董 冬，邊 靜

1.吉林省地質資料館，吉林 長春 130061；2.吉林省地質環(huán)境監(jiān)測總站，吉林 長春 130021

0 引言

地下水系統(tǒng)經常與環(huán)境發(fā)生物質、能量與信息的交換，時刻處于變化之中。地下水動態(tài)是反映地質、水文地質條件改變的晴雨表、溫度計[1，2]，因此說掌握地下水動態(tài)對于合理利用地下水或有效防范其危害十分重要。由于地下水系統(tǒng)的復雜性、非線性、多尺度性、突變性和隨機性等本質屬性的存在，使得對地下水動態(tài)預測研究變得復雜[3，4]。如何提高地下水動態(tài)預測的精度和可靠性，具有十分重要的意義。

地下水位動態(tài)預測的方法很多，但在有些水文地質條件復雜的地區(qū)，由于各種水文地質參數(shù)，源匯項及邊界條件難以搞清，基于地下水動力學的預測方法并不適用[5]。趨勢面分析是利用數(shù)學曲面模擬地理要素在空間上的分布及變化趨勢的一種數(shù)學方法，常被用來模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，在空間分析方面具有重要的應用價值[6]。

1 趨勢面分析的原理

1.1 趨勢面分析的涵義

趨勢面分析是用一個適當?shù)臄?shù)學曲面去擬合研究變量的觀測值。把觀測值分成兩部分：一部分是趨勢，它的變化受區(qū)域性因素的影響，反映觀測指標在大范圍內的變化特點；另一部分是剩余，它僅反映在局部范圍內指標的變化特征，也受局部性因素和隨機因素控制[5]。

根據(jù)研究問題的差異，有不同的著眼點：有時注重將局部因素分離出來，例如地下水污染源和地下水水化學成分異常帶的圈定；有時注重研究全局性的變化趨勢，例如對區(qū)域性地下水化學成分背景值的研究和地下水動態(tài)的研究。至于區(qū)域性變化和局部性變化的區(qū)分，要看研究范圍的大小和目的具體確定。

根據(jù)研究的空間維數(shù)的不同，分別有一維、二維和三維趨勢面分析。

用(x，y)表示觀測點或取樣點的平面坐標，函數(shù)z=f(x，y)表示觀測值z在大范圍內的變化趨勢，它相對應的曲面叫趨勢面。這時觀測值z可表示成：

z=f(x，y)+R(x，y)

其中R(x，y)叫做剩余，它是由局部因素和隨機因素所引起的觀測值的變化。通常用特殊的函數(shù)形式表示趨勢面函數(shù)f(x，y)，最常見的是把f(x，y)表示成各種次數(shù)的多項式，例如二元二次趨勢面可表示成：

z=f(x，y)=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2

這種趨勢面分析叫做多項式趨勢面分析。為了表示所研究變量在空間范圍內的周期性變化，還可用三角多項式構造趨勢面函數(shù)，這叫調和趨勢面分析。由于這兩種多項式可以在有限范圍內任意逼近各種連續(xù)函數(shù)，因此用它們表示所研究變量的變化趨勢是合適的。

把時間變量引入趨勢面分析，以三維(三元)二次多項式模型的建立為例，探討模擬預測地下水位動態(tài)的理論與方法。

1.2 趨勢面模型的建立

設計算區(qū)內有L1個觀測時段，L2個觀測點的水位資料。任一時刻(i)，任一觀測點(j)都有一個觀測水位Hij和計算水位hij與之對應。因水位是位置坐標(x，y)和時間t的函數(shù)，可將水位表述成三維(元)二次趨勢多項式：

h=b0+b1x+b2y+b3t+b4x2+b5xy+b6y2+b7xt+b8yt+b9t2

(1)

第i個時刻第j個觀測點資料應滿足(1)式，由此有：

hij=b0+b1xj+b2yj+b3ti+b4xj2+b5xjyj+b6yj2+b7xjti+b8yjti+b9ti2

(i=1,2,…,L1；j=1,2,…,L2)

