基于ARIMA 模型對社會消費品零售總額的預(yù)測分析
——以甘肅省隴南市各縣為例

樊 亮

1 問題的提出

社會消費品零售總額是整個零售市場的總規(guī)模和總?cè)萘?，是研究人民生活水平、社會消費品購買力和貨幣流通等問題的重要指標［1-2］.現(xiàn)階段人民的生活水平在不斷地提高，經(jīng)濟增長的重要組成部分之一便是居民的消費需求.近年來，隴南市各縣區(qū)社會消費品零售總額呈增長趨勢，如何運用適當模型對其進行分析，了解居民的消費需求以及隴南市各縣區(qū)社會消費品零售總額的發(fā)展趨勢，通過最終模型的預(yù)測結(jié)果可以使這些問題迎刃而解，以此為基礎(chǔ)幫助相關(guān)部門作出決策，并進一步提出合理的依據(jù)和參考.

2 模型介紹與數(shù)據(jù)說明

2.1 模型介紹

ARIMA 模型是由三個過程組成的單整自回歸移動平均模型：自回歸過程（AR（p）），單整（I（d）），移動平均過程（MA（q））［3］.在這個模型中，時間序列被認為是一個可用數(shù)學(xué)模型來描述的隨機過程，當此模型可以確定時，則可以利用該時間序列的過去值和現(xiàn)在值預(yù)測未來值，該模型反映了時間序列過去與現(xiàn)在［4］，未來與現(xiàn)在之間的關(guān)系，適用于短期預(yù)測.

ARIMA 模型是對非平穩(wěn)序列經(jīng)過d階差分后使其成為平穩(wěn)序列，ARIMA（p，d，q）模型的具體表達式如下［5］：

其中：Xt為時間序列，B為延遲算子，φi(i=1,2,…,p)為自回歸模型系數(shù)，θi(i=1,2,…,q)為移動平均模型系數(shù)，εt為白噪聲過程，p為自回歸模型的階數(shù)，q為移動平均模型的階數(shù).ARIMA 模型建模通常分為四個步驟，即序列的平穩(wěn)性檢驗，模型的初步識別，模型的參數(shù)估計和模型的診斷分析.

2.2 數(shù)據(jù)說明

本文所使用的數(shù)據(jù)來自《隴南2018 發(fā)展年鑒》.文中研究所涉及的縣市與對應(yīng)序列情況如表1 所示.

表1 市縣對應(yīng)序列一覽表

3 模型分析

3.1 模型的平穩(wěn)性檢驗

依據(jù)文獻［6］中數(shù)據(jù)，繪制隴南市及各縣區(qū)社會消費品零售總額數(shù)據(jù)的時間序列曲線如圖1 和圖2 所示.

圖1 隴南市社會消費品零售總額曲線圖

圖2 隴南市各縣區(qū)社會消費品零售總額曲線圖

從圖1 和圖2 可以看出，隴南市及各縣區(qū)社會消費品總額有明顯的增長趨勢，判斷各序列為非平穩(wěn)時間序列.

在建立模型之前需要對該時間序列進行平穩(wěn)化處理.通過Eviews8.0 軟件對該時間序列進行ADF 檢驗，檢驗結(jié)果表明，隴南市及各縣區(qū)數(shù)據(jù)的ADF 值分別大于1%、5%、10%的臨界值，具體數(shù)據(jù)如表2 所示，原時間序列{Xt}是一個非平穩(wěn)時間序列，為了消除原始數(shù)據(jù)中的異方差性，對原時間序列分別作對數(shù)處理，得到新的10 個時間序列{LXt}，同時為了使非平穩(wěn)的時間序列具有平穩(wěn)性，對{LXt}進行一階差分后得到{DLXt}.對于經(jīng)濟時間序列而言，差分次數(shù)即模型ARIMA（p，d，q）中的參數(shù)d，通常只取0，1，2，對{DLXt} 進行單位根檢驗以獲得它們的ADF 值，并判斷參數(shù)d的階數(shù).ADF 檢驗結(jié)果表明，所有的ADF 值分別大于不同檢驗水平下的三個臨界值，時間序列{DLXt} 接受原假設(shè)，即存在單位根的結(jié)論，具體情況如表3 所示.繼續(xù)對{DLXt} 作差分處理，并對差分后的時間序列{D2LXt} 分別進行ADF 檢驗，其檢驗結(jié)果顯示，ADF 值分別小于1%，5%，10%的三個臨界值，二階差分序列{D2LXt} 拒絕原假設(shè)，接受不存在單位根的結(jié)論，具體情況如表4 所示，因此該時間序列是二階單整序列，即模型中的d=2.

