李艷東，朱 玲，郭 媛，于 穎，趙麗娜

1.齊齊哈爾大學(xué) 計算機與控制工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006

2.齊齊哈爾大學(xué) 機電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006

1 引言

由于保持編隊的一組移動機器人在很多領(lǐng)域的有用性，世界上很多研究者關(guān)注這一領(lǐng)域，并提出了多種不同的編隊控制策略，如基于行為的控制[1]、虛擬結(jié)構(gòu)法[2]及領(lǐng)航者-跟隨者法[3-4]等，其中領(lǐng)航者-跟隨者法是最常用的機器人編隊控制方法。傳統(tǒng)的編隊控制[5-7]通過設(shè)計一個運動學(xué)控制器來保持編隊，需滿足“完美的速度跟蹤”假設(shè)，其缺乏對擾動等不確定性的魯棒性。為克服不確定性的影響，就必須考慮機器人的動力學(xué)，文獻[8-10]已經(jīng)包含了跟隨機器人的動力學(xué)模型，以驅(qū)動器力矩作為控制輸入，但實際應(yīng)用中，機器人以直流電機作為驅(qū)動器，以驅(qū)動器電壓作為輸入更合理[11]，因此本文編隊控制的研究將考慮含驅(qū)動器動力學(xué)的模型作為研究對象。

在一些實際應(yīng)用中，比如軍事、災(zāi)后救援、運載等領(lǐng)域，要求一組機器人在一定時間內(nèi)達成期望的編隊，而文獻[12-13]等設(shè)計的有限時間控制器收斂速度受初始條件限制，初始條件變化將直接影響控制器鎮(zhèn)定時間，無法實現(xiàn)這一愿望。Polyakov[14]開創(chuàng)的固定時間問題的研究，為解決這一問題帶來了希望，釋放了初始條件，通過控制器常數(shù)參數(shù)的人為設(shè)計就能決定機器人編隊的達成時間，這就涉及到了固定時間編隊控制問題。文獻[15-17]將針對一階、二階標(biāo)量系統(tǒng)的固定時間設(shè)計框架用到了多智能體系統(tǒng)一致控制上，然而，這些文獻都是采用將多變量系統(tǒng)解耦成包含單輸入通道的控制問題，然后再通過標(biāo)量系統(tǒng)的固定時間設(shè)計框架進行設(shè)計，直到現(xiàn)在針對多變量多輸入系統(tǒng)的固定時間控制問題進行設(shè)計的文獻也不多見[18]；此外，針對非完整移動機器人，并考慮以驅(qū)動器電壓作為控制輸入且克服外部干擾的情況，因變量之間的耦合，增加了設(shè)計的困難性，采用多變量固定時間設(shè)計框架進行編隊控制設(shè)計將更有意義。

針對多變量系統(tǒng)抗干擾固定時間控制設(shè)計可以采用開關(guān)控制，但因為輸入的頻繁動作，存在抖振現(xiàn)象，不利于系統(tǒng)實際應(yīng)用，文獻[19-20]提出的多變量連續(xù)類超螺旋固定時間算法很好地解決了開關(guān)控制輸入抖振的問題，受此啟發(fā)，本文將采用連續(xù)類超螺旋固定時間算法用到受外部干擾的移動機器人編隊控制中。綜合上面的分析，本文將研究一隊受外部干擾作用的電驅(qū)動非完整移動機器人的多變量固定時間連續(xù)編隊控制問題。

2 原理

2.1 非完整移動機器人模型

電驅(qū)動非完整移動機器人的數(shù)學(xué)模型如下[11]：

其中q=(x,y,θ)T為機器人的姿態(tài)向量，(x,y)表示后軸中點c在笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，θ為機器人的導(dǎo)向角。兩驅(qū)動輪的間距為2R，驅(qū)動輪的半徑為r。v和ω分別為移動機器人的線速度和角速度，Mˉ(q)為系統(tǒng)慣性矩陣，是與位置和速度有關(guān)的向心力和哥氏力矩陣，是僅與輪距R和輪半徑r有關(guān)的非奇異矩陣，為外部擾動，，ur與ul是加在右輪和左輪電機的輸入電壓，d是機器人后軸到前部的距離。其中矩陣：