(2)

式中：b0，b1，…，b9為待定系數(shù)。

實際上，由于受各種因素的干擾，觀測水位Hij與趨勢面計算水位hij總存在誤差。即：

Hij=hij+Rij

(3)

式中：Rij為計算水位的誤差。

這樣就把趨勢面分析問題轉變?yōu)槎嘣€性回歸分析問題：

(4)

式中：k=1，2，…，n；n=L1×L2。

由最小二乘法準則，所求的多項式系數(shù)b0，b1，…，b9應使剩余平方和：

(5)

取最小值，即應滿足方程組:

(6)

將方程組(6)進行整理可得如下的正規(guī)方程組：

(7)

式中：

(8)

利用地下水位的實測數(shù)據(jù)，解方程組(7)，求得b1，b2，…，b9，代入(8)式求得b0，這樣就得到地下水位趨勢面二次多項式，利用該三維(元)二次趨勢多項式即可預報地下水位。

1.3 趨勢面模型的適度檢驗

一般來說，任何一組水位觀測數(shù)據(jù)，都可以計算出適當次數(shù)的趨勢多項式。但該多項式是否能夠較好地代表原始水位變量h的空間變化趨勢，這個趨勢多項式對水位變量h的擬合程度如何，這需要進行精度檢驗。

注意到趨勢面分析與回歸分析之間的變換關系，多元線性回歸的顯著性檢驗方法可以用于趨勢面分析。采用復相關系數(shù)R檢驗法，將上述趨勢面多項式對水位h的擬合程度進行檢驗。

R=u/Syy

(9)

2 應用實例

以白城市熱電廠抽水試驗觀測資料為例，建立地下水位動態(tài)三維(元)二次趨勢面多項式，并預測地下水位動態(tài)。

2.1 趨勢面模型的擬合

用5個觀測孔，10個時刻的地下水位觀測資料進行模型的擬合，建立地下水位降深趨勢面多項式模型為：

S=-0.173-0.559x+0.422y+0.292t+0.008x2+0.012xy-0.012y2+0.001xt+0.000 1yt-0.024t2

(10)

擬合結果令人滿意，相關系數(shù)R=0.977，經檢驗x、y、t與S的顯著性強。計算的水位降深和觀測水位降深曲線基本吻合，見圖1。這說明建立的地下水位動態(tài)三維(元)二次趨勢面多項式模型(10)反映了擬合時間段內水位隨時空的變化規(guī)律。

圖1 5號孔地下水位降深計算值與觀測值對比曲線Fig.1 Comparison curves of groundwater drawdown calculation value and observation value of No.5 hole (10)

2.2 地下水位動態(tài)預測

建立地下水位動態(tài)三維(元)二次趨勢面多項式模型的目的是預報地下水位動態(tài)，三維(元)二次趨勢面多項式的可靠性和適用程度如何，關鍵要看預報的結果。

采用此方法預報其中的3個觀測孔，8個時刻的地下水位動態(tài)，預測結果令人滿意，計算值與實際觀測值比較接近，預測結果見表1。說明該預測方法是可靠和適用的。

表1 預測與實測地下水位降深對比表Table 1 Comparison between drawdown of predicted groundwater level and that of measured groundwater level

3 結論

(1)地下水位動態(tài)三維(元)二次趨勢面多項式模型既可內插水位，也可預測地下水位動態(tài)。該預測方法使用于水文地質條件復雜、難以搞清，數(shù)學模型難以確定的地區(qū)。

(2)趨勢面分析法模擬預測地下水位，要求有足夠長序列的地下水動態(tài)觀測資料，預測與擬合的條件完全相同。

(3)算例中，三維(元)二次多項式xt和yt項系數(shù)很小，說明其與水位的關系不密切，如果采用逐步回歸，剔除這些不顯著項，效果會更好。

(4)應用此法預測地下水位動態(tài)只是做一點探索性的嘗試，尚不成熟，有待進一步研究完善。但可以預想，應用此法來模擬預測水污染和水化學成分異常可能意義更加深遠。