丁藝 朱雅婷

【摘要】在高中幾何教學中，圖形變換中的復合變換一直是教學的難點。傳統(tǒng)的板書、幻燈片等形式，要讓平均水準的學生掌握圖形變化的性質和關系力有未逮。文章介紹了一款專業(yè)的幾何圖形繪制軟件，并通過兩個教學案例展示了如何交互、動態(tài)地展示復合變換的規(guī)律，在實踐中獲得了良好的教學效果。

【關鍵詞】高中幾何;圖形變換;軟件;動態(tài)

一、問題的引入

高中階段的幾何教學中，有一些知識點及其運用往往被大多數學生畏之如虎，圖形變換特別是涉及幾種變換的復合變換，就是其中之一。根據筆者多年的教學經歷，在學習單一圖形的平移、旋轉、反射等變換的時候，平均水準的學生都能較好地掌握，然而一旦涉及幾種變換組合起來的復合變換情況，學生往往思路不清，對變換的本質理解不深，無論是在作業(yè)中還是在測評中，都易失分。

這主要是因為，使用傳統(tǒng)的板書形式只能描繪變換之后的靜態(tài)結果，如果要討論若干條件的改變對變換的影響，則需要修改和重繪，費時費力;即便使用一些常規(guī)的信息化教學手段，如制作幻燈片并利用一些動畫效果，但對學生來說，缺乏互動性和探索性，也無法很快地形成對圖形變換本質的理解。

筆者在研究和評估了一些教學輔助手段之后，使用“幾何畫板”繪制了一些教學示例。“幾何畫板（The Geometer's Sketchpad，簡稱GSP）”是一款國內外廣泛用于數學、物理教學的付費軟件，可運行于Windows和Macintosh操作系統(tǒng)上。筆者除了用幾何畫板在課堂上給學生動態(tài)地展示復合變換，也鼓勵學生自己去與之交互、修改和舉一反三地編寫新的例子。通過幾年的教學實踐后發(fā)現，相較于傳統(tǒng)的教學方法，使用幾何畫板設計展示動態(tài)示例，在讓學生定性地認識復合變換的效果以及定量地分析幾種特殊的變換組合產生的效果方面，后者更具優(yōu)勢。

下面通過兩個具體案例來探討如何基于幾何畫板進行知識點的動態(tài)展示。

二、使用動態(tài)展示提高教學效果的案例

案例1：一個簡單幾何形狀，關于兩條平行直線，連續(xù)反射兩次。

原像關于直線反射，得到圖像;關于直線反射，得到圖像。

先請學生觀察，原像和最后的像之間是什么關系。通過幾何畫板的演示，移動兩條直線和，讓學生觀察到，象會跟著移動。這使得學生推斷得到的關系看起來更加明確。

通過這個操作實例，大部分學生可以判斷出，原像和兩次反射后的像，是一個平移的關系。

通過測量三個點對、、之間的距離，以及移動兩條平行線和，可以看出，三個點對的距離一直保持一致。

于是，筆者請同學們進一步思考：平移是可以通過平移的方向和平移的距離來描述的，那這個平移是否也可以根據某些條件確定呢？

于是有學生猜測，這個平移的距離和兩條平行線是垂直的。通過構造直線和的垂線，并且移動圖形，可以看出，和是平行的，即，的移動方向是垂直于直線和的。并且進一步可以看出，移動的距離是兩條平行線的距離的兩倍。無論在幾何畫板中如何改變平行線和的距離，上述關系始終成立。

由此大部分學生都已經能得出結論：經過兩條平行線連續(xù)兩次反射的疊加效果是平移，并且平移的方向和平行線垂直，平移的距離是兩條平行線距離的兩倍。

由于是觀察圖形和與圖形交互以后推理并得到驗證的結論，大部分學生都能記憶并且較好地理解了多次反射的特點。

案例2：一個簡單幾何形狀，關于兩條相交直線，連續(xù)反射兩次。

原像關于直線反射，得到圖像;關于直線反射，得到圖像。

筆者請學生觀察，原像和最后的像之間是什么關系。通過幾何畫板的作圖演示，并且通過任意改變兩條相交直線的角度，像會動態(tài)地跟著移動，使這個關系看起來更加明確。

通過這個示例的動態(tài)演示，大部分學生已經可以判斷出，原像和兩次反射后的像是一個旋轉的關系，并且猜測很大可能是繞著兩條直線的交點旋轉的。由此可以進入下一步的驗證。

將兩條直線的交點標記為，并測量三對點與形成的角度，可以看出，不管怎么移動相交直線和，這三個角度一直保持相等。這就驗證了之前的猜測。

于是，筆者啟發(fā)學生進一步思考：旋轉是可以通過旋轉中心和角度來描述的，那在這個兩次反射構造的旋轉中，旋轉的角度是什么呢？通過前面的動態(tài)展示，學生會發(fā)現，和之間的角度隨著兩條直線之間的交角增加而增加。大部分學生都能給出合理的猜測，這兩個角度之間一定有關系。

用幾何畫板自帶的角度測量工具，并且通過動態(tài)地任意調整兩條直線之間的交角，可以發(fā)現量化關系，即和之間的角度一直是兩條直線交角（銳角）的兩倍。

由此，很多學生已經可以得出結論：經過兩條相交直線連續(xù)兩次反射的疊加效果是旋轉，并且旋轉的中心是兩條直線的交點，旋轉的角度是兩條直線交角（銳角）的兩倍。由于這些結論是學生與筆者一同進行交互性地探索和驗證得出的，而非生硬記憶的結論，因此在之后的測評中，都顯示學生對這些知識點理解和掌握得相當扎實。

三、結語

板書、手繪作圖和測量是高中數學教師的基本功，也是最常規(guī)的教學方法。但在有些知識點的教學中，傳統(tǒng)手繪的方式需要花費的時間比較長，并且測量距離和角度的結果并沒有那么直觀地揭示量化關系，也沒法任意移動，展示動態(tài)的效果。

筆者并不提倡一味地用“信息化”甚至全盤幻燈片化來解決教學中的所有難點，而是選用合適的信息化載具作為常規(guī)教學方法的補充。本文所探討的，使用幾何畫板展示、教學的這兩個案例，既脫胎于常規(guī)教學的教案，又利用了專業(yè)工具的直觀性、交互性、動態(tài)性和易操作性，學生很容易掌握使用，幾分鐘就可以構造出自己的例子，進行計算和驗證也非常方便，從而讓學生更愿意進行主動探索型的學習，無論從提高教學效果還是從培育學習興趣的角度，都獲得了意料之外又在情理之中的效果。

【參考文獻】

孫嵐，王紅芳.巧用平面幾何解決高中數學問題[J].新課程（中學），2016（05）：53.