表2 隴南市及各縣區(qū)時間序列ADF 檢驗值

表3 隴南市及各縣區(qū)時間序列一階差分ADF 檢驗值

表4 隴南市及各縣區(qū)時間序列二階差分ADF 檢驗值

3.2 模型的識別

依據(jù)獲取時間序列樣本對模型進行形式上的識別，繪制時間序列{D2LXt} 的自相關(guān)（AC）圖和偏相關(guān)（PAC）圖，序列 {D2LX0} 的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖如圖3 所示（t=1，…，9）時的圖形趨勢和t=0 時一樣，不再逐一給出，下同）.

圖3 序列 {D2LX0} 的AC 圖和PAC 圖

從圖3 可以看出，時間序列{D2LX0} 的相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，因此判斷時間序列組適合于ARIMA（p，d，q）模型.

綜上，初步確定模型為ARIMA（1，2，1），ARIMA（1，2，2），ARIMA（2，2，1），ARIMA（2，2，2），運用最佳準則函數(shù)定階法，即AIC 準則法在極大似然值的基礎(chǔ)上對模型的階數(shù)和參數(shù)給出一組最佳估計.在不同模型的AIC 計算結(jié)果中，選取使AIC 最小的那一組階數(shù)為最佳階數(shù).對于上述的四個模型，通過Eviews8.0 軟件得出它們的AIC 值，如表5 所示，分別選取AIC值最小的模型，最終選擇模型ARIMA（2，2，2）.

3.3 模型參數(shù)的估計和診斷

結(jié)合表 5 結(jié)果繪制模型 ARIMA（2，2）的殘差序列折線圖與AC 和PAC 圖，分別如圖4與圖5 所示.

表5 各序列初步確定模型比較

圖4 模型ARIMA（2，2）殘差序列折線圖

圖 5 模型ARIMA（2，2）殘差序列的AC 和PAC 圖

從圖4 和圖5 可以看出，殘差序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)均在隨機區(qū)間內(nèi)，且圖5中最右側(cè)一列的概率值都大于0.05，這說明所有Q值都小于檢驗水平為0.05 的卡方分布臨界值，所選模型的殘差序列是一個白噪聲過程，最終確定 ARIMA（2，2，2）為最佳預(yù)測模型.擬合方程為：

其中各項系數(shù)由下面矩陣n的列向量給出.

表6 隴南市各縣社會消費品零售總額預(yù)測結(jié)果及對照

3.4 未來值預(yù)測

模型 ARIMA（2，2，2）的殘差序列是一個白噪聲序列，即滿足隨機性假設(shè)，模型構(gòu)建合理，可以進行預(yù)測.查閱最新的隴南2018 發(fā)展年鑒等資料得知，隴南市各縣區(qū)社會消費品零售總額的最新數(shù)據(jù)更新到2017 年，運用Eviews8.0 軟件的預(yù)測功能［7］做出隴南各縣區(qū)2017 年估計值，并與其實際值進行對照，進一步預(yù)測2018 年至2023 年的隴南市各縣社會消費品零售總額，具體情況如表6 所示.

4 結(jié)語

上述分析表明，運用ARIMA（p，d，q）模型在對隴南市各縣社會消費品零售額的預(yù)測中，近幾年的預(yù)測值與真實值之間的誤差率較低，但是隨著時間跨度的增大，該模型的預(yù)測值與實際值之間的誤差率逐漸增大，因此，在短期預(yù)測中，該模型具有一定的可信度，它從定量的角度反映了隴南各縣區(qū)經(jīng)濟存在一定的客觀問題［8-9］，雖然預(yù)測結(jié)果不能完全代表現(xiàn)實，但是由于其良好的穩(wěn)定性能，可以此模型為基礎(chǔ)，對未來的發(fā)展作出預(yù)測.從社會消費品零售總額的增長率來看，隴南各縣區(qū)社會消費品零售總額將保持增長的勢頭，平均增速為8.16%，考慮到今年的特殊性，雖然年初受突如其來的疫情影響，但是專家表明疫情沖擊是短期的，總體是可控的，社會消費品零售增速有望在后半年反彈.總體上看，2020 年隴南各縣區(qū)的社會消費品零售總額增速緩慢，有個別縣出現(xiàn)下滑態(tài)勢，但隴南市各縣區(qū)人民生活水平依然有所提高，其消費能力也隨消費環(huán)境的改變而逐步增強，這都直接帶動了社會消費品零售總額的發(fā)展.依據(jù)預(yù)測分析的結(jié)果，隴南市政府相關(guān)部門可以制定相應(yīng)的政策，調(diào)整和控制宏觀經(jīng)濟的整體運作，使得隴南各縣區(qū)在社會消費品方面的投資占比達到適當水平，促進經(jīng)濟健康發(fā)展.