王秉相，程普鋒，鄭宇軒，周風華

（寧波大學沖擊與安全工程教育部重點實驗室，浙江 寧波 315211）

砂石等脆性材料由大量的脆性散體顆粒組成，具有松散、多孔、易壓縮等特性[1-2]，應力波在此類松散脆性材料中的傳播[3]通常會呈現顯著的衰減規(guī)律。散體脆性顆粒作為消波耗能材料已被廣泛應用于防護領域，用作沖擊、爆炸等的能量吸收[4-5]。因此，深入探討應力波在散體脆性顆粒中的傳播規(guī)律和影響因素對防護工程具有重大意義，亦可為防護層的構建提供一定的理論參考。

季順迎等[6]用石質球體作為沖擊物，在散體顆粒底部安裝壓力傳感器，通過散體顆粒底部壓力的變化來分析其緩沖性能，研究了顆粒粒徑、顆粒形態(tài)等對緩沖性能的影響，由于石質球與顆粒接觸過程存在不均勻性，因此實驗結果的精度不高。趙躍堂等[7]基于平面波加載器，通過在不同深度土層中埋設壓力傳感器的方法來探究飽和土顆粒在爆炸加載下不同層的壓力變化，根據不同土層的壓力分布來分析波的傳播規(guī)律，由于在土顆粒中埋設壓力傳感器會改變土顆粒的內部結構，因此該方法測得的壓力值與真實值存在一定差異。趙凱[8]實驗研究了爆炸載荷作用下多層防護層結構對爆炸波的衰減作用，獲得了多種分配層下波的衰減規(guī)律。魏久淇等[9]基于分離式霍普金森壓桿實驗，通過透射桿峰值應力與入射桿峰值應力的比值來描述波的衰減，并探究了中高應變率下鈣質砂的力學響應。由于鈣質砂與透射桿之間存在較大的機械阻抗，直接將透射桿峰值應力作為砂粒端面應力的處理方式對波衰減的準確性有一定影響。Yu 等[10]通過改進SHPB 裝置，將入射波、反射波、透射波相結合來計算試件兩端的峰值應力，提出了一種定量計算珊瑚砂試件中應力波衰減規(guī)律的新方法，能更準確地得到試件兩端面的應力峰值，由于該數據分析方法是基于一維單向應力波傳播理論，而應力波在散體顆粒中傳播時可能會發(fā)生透射和反射，將涉及更復雜的多向波系，因此該方法存在一定誤差。

目前，應力波在散體顆粒中傳播規(guī)律的實驗研究尚不成熟，而數值模擬可以避免實驗存在的一些技術難題，定性或半定量地分析散體顆粒中波的傳播規(guī)律。祁原等[11]利用離散元軟件PFC2D分析了可破碎顆粒在循環(huán)載荷下的耗能特性，并探究了顆粒破碎與系統能量耗散率的關系。鄭文[12]、黃俊宇[13]通過PFC3D建立散體顆粒模型，研究了石英砂顆粒在動載荷下的力學響應。迄今為止，數值模擬研究更多關注散體顆粒本構模型的構建和動態(tài)力學性能，散體顆粒中應力波的傳播規(guī)律尚缺乏系統研究。

本研究基于離散元顆粒流軟件PFC3D建立典型的石英砂顆粒模型，在保證模型顆粒與實際顆粒等粒徑的前提下，通過模型的等比例縮放，模擬側限條件下石英砂的動態(tài)壓縮實驗，并與實驗側限壓縮本構[14-16]進行對比，驗證本模型參數的合理性，在此基礎上研究沖擊載荷下應力波在散體顆粒中的傳播規(guī)律和影響因素。

1 離散元模型

PFC3D模型是由若干基礎顆粒（剛性顆粒）通過一定的黏結鍵組成的，通過定義基礎顆粒間的微觀參數來建立與模擬材料具有相同宏觀力學性能的離散元模型。由于離散元模型中的微觀參數難以通過實驗手段直接獲得，且尚無有效的理論將其與實際材料的宏觀力學特性進行關聯，因此目前均通過數值模擬校準的方法建立二者之間的聯系[17]。對于散體顆粒，土力學中常采用側限壓縮本構模型[18-20]來表示其本構關系，即通過孔隙比-軸向應力曲線來描述顆粒材料的壓縮、變形及破碎過程[21]。

