9所示。仿真結(jié)果顯示，優(yōu)化后的電機(jī)結(jié)構(gòu)磁通分布合理，溫度處于永磁體耐熱范圍內(nèi)。

(a) 電機(jī)Ⅰ

(a) 電機(jī)Ⅰ

多目標(biāo)優(yōu)化的最終計(jì)算結(jié)果以及有限元計(jì)算次數(shù)、計(jì)算時(shí)間等數(shù)據(jù)如表3與表4 所示。

表3 電機(jī)I的優(yōu)化結(jié)果比較

表4 電機(jī)II的優(yōu)化結(jié)果比較

結(jié)果顯示，采用本文的基于自適應(yīng)有限元法的多目標(biāo)優(yōu)化方法，優(yōu)化結(jié)果與基于傳統(tǒng)有限元的多目標(biāo)優(yōu)化相比較為準(zhǔn)確，能夠在保證結(jié)果準(zhǔn)確性的前提下，有效地減少優(yōu)化時(shí)間。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了一種優(yōu)化永磁電機(jī)性能的方法。提出了一種自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法，通過(guò)分離設(shè)計(jì)區(qū)域，避免優(yōu)化迭代時(shí)的整體網(wǎng)格重構(gòu)。針對(duì)影響電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩及溫度的參數(shù)變量,即磁鋼厚度、電機(jī)軸向長(zhǎng)度以及電機(jī)內(nèi)外徑等參數(shù)，建立基于移動(dòng)最小二乘法的響應(yīng)面模型，與有限元模擬結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證該模型的可靠性。針對(duì)永磁同步電機(jī)和徑向磁通調(diào)制電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，以轉(zhuǎn)矩與溫度作為目標(biāo)函數(shù)，實(shí)施電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化。通過(guò)與傳統(tǒng)有限元方法的比較，驗(yàn)證了準(zhǔn)確性與可行性，以及應(yīng)用該方法可以減少優(yōu)化過(guò)程的計(jì)算量。