其中，m是移動機器人平臺質(zhì)量，I為機器人平臺繞輪軸的轉(zhuǎn)動慣量，為速度與左右驅(qū)動輪速度的關(guān)系矩陣，a1=N2KTKb/Ra與a2=NKT/Ra為參數(shù)；N為電機齒輪與機器人驅(qū)動輪上齒輪的齒輪比，KT為電機轉(zhuǎn)矩常數(shù)，Ra為電阻，Kb是反電動勢系數(shù)。

2.2 領(lǐng)航者跟隨者編隊動力學(xué)模型

考慮如圖1所示相對距離為lij，相對方位角為ψij的兩個受非完整約束的領(lǐng)航者-跟隨者機器人系統(tǒng)。

圖1 領(lǐng)航者-跟隨者機器人系統(tǒng)

由圖1可以得到：

則編隊系統(tǒng)的運動學(xué)如下[21]：

其中，γj=ψij+θij，θij=θi-θj。

注1如無特殊說明，下標(biāo)i代表領(lǐng)航者參數(shù)，下標(biāo)j代表跟隨者參數(shù)，本文中j取1，2，即兩臺跟隨者。

由式（2）、（5）可以得到考慮驅(qū)動器動力學(xué)的領(lǐng)航者跟隨者編隊狀態(tài)空間動力學(xué)方程如下：

2.3 固定時間控制

在編隊控制器設(shè)計之前，先介紹幾個需要用到的引理和定義。

定義1[17-18]對于系統(tǒng)：

定義2[17-18]如果系統(tǒng)（8）是全局有限時間穩(wěn)定，而且設(shè)定時間函數(shù)T(x0)是有界的，即>0，T(x0)≤Tmax，那么系統(tǒng)（8）在原點固定時間穩(wěn)定。

引理1[18]如果存在一個Lyapunov函數(shù)，且對于參數(shù)α,β>0，p>1>q>0，其解滿足不等式：

那么原點是固定時間穩(wěn)定的，其設(shè)定時間函數(shù)有可以由設(shè)定常數(shù)計算出的界，即：

引理2[18]對于一個一階多變量系統(tǒng)：

其中，x∈?n，α,β>0，p>1>q>0，那么，系統(tǒng)（11）在原點是全局固定時間穩(wěn)定的，且設(shè)定時間估計由式（10）給出。

3 控制器設(shè)計

控制器設(shè)計分兩部分，第一部分進行編隊跟蹤部分的設(shè)計，采用固定時間編隊控制算法，使跟隨者在不依賴初始條件的情況下，通過設(shè)計參數(shù)的選擇在固定時間內(nèi)達到指定的編隊隊形；第二部分針對跟隨者機器人所受有界不確定干擾情況，依據(jù)機器人電驅(qū)動動力學(xué)模型進行抗干擾的固定時間動力學(xué)電壓控制器設(shè)計。

3.1 固定時間編隊控制問題

電驅(qū)動非完整移動機器人領(lǐng)航者-跟隨者法固定時間控制的目標(biāo)就是通過設(shè)計編隊控制器、動力學(xué)電壓控制器使：

其中，lijd與ψijd分別為跟隨機器人與領(lǐng)航機器人的相隔距離與相對方位角的期望值，Vjc為跟隨者機器人的期望速度。本文主要關(guān)注跟隨者機器人，給出如下假設(shè)。

假設(shè)1作用在跟隨者機器人上的擾動有界，即≤ρj，ρj為正常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)存在且有界，即L，L為正常數(shù)。

假設(shè)2領(lǐng)航者機器人跟蹤一個提前定義的時變軌跡。

假設(shè)3跟隨者機器人可以獲得所有自身的狀態(tài)和領(lǐng)航者機器人的速度。

3.2 固定時間運動學(xué)領(lǐng)航者-跟隨者編隊控制器

對于編隊運動學(xué)系統(tǒng)（6），控制輸入Vj=[vjωj]T，既然detG=d/lij≠0，G-1存在，假定期望的距離lijd和方位角ψijd是時不變的，使用狀態(tài)反饋技術(shù)可以得到多變量固定時間運動學(xué)編隊控制器（MFTFC）如下：

