張 磊，魯 凱，田 偉，丁 浩

(中國石油大學(華東) 新能源學院，青島 266580)

0 引 言

永磁同步電機(以下簡稱PMSM)無需額外勵磁電流且能量密度大，特別適用于工業(yè)控制領域[1]。PMSM具有參數(shù)時變、強耦合、非線性的特點[2]，傳統(tǒng)的PID控制器無法滿足對負載的突加擾動作出迅速、準確、微超調(diào)的動態(tài)響應[3]。由韓京清提出的自抗擾控制(以下簡稱ADRC)方法，使用系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)對被控對象的不確定因素進行估計和補償[4-6]。該技術已在工業(yè)機器人、航空航天、電機控制等領域得到了廣泛應用[7-10]。ADRC的核心是擴張狀態(tài)觀測器(以下簡稱ESO)，ESO分為兩種形式：非線性ESO和線性ESO,非線性ESO的結(jié)構復雜，其嚴格穩(wěn)定性很難推導證明。此外，為了獲得良好的性能，線性ESO需要更大的觀測器增益[11]?；谏鲜龇治觯O計一種變增益ADRC。

本文將變增益ADRC應用到PMSM伺服方案設計中，采用變增益ADRC解決傳統(tǒng)方法的初始峰值問題，既保留了非線性ADRC的優(yōu)良特性，又具備線性ADRC的參數(shù)調(diào)節(jié)方便和利于理論分析的優(yōu)點。在建立PMSM伺服系統(tǒng)數(shù)學模型的基礎上，結(jié)合變增益ADRC設計轉(zhuǎn)速和電流控制器，并進行相應的仿真研究與實驗驗證。

1 PMSM數(shù)學模型

PMSM在d,q旋轉(zhuǎn)坐標系下的電壓和磁鏈方程可以表示：

(1)

(2)

電磁轉(zhuǎn)矩和運動方程：

Te=1.5p[ψf+(Ld-Lq)id]iq

(3)

(4)

式中：ud，uq分別是定子電壓的d，q軸分量；id，iq分別是定子電流的d，q軸分量；Rs是定子電阻；ψd，ψq為定子磁鏈的d，q軸分量；ω是電角度；Ld，Lq分別是d，q軸電感分量；ψf代表永磁體磁鏈；B為摩擦系數(shù)，p為電機極對數(shù)。

對于表貼式PMSM，有Ld=Lq，式(3)簡化:

Te=1.5pψfiq

(5)

2 基于變增益ADRC的PMSM伺服系統(tǒng)的模型建立

ADRC由跟蹤微分器(以下簡稱TD)，非線性狀態(tài)誤差反饋律(以下簡稱NLSEF)和ESO組成[4-6]。本節(jié)討論變增益ADRC的設計以及轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)的變增益ADRC的設計方法。

2.1 變增益ADRC設計

針對一個一階系統(tǒng)可以寫成如下的形式：

(6)

式中：x1，x2為系統(tǒng)狀態(tài)變量；y為系統(tǒng)輸出；u為控制量；f1為系統(tǒng)總擾動；b0為控制增益。建立與該系統(tǒng)對應的ESO:

(7)

式中：e為ESO的觀測誤差；z1，z2為ESO觀測值；l1(t)，l2(t)為ESO的增益。根據(jù)式(6)、式(7)得出系統(tǒng)的誤差模型如下:

(8)

根據(jù)對偶性可以將式(8)轉(zhuǎn)化為標準形式的可控系統(tǒng)，將式(8)寫成矩陣的形式如下：

(9)

可以求取誤差的解：

(10)

系統(tǒng)eAt在初始時刻因為高增益很大，且系統(tǒng)的初始誤差較大，采用常數(shù)高增益觀測器會出現(xiàn)初始峰值振動現(xiàn)象。因此，設計了變增益自抗擾控制器。

與式(9)對應的標準系統(tǒng)如下：

(11)

式中：a1(t)，a2(t)為變增益的參數(shù)。定義式(9)的可控矩陣為M，式(11)的可控矩陣為Mc。

(12)

式中：p1，p2為M的列向量。根據(jù)式(12)可以求出：

(13)

式(9)和式(11)是可控的，定義z=T(t)e，其中變換矩陣T(t)：

T(t)=Mc(t)M-1(t)

(14)

假定a1(t)，a2(t)光滑且有界，通過式(13)、式(14)很容易證出T(t)是一個李雅普諾夫變換矩陣。由李雅普諾夫變換可得：

(15)

為了得到觀測器增益l1(t)，定義：

L(t)=[-l1(t),-l2(t)]T

(16)

將T(t)分解為n+1列向量的形式：

T(t)=[T1(t),T2(t)]

(17)

根據(jù)式(15)可以得到:

(18)

通過將狀態(tài)誤差矩陣式(9)轉(zhuǎn)化為標準型式(11)，得到了觀測器增益表達式:

(19)

對于二階ESO，可以選取[12]：

(20)

根據(jù)式(19)、式(20)可以得到：

(21)

式中：ωn(t)=ω0ω(t)，ω(t)=1.8[(1+e-0.05t)-1-0.5]+0.1。

2.2 轉(zhuǎn)速環(huán)變增益ADRC設計

速度控制器的TD主要根據(jù)指令安排過渡過程。速度控制器的TD設計：

(22)

式中：ωt為期望速度；ω1的為期望速度安排的過渡過程；ω2為ω1的微分信號；h為步長；參數(shù)h0的作用是于消除超調(diào)現(xiàn)象；參數(shù)r的作用是決定跟蹤期望信號的速度。