建立如圖1 所示的簇顆粒模型來表述單個脆性顆粒，每個簇由60～70 個基礎顆粒組成，由于實際砂顆粒內部存在缺陷和孔隙，刪除10%～20%的基礎顆粒來模擬實際顆粒的不規(guī)則外形和風化腐蝕等對砂礫造成的損傷，通過調整簇中基礎顆粒的大小和顆粒間的孔隙以滿足實際顆粒尺寸，并保證簇的密度同實際砂粒密度一致。選取石英砂為典型的砂礫代表，其密度為2 636 kg/m3。通過Flat-Joint 黏結模型將松散的基礎顆粒用黏結鍵黏結，當基礎顆粒間的法向接觸力或切向接觸力超過其臨界值時，黏結鍵將發(fā)生破壞失效。表1 為石英砂采用Flat-Joint 黏結模型時所對應的微觀參數，其中Emod為接觸模量，Fj-Kn為法向剛度，Fj-Ks為切向剛度，Fj-Coh為切向黏結強度，Fj-Ten為法向黏結強度，Damp為阻尼系數。

圖 1 簇顆粒的生成過程Fig. 1 Generation process of cluster particle

表 1 Flat-Joint 模型微觀參數Table 1 Micro-parameters of the Flat-Joint model

單個石英砂顆粒的粒徑分布控制在150～250 μm之間，以42% 的自然堆積孔隙率生成散體顆粒，石英砂顆粒內部采用Flat-Joint 黏結鍵黏結，顆粒之間為線性接觸。在保證粒徑大小同實際一致的情況下對模型進行等比例縮放，生成直徑為2.2 mm、高為0.6 mm 的圓柱體試樣，如圖2 所示。圓柱體試樣的上、下壓板層設置為剛性墻體，徑向為剛性約束，保持下底板不動，對上壓板向下持續(xù)施加10 m/s 的加載速度，得到圖2 中的歸一化孔隙比-軸向應力曲線，模擬結果與文獻[13]中的實驗結果整體吻合較好，屈服應力均為10 MPa 左右。

圖 2 石英砂壓縮曲線Fig. 2 Compression curve of quartz sand

2 散體顆粒中應力波的傳播規(guī)律

如圖3 所示，建立直徑為1 mm、高為3.6 mm的圓柱試件，徑向為剛性約束，下端面為自由面，上端面向下施加一個速度為50 m/s 的沖擊加載，由于顆粒間應力分布的離散性較大，在試件內部引入測量球，通過測量球所在空間位置全部粒子的應力平均值來描述應力波幅值，測量球球心所在位置為應力波傳播的距離，通過不同位置測量球測得的應力幅值來表征應力波在散體顆粒中的傳播規(guī)律。圖4 給出了試件不同位置的應力波波形。整體而言，隨著傳播距離的增大，應力波峰值逐漸減小，應力波脈寬逐漸發(fā)散。

圖 3 散體顆粒模型及測量球位置Fig. 3 Particle model and positions of the measurement balls

采用觀察區(qū)域內的應力平均值來表征應力波的傳播規(guī)律，測量球對應力波傳播可能存在一定影響。由于研究內容為軸向的應力波在散體顆粒中的傳播規(guī)律，因此將測量球的球心固定在圓柱試件的中心軸上，通過改變測量球的直徑大小d 來研究測量球對應力波傳播規(guī)律的影響。圖5給出了通過不同直徑大小的測量球獲得的應力波衰減規(guī)律。整體來看，所有衰減規(guī)律的變化趨勢是一致的，但測量球直徑越大，應力波衰減越嚴重。測量球獲得的平均應力并非一維應力波，同時涉及了圓柱徑向的應力波衰減，故測量球直徑越大，橫向衰減考慮的也越多。歸一化峰值應力，無量綱化應力波傳播距離， 其中， σs為 當前峰值應力， σ0為初始峰值應力，Ls為應力波傳播的距離，D 為圓柱試件的直徑。

圖 4 試件不同位置的應力波波形Fig. 4 Stress wave forms at different positions of the test piece

圖 5 不同直徑的測量球對應力波衰減的影響Fig. 5 Effect of measuring ball diameter on the attenuationof stress waves

如果測量球直徑過小，由于散體顆粒較大的分散性導致測量區(qū)域的應力波動較大；而當選取的測量球直徑過大，特別是接近試件直徑時，將導致測量的區(qū)域靠近側面固壁端的應力加倍。本研究選取測量球直徑為試件直徑的0.6 倍，此時應力波衰減趨于穩(wěn)定。從圖5 中可以看到，峰值應力隨傳播距離呈指數型衰減，具體可表示為

