一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支正交各向異性矩形薄板彎曲問題的辛疊加解

寇天嬌,額布日力吐

(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特010021)

1.引言

各向異性矩形板是土木工程、航空航天以及機(jī)械制造等各種現(xiàn)代工程中普遍應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu)元件.由于各向異性矩形板的基本方程為高階多變量的偏微分方程,因此一般很難得到其精確的解析解[1].近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷探索怎樣尋求各向異性矩形板方程的解析解,并得到了一些解析方法,如疊加方法[2]、復(fù)變函數(shù)法[3]、有限積分變換法[4]和傅立葉級(jí)數(shù)法[5]等.但是上述方法都屬于半逆解法或者基于半逆解法的方法,這類方法需要事先人為設(shè)定撓度等試驗(yàn)函數(shù),而選取的函數(shù)無(wú)規(guī)律可循,不具有普適性.

直到二十世紀(jì)九十年代初,鐘萬(wàn)勰教授巧妙的在彈性力學(xué)中引入了辛幾何方法[6?7],為彈性力學(xué)的發(fā)展畫上了點(diǎn)睛之筆.2010年李銳等學(xué)者[8]又在辛彈性力學(xué)方法的基礎(chǔ)上提出了辛疊加方法,這進(jìn)一步拓寬了辛彈性力學(xué)方法求力學(xué)問題解析解的范圍.

辛疊加方法到目前已解決了一系列各向同性板彎曲[9]與振動(dòng)[10]的實(shí)際問題,豐富了各向同性板問題的解析求解,然而各向異性板由于其自身的復(fù)雜性,致使辛疊加方法還未能廣泛應(yīng)用到各向異性板的實(shí)際問題當(dāng)中.文[9]研究了均勻荷載下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的各向同性板彎曲問題,而本文應(yīng)用辛疊加方法進(jìn)一步研究了均勻荷載下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題.首先,根據(jù)對(duì)邊簡(jiǎn)支邊界條件下原方程所對(duì)應(yīng)的Hamilton算子本征函數(shù)系的完備性,應(yīng)用本征函數(shù)系的辛-Fourier展開得到對(duì)邊簡(jiǎn)支問題所對(duì)應(yīng)的Hamilton正則方程的通解,再利用疊加方法求出一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的解析解.最后通過本文解析解計(jì)算的數(shù)值結(jié)果與已有文獻(xiàn)的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較,驗(yàn)證了本文所得辛疊加解的正確性.

2.Hamilton正則方程

考慮正交各向異性矩形薄板的基本方程

3.本征值和本征函數(shù)系

Ⅰ本征值為重根的情形

Ⅲ辛正交性與完備性

4.辛疊加解

為了研究均勻荷載作用下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題,我們考慮如下三個(gè)子問題[9]:

(a) 四邊簡(jiǎn)支正交各向異性矩形薄板在均勻荷載下的彎曲問題,在x=0和x=a邊簡(jiǎn)支,在y=0和y=b邊滿足條件

(b) 在x=0和x=a邊簡(jiǎn)支,在y=0和y=b邊滿足條件

(c) 在y=0和y=b邊簡(jiǎn)支,在x=0和x=a邊滿足條件

將上述三個(gè)子問題的解進(jìn)行疊加后可得到均勻荷載作用下的一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的辛疊加解.

Ⅰ本征值為重根情形下的辛疊加解

當(dāng)H2?D11D22=0時(shí),我們先來(lái)求解子問題(a),此時(shí)需要求解無(wú)窮維Hamilton正則方程(2.6),根據(jù)引理3,可設(shè)非齊次項(xiàng)

根據(jù)引理1,可得:

根據(jù)引理3,我們假設(shè)在邊界條件(3.9)下Hamilton正則方程(2.6)的解為

在邊y=0處,三個(gè)子問題的等效剪力之和應(yīng)為零,即滿足Vy|y=0=0,計(jì)算得到

Ⅱ本征值為單根情形下的辛疊加解

類似于本征值為重根的情形,先求解子問題(a),即四邊簡(jiǎn)支正交各向異性矩形薄板在均勻荷載下的彎曲問題.此時(shí)需設(shè)非齊次項(xiàng)

子問題(c)的通解為

在邊x=0處,三個(gè)子問題的等效剪力之和應(yīng)為零,即滿足Vx|x=0=0,計(jì)算得到

在支撐點(diǎn)(0,0)處,三個(gè)子問題的撓度之和應(yīng)為零,計(jì)算得到

因?yàn)榈仁?4.27)恒成立,所以該式結(jié)果可忽略不計(jì).通過求解方程組(4.23)-(4.26),解得系數(shù)En、Fn、Gn和Hn(n=1,2,3,...),將這些系數(shù)分別代入解(4.20),(4.21)和(4.22),我們得到本征值為單根情形下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的辛疊加解如下

5.算例

這里我們分別計(jì)算了一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支各向同性矩形薄板和正交各向異性矩形薄板一些點(diǎn)處的撓度和彎矩.為了豐富論文的計(jì)算數(shù)值結(jié)果,我們計(jì)算了b/a取不同值的一些結(jié)果，并將辛疊加解展開到前30項(xiàng).

例1計(jì)算在均勻荷載下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支各向同性矩形薄板的撓度和彎矩,此時(shí)在正交各向異性矩形薄板方程(2.1)中的對(duì)應(yīng)參數(shù)取為

其中泊松比υ=0.3.計(jì)算數(shù)值結(jié)果(精度取到10?8)與文[9]的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了比較,具體結(jié)果列于表1.

表1 均勻荷載下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的同性矩形薄板的撓度和彎矩

例2計(jì)算了一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板的撓度和彎矩,取材料屬性為

其中L和T分別表示纖維和橫向方向.此時(shí)彎曲剛度系數(shù)D11、D12、D22和D66分別取

D12=0.01D11,D22=0.04D11,D66=0.01995D11,

一些點(diǎn)處撓度和彎矩的計(jì)算結(jié)果(精度取到10?8)列于表2.

表2 均勻荷載下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板的撓度和彎矩

6.結(jié)論

本文用辛疊加方法推導(dǎo)出了一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板彎曲問題的解析解.首先應(yīng)用辛彈性力學(xué)方法得到了對(duì)邊簡(jiǎn)支正交各向異性矩形薄板彎曲問題撓度形式的解,再利用疊加方法給出原問題的辛疊加解.雖然本文只計(jì)算了均勻荷載下一角點(diǎn)支撐對(duì)面兩邊固支的正交各向異性矩形薄板的撓度和彎矩值,但是應(yīng)用本文給出的方法也可以研究任意荷載以及其他邊界條件下的正交各向異性矩形薄板的彎曲和振動(dòng)問題.