根據(jù)速度環(huán)的運動方程,結(jié)合提出的變增益ADRC設計方法，選取輸入量u=iq,輸出量y=ω,狀態(tài)變量x1=ω和x2=f1=-Tl/J-Bωm/J，設計速度控制器的狀態(tài)觀測器:

(23)

設計速度控制器的控制規(guī)律：

(24)

速度控制器如圖1所示，其中，z1是ω的觀測值，z2是f1的觀測值。

圖1 速度自抗擾控制器結(jié)構圖

2.3 電流環(huán)變增益ADRC設計

電流環(huán)的變增益ADRC設計與速度環(huán)的變增益ADRC設計類似。同樣地，可以采取一階ADRC結(jié)構設計電流環(huán)控制器，不同的是電流環(huán)和速度環(huán)選取的輸入輸出量和擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)變量不同。將d,q軸電壓方程改寫：

(25)

電流環(huán)選取輸入量u=ud，輸出量y=iq，狀態(tài)變量x1=iq，x2=f1=(-Riq+ωeLqiq-ωeψf)。電流環(huán)和速度環(huán)的結(jié)構相同，不同的是二者控制器的參數(shù)需要獨立調(diào)節(jié)。電流環(huán)控制器結(jié)構如圖2所示。其中，z1是iq的觀測值，z2是fiq的觀測值。

圖2 電流自抗擾控制器結(jié)構圖

3 仿真分析

使用MATLAB/Simulink平臺，驗證提出的基于變增益ADRC的PMSM控制方案的性能。電機參數(shù)如表1所示。其中，速度控制器PI參數(shù)：kp=8,ki=2；速度ADRC參數(shù)：r=10,h=0.000 3,h0=0.000 5,ωc=40,ω0=80,b0=350。電流控制器PI參數(shù)：kp=100,ki=10；電流ADRC參數(shù)：r=5,h=0.000 3,h0=0.000 5,ωc=25,ω0=50,b0=200。

表1 電機參數(shù)

本文主要進行了起動和抗負載擾動的仿真分析。起動仿真中速度的給定值為150r/min，q軸電流的給定值為1A。在速度環(huán)的抗負載擾動仿真中，t=0.4s突加負載轉(zhuǎn)矩5N·m，t=0.8s突加負載轉(zhuǎn)矩10N·m。在電流環(huán)的抗負載擾動仿真中，t=0.2s突加負載轉(zhuǎn)矩5N·m，t=0.4s突加負載轉(zhuǎn)矩10N·m。仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

(a) 速度波形

(b) 電流波形圖3 起動仿真波形

(a) 速度波形

(b) 電流波形圖4 抗負載擾動仿真波形

圖3(a)和圖3(b)分別為變增益ADRC和傳統(tǒng)ADRC速度和電流起動的仿真結(jié)果。在圖3(a)中，線性ESO為傳統(tǒng)ADRC，自適應ESO為變增益ADRC，可以看出，二者都有較好的起動性能。但是，線性ADRC為了追求較好的動態(tài)響應，而選取較大的觀測器增益，相比變增益ADRC，其速度環(huán)和電流環(huán)都有起動峰值問題。變增益ADRC就可以解決觀測器初始峰值。

圖4(a)為ADRC控制器和PI控制器速度抗負載擾動的仿真波形，圖4(b)為ADRC控制器和PI控制器電流抗負載擾動的仿真波形。針對同一種負載擾動，速度環(huán)和電流環(huán)中ADRC控制器的超調(diào)相比PI控制器的超調(diào)量分別大約降低20%和28%，ADRC控制器沒有PI控制器的振蕩過程，可以直接恢復穩(wěn)態(tài)；且可以看出，二者的調(diào)節(jié)時間基本相同，但是ADRC控制器的超調(diào)量小于PI控制器，而且負載轉(zhuǎn)矩越大，超調(diào)量對比效果越明顯。

4 實驗結(jié)果及誤差分析

為了驗證提出的基于變增益ADRC的PMSM控制方案的控制效果，搭建如圖5所示的實驗平臺，PMSM具體參數(shù)如表1所示。

圖5 實驗裝置圖

對速度環(huán)進行起動和抗負載擾動實驗，起動實驗結(jié)果如圖6所示；抗負載擾動實驗結(jié)果如圖7所示。其中，給定轉(zhuǎn)速為150r/min，系統(tǒng)穩(wěn)定時突加5N·m負載轉(zhuǎn)矩。

圖6(a)為線性ADRC的速度曲線，圖6(b)為變增益ADRC的速度曲線，可以看出采用變增益ADRC可以較好地解決傳統(tǒng)ADRC的初始峰值現(xiàn)象。圖7(a)為PID控制器的速度曲線，圖7(b)為ADRC的速度曲線，可以看出，采用變增益ADRC有著較好的動態(tài)性能。

(a) 線性ADRC速度曲線

(b) 變增益ADRC速度曲線圖6 起動實驗波形

(a) PID速度曲線

(b) 變增益ADRC速度曲線圖7 抗負載擾動實驗波形

5 結(jié) 語

本文分析了線性ADRC應用到PMSM中存在的初始峰值現(xiàn)象，提出一種基于變增益ADRC的PMSM轉(zhuǎn)速和電流控制器，采用變增益ADRC可以解決傳統(tǒng)方法存在的初始峰值問題，既保留了非線性ADRC的優(yōu)良特性，又具備線性ADRC的參數(shù)調(diào)節(jié)方便和利于理論分析的優(yōu)點。與傳統(tǒng)的PID控制相比，在應對突加的系統(tǒng)擾動方面，變增益ADRC伺服系統(tǒng)的收斂速度更快，靜態(tài)誤差更小，系統(tǒng)的性能得到較大程度的提升。由仿真和實驗結(jié)果可知，起動和動態(tài)時的系統(tǒng)運行都符合理論分析。