式中：A = 0.20，B = 0.76，β = 2.82。β 作為衰減因子，可以定量地描述應力波在散體顆粒中的衰減程度，β 越大，說明應力波衰減程度越大。

為更精確地研究應力波的衰減規(guī)律，在散體顆粒圓柱中引入更多測量球來觀測試件不同位置的應力波形，取各處應力波峰值，歸一化后繪于圖6(a)。整體而言，歸一化峰值應力仍然呈現近似指數型衰減規(guī)律，通過對局部數據點擬合可以得出，在傳播前期應力波衰減明顯，對應的衰減因子β = 5.40；而在傳播的中后期，應力波衰減程度趨緩，對應的衰減因子β = 1.16，遠小于前期的衰減因子。對照應力波傳播過后的顆粒細觀結構，如圖6(b)所示，其中紅色區(qū)域代表顆粒間黏結鍵的斷裂。前期應力波衰減顯著的區(qū)域正好對應于顆粒大量破碎的區(qū)域，將其定義為破碎區(qū)，中后期衰減因子較小的區(qū)域正好對應于顆粒較少甚至沒有發(fā)生破碎的區(qū)域，將其定義為微/未破碎區(qū)。由圖6 可知，顆粒的破碎區(qū)主要集中在試件的加載端，而恰好加載端附近區(qū)域的峰值應力衰減最為嚴重，遠離加載端的微/未破碎區(qū)的顆粒破碎程度顯著低于破碎區(qū)，對應的應力波峰值應力衰減不明顯，趨于穩(wěn)定，說明顆粒的破碎和應力波衰減具有直接關系。

圖 6 應力波衰減規(guī)律及顆粒破碎Fig. 6 Attenuation law of the stress wave and the image of particle fragmentation

3 散體顆粒中應力波衰減的影響因素

3.1 顆粒破碎對應力波衰減的影響

將圖3 離散元模型中顆粒內部的黏結鍵強度設置為1 000 MPa（正常情況為50 MPa），在數值模擬過程中黏結鍵將不發(fā)生斷裂，即顆粒不破碎，保持其他微觀參數不變，在50 m/s 的加載速度下進行數值模擬對比。將應力波在不同位置的峰值應力繪于圖7，并用式（1）進行擬合，可得不破碎顆粒中的應力波衰減因子β = 1.20，而正常黏結強度下的可破碎顆粒在微/未破碎區(qū)中應力波衰減因子β = 1.16，兩者相差無幾。

將正常黏結強度下的可破碎顆粒在破碎區(qū)中的應力波峰值應力進行擬合，得到應力波衰減因子β = 5.40，顯著大于不可破碎顆粒的應力波衰減因子（β = 2.92），如圖8 所示。顆粒破碎過程中，基礎顆粒間的黏結鍵斷裂需要消耗能量，并且顆粒破碎使整個散體顆粒系統中的力鏈更加復雜，由于應力波是單向傳播，且顆粒間具有復雜的應力波透反射現象，因此宏觀上表現為應力波峰值應力大幅衰減，卸載波形嚴重彌散。

圖 7 不同區(qū)域擬合曲線無量綱傳播距離Fig. 7 Dimensionless propagation distance of fitted curves in different regions

為深入研究應力波衰減過程中局部衰減因子β 與顆粒局部破碎程度的關系，設定基礎顆粒間的黏結鍵強度范圍為20～100 MPa，數值模擬得到顆粒在破碎區(qū)的局部破碎程度為8%～60%，對應破碎區(qū)局部的應力波衰減曲線指數擬合得到β 為3.50～6.10。如圖9 所示，β 和顆粒的破碎程度具有顯著的正相關性，即β 隨顆粒破碎程度的增加而增大，近似呈指數關系，說明顆粒破碎是影響散體顆粒中應力波衰減的一個重要因素。

圖 8 應力波在顆粒破碎/不破碎時的衰減規(guī)律Fig. 8 Attenuation laws of stress wave when particles are broken/unbroken

圖 9 顆粒破碎程度隨衰減因子β 的變化曲線Fig. 9 Degree of particle fragmentation with respect to the attenuation factor β