定理1對于多變量一階系統(tǒng)（6），設(shè)計編隊運動學(xué)控制器（13），那么編隊跟蹤偏差ej在設(shè)定時間函數(shù)T0內(nèi)收斂到0，跟隨者在通過控制器參數(shù)設(shè)計的設(shè)定時間T0內(nèi)實現(xiàn)編隊跟蹤，時間T0與系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)。

令 y0=≥0 ，有，式（17）則變?yōu)?，則由引理1，式（17）在固定時間式（15）所示時間T0內(nèi)收斂到原點，即系統(tǒng)（6）中的lij、ψij在固定時間內(nèi)達到lijd、ψijd，實現(xiàn)指定編隊，或者依據(jù)引理2，由運動學(xué)編隊跟蹤偏差微分方程（14）直接得到上述結(jié)論。證畢。

3.3 超螺旋固定時間動力學(xué)連續(xù)電壓控制器

前面設(shè)計解決了編隊運動學(xué)層面的固定時間編隊控制問題，以設(shè)計速度控制器作為輸入，可以實現(xiàn)跟隨者在固定時間與領(lǐng)航者達到指定編隊，但實際使用中，跟隨者機器人必然受到外部干擾的影響，因此，在干擾存在的情況下，應(yīng)考慮機器人動力學(xué)模型，這里，將編隊控制得到的速度作為動力學(xué)（7）的期望速度輸入，進行抗干擾的超螺旋固定時間動力學(xué)連續(xù)電壓控制器設(shè)計，定義速度跟蹤誤差：

結(jié)合式（7）和（18）可以得到速度跟蹤誤差微分方程如下：

對于輸入量Uj，基于文獻[20]的多變量類超螺旋固定時間控制方法進行的固定時間控制器設(shè)計如下：

其中，p1>1，那么，閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)有如下形式：

定理2對于存在干擾ξ(t)的動力學(xué)系統(tǒng)（22），≤L，那么，ejc和y在固定時間T1內(nèi)收斂于原點，即跟隨者機器人實現(xiàn)速度跟蹤并克服外部干擾τˉdj。

定理2證明見文獻[20]。

通過變量替換可以得到基于多變量超螺旋固定時間算法的跟隨者機器人動力學(xué)固定時間連續(xù)電壓控制器（MSTFTC）如下：

定理3對形如動力學(xué)方程（7）的電驅(qū)動跟隨者機器人j，假設(shè)1～3同時滿足，設(shè)計跟隨者機器人驅(qū)動器電壓控制器（24），那么跟隨者機器人速度跟蹤偏差ejc在設(shè)定時間T1（式（23））內(nèi)收斂到0，跟隨者在通過控制器參數(shù)設(shè)計的設(shè)定時間T1內(nèi)實現(xiàn)動力學(xué)速度跟蹤，時間T1與系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)。

證明由定理2，很顯然定理3成立。

為了進行對比，這里給出跟隨者機器人多變量固定時間魯棒控制器（MFTRC）如下：

其中，α1，β1，p1為設(shè)計常數(shù)，同式（24），sgn(?)為符號函數(shù)，顯然式（25）采用開關(guān)控制項來克服干擾，為非連續(xù)控制。

進一步，通過變量替換得到跟隨者機器人多變量固定時間魯棒電壓控制器（MFTRUC）如下：

注2機器人編隊在T0max內(nèi)達到期望編隊，跟隨者在T1max內(nèi)實現(xiàn)速度跟蹤，取T=max(T0max,T1max)，則通過設(shè)計控制參數(shù)可以實現(xiàn)存在擾動情況下機器人編隊在T內(nèi)達到期望編隊。

圖2 電驅(qū)動移動機器人多變量固定時間連續(xù)編隊控制結(jié)構(gòu)圖

4 仿真與結(jié)果分析

文中所設(shè)計的電驅(qū)動移動機器人多變量固定時間連續(xù)編隊控制算法（MFTFC+MSTFTC）框圖如圖2所示，通過MATLAB/SIMULINK對所提出算法進行仿真分析，三臺非完整移動機器人組成三角編隊（lijd=1，ψijd=±120°）作為研究對象，取編隊機器人模型物理參數(shù)完全相同如表1所示。

表1 機器人系統(tǒng)模型物理參數(shù)

圖3 三角編隊圓形軌跡跟蹤

圖4 跟隨者與領(lǐng)航者相對距離跟蹤偏差

圖5 跟隨者與領(lǐng)航者方位角跟蹤偏差

圖6 跟隨者速度跟蹤偏差

圖7 跟隨者角速度跟蹤偏差

圖8 跟隨者輸入Uj1（MFTFC+MSTFTC算法）

圖9 跟隨者輔助輸入Uj1（MFTRC+MFTRUC算法）

（1）領(lǐng)航者與跟隨者相對編隊初始位姿差[0.5 3π/5 0.5-3π/5]，采用MFTFC+MSTFTC算法的仿真結(jié)果如圖3～圖8的（a）圖所示，采用MFTRC+MFTRUC算法的仿真結(jié)果如圖9（a）所示（限于篇幅，此算法只給出輔助輸入Uj1用于比較研究）。

（2）領(lǐng)航者與跟隨者相對編隊初始位姿差[0.5 π/3 1.5-π/3]，采用MFTFC+MSTFTC算法的仿真結(jié)果如圖3～圖8的（b）圖所示，采用MFTRC+MFTRUC算法的仿真結(jié)果如圖9（b）所示。

（3）領(lǐng)航者與跟隨者相對編隊初始位姿差[1.5 π/6 2-π/6]，采用MFTFC+MSTFTC算法的仿真結(jié)果3～圖8的（c）圖所示，采用MFTRC+MFTRUC算法的仿真結(jié)果如圖9（c）所示。

在參數(shù)的選取上，可以看出三種軌跡跟蹤情況參數(shù)一致，領(lǐng)航者與跟隨者相對編隊初始位姿差不同，即初始條件不同，從仿真結(jié)果圖3～圖7（MFTFC+MSTFTC算法）中的（a）～（c）圖可以看出，三種情況都實現(xiàn)了較好的跟蹤，克服了滿足假設(shè)條件干擾的影響，且?guī)缀踉谙嗤臅r間（通過控制器參數(shù)設(shè)計的設(shè)定時間）跟隨者機器人達到了期望編隊位置，跟隨者機器人實現(xiàn)了對期望速度的跟蹤，說明控制效果與初始條件無關(guān)，實現(xiàn)了固定時間控制。

在公共參數(shù)相同的情況下，三種軌跡跟蹤情況，采用 MFTFC+MSTFTC 算法的圖 8的（a）～（c）和采用MFTFC+MFTRUC算法的圖9的（a）～（c）跟隨者輔助輸入Uj1的對比可以看出，連續(xù)控制的超螺旋固定時間算法（MFTFC+MSTFTC）消除了輸入抖振現(xiàn)象，開關(guān)控制的固定時間魯棒控制算法（MFTFC+MFTRUC）則存在明顯的抖振現(xiàn)象，不利用實際應(yīng)用。

5 結(jié)束語

文章研究了多機器人的編隊控制問題，基于l-ψ領(lǐng)航者-跟隨者控制結(jié)構(gòu)提出了電驅(qū)動非完整移動機器人固定時間連續(xù)編隊控制算法。依據(jù)領(lǐng)航者-跟隨者編隊動力學(xué)狀態(tài)空間模型設(shè)計的多變量固定時間編隊控制，以及在動力學(xué)層面，以驅(qū)動器電壓作為控制量設(shè)計的多變量超螺旋固定時間連續(xù)電壓控制。通過調(diào)整設(shè)計常數(shù)參數(shù)，而無需關(guān)注機器人初始狀態(tài)就能夠使跟隨者機器人在固定時間內(nèi)與領(lǐng)航者機器人保持期望編隊，且在克服有界干擾的情況下，實現(xiàn)了固定時間內(nèi)對理想速度的跟蹤。在跟隨者機器人存在干擾情況下，對三臺機器人組成的三角編隊以多種初始條件情況跟蹤圓形軌跡進行了仿真實驗，并與開關(guān)控制的魯棒固定時間控制算法進行了對比。仿真實例及分析較好地說明了所提算法的有效性及連續(xù)控制消除輸入抖振的優(yōu)越性，從而增加了編隊機器人在干擾存在情況下對達成編隊有時間要求場合的實用性。對于機器人編隊同時存在負載變化、摩擦及外部干擾等多不確定性的情況，將是進一步研究的內(nèi)容。