3.2 加載脈寬對應力波衰減的影響

應力波在散體顆粒間傳播時會發(fā)生透射和反射，涉及復雜的多向波系，在彈性散體顆粒中會發(fā)生散射現象，即隨著傳播距離的增大，應力波脈寬會彌散，如圖4 所示。應力波的衰減程度隨著傳播距離的增大而逐漸趨緩，除了受到顆粒破碎程度的影響之外，應力波的彌散也會對其產生一定的影響。為避免顆粒破碎帶來的干擾，對不可破碎散體顆粒模型（黏結鍵強度為1 000 MPa）進行不同脈寬的沖擊加載。圖10 給出了相同峰值應力、不同脈寬的應力波隨傳播距離的衰減規(guī)律。由圖10 可知，加載波形脈寬越大，應力波隨傳播距離增大所產生的峰值應力衰減越少，彌散也越小，加載初始，應力波具有相近峰值應力而脈寬不同，當傳播一定距離之后，應力波具有相近脈寬而峰值應力不同。對不同脈寬的應力波傳播過程中的峰值應力利用式（1）進行擬合，得到如圖11 所示的擬合曲線和對應的衰減因子β。由圖11 可知，隨著應力波脈寬的增大，β 從1.46 減小到0.61，應力波脈寬亦能對應力波在散體顆粒中的傳播產生較大影響。造成該現象的主要原因是：散體顆粒對高頻波具有顯著的彌散作用，會大幅削弱短脈寬的高頻波峰值應力，而對于長脈寬的低頻波影響相對較小。

圖 10 不同脈寬的應力波傳播規(guī)律Fig. 10 Propagation of stress waves with different pulse widths

圖 11 不同脈寬的應力波峰值擬合曲線Fig. 11 Curves of stress wave peaks with different pulse widths

3.3 加載速度對應力波衰減的影響

圖12 給出了散體顆粒在不同加載速度（30～110 m/s）下，應力波峰值隨傳播距離的衰減規(guī)律。從圖12 中可以看出，加載速度越大，β 值越大，即應力波的衰減程度隨著加載速度的增大而增大，在靠近加載端尤為明顯。考慮到顆粒破碎是應力波衰減的重要影響因素，將顆粒內部的黏結鍵強度設置為1 000 MPa，此時，顆粒不發(fā)生破碎，擬合曲線如圖13 所示。圖13 結果表明，在顆粒不發(fā)生破碎的前提下，在一個較寬泛的加載速度（1～100 m/s）范圍內，應力波在散體顆粒中的衰減規(guī)律基本不變。

圖 12 不同加載速度下可破碎顆粒的峰值應力擬合曲線Fig. 12 Peak stress fitting curves of the crushable particles at different loading velocities

圖 13 不同加載速度下不可破碎顆粒的峰值應力擬合曲線Fig. 13 Peak stress fitting curves of the uncrushable particles at different loading velocities

將加載速度、衰減因子β、顆粒黏結鍵的破碎比建立聯系，如圖14 所示。由圖14 可知，隨著加載速度的增大，β 呈上升趨勢，應力波的衰減程度變大，觀察黏結鍵的破碎比發(fā)現，隨著加載速度的增大，其破碎比也呈增大趨勢，且β 與黏結鍵的破碎比有相似的變化趨勢。觀察圖14 中不破碎顆粒的衰減因子，可以看到不同加載速度對不破碎顆粒的應力波衰減影響較小。由此可知，應力波衰減的速度相關性本質上是由散體顆粒的沖擊破碎引起的，加載速度越大，顆粒破壞程度越大，進而應力波的衰減程度越大；而在顆粒不破碎的情況下，加載速度增大時，衰減程度變化不明顯。

圖 14 衰減因子、黏結鍵破碎比與加載速度的關系Fig. 14 Relationship between attenuation factor, bond breaking ratio and loading velocity

4 結 論

利用離散元顆粒流軟件PFC3D建立了散體顆粒模型，通過側限壓縮實驗驗證了模型的準確性?；谠撾x散元模型，研究了散體顆粒在沖擊載荷下應力波的傳播規(guī)律和主要影響因素。主要結論如下。

（1）應力波在散體顆粒中傳播時，其峰值應力呈指數型衰減，且脈寬逐漸彌散。衰減因子β 可定量描述應力波的衰減程度，β 值越大，應力波的衰減越顯著。

（2）散體顆粒在沖擊加載后，根據顆粒的微觀破壞形貌，可分為破碎區(qū)和微/未破碎區(qū)，兩者的峰值應力也均呈指數衰減。破碎區(qū)的衰減程度遠大于微/未破碎區(qū)，顆粒的破碎是影響散體顆粒中應力波衰減的一個重要因素。

（3）加載脈寬是影響應力波在散體顆粒中衰減的另一個主要因素，加載脈寬越小，應力波峰值衰減越大。應力波在散體顆粒中的傳播初期，應力峰值顯著衰減，是顆粒破碎和短脈寬高頻波的共同作用。

（4）應力波衰減與加載速度顯著相關，應力波峰值應力衰減隨加載速度的增大而增大。但實際上卻是顆粒破碎在宏觀上的表象，加載速度越大，顆粒破壞程度越大，進而應力波的衰減程度越大。如果顆粒不發(fā)生破碎，加載速度增大時，應力波在散體顆粒中的衰減變化不明顯。