劉曉妍

(山東科技大學(xué) 基礎(chǔ)課部，山東 濟(jì)南 250031)

1 問題的提出

該問題取自2011年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題中的一部分[1]。

天然腸衣(簡稱腸衣)制作加工是我國的一個傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，傳統(tǒng)的生產(chǎn)方式依靠人工，將原材料按指定根數(shù)和總長度組裝出成品(捆)。原料按長度分檔，通常以0.5 m為一檔，如14.0～14.4 m按14.0 m計(jì)算，14.5 m～14.9 m按14.5 m計(jì)算，以此類推。表1是某種成品規(guī)格，長度單位為 m，∞表示無上限，但實(shí)際長度不足26.0 m，表2為某批原料描述。

表1 成品規(guī)格

表2 原料描述

公司對搭配方案的要求如下：

1)針對一定量的原料，搭配出的成品捆數(shù)越多越好；

2)成品捆數(shù)相同的方案，各最短長度最長的成品越多，方案越好；

3)為提高原料利用率，總長度允許誤差為±0.5 m，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根。

請建立上述問題的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)表1、表2給出的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，給出搭配方案。

2 符號說明

表3 符號說明Tab.3 Symbol description

3 模型的建立、求解及改進(jìn)

以捆數(shù)最多為目標(biāo)函數(shù)，成品總長度、成品中原料根數(shù)以及每種原料現(xiàn)有總根數(shù)為約束條件,建立規(guī)劃求解模型。

3.1 模型的建立與求解

根據(jù)題中所給成品總長度、成品中原料根數(shù)的限制及現(xiàn)有原料的總根數(shù)，建立整數(shù)非線性規(guī)劃模型Ⅰ[2-3]：

目標(biāo)函數(shù)：maxSi，

利用Lingo軟件[4-6]對模型進(jìn)行求解，得搭配方案1及相應(yīng)的成品捆數(shù)(見表4)及原料剩余量aj(單位：根)(見表5)，再將剩余原料根數(shù)代入模型Ⅰ中，運(yùn)用Lingo軟件求解，得到搭配方案2及相應(yīng)的成品捆數(shù)(見表6)。多次運(yùn)用Lingo軟件求解，得出原料組成成品的各種搭配方案及各種方案下的成品捆數(shù)(見表7)及原料的剩余量(見表8)。

表4 搭配方案1及相應(yīng)的成品捆數(shù)Tab.4 Match Plan 1 and the corresponding bundles of finished products

表5 原料剩余量aj/根Tab.5 Raw material surplus aj/root

表6 搭配方案2及相應(yīng)的成品捆數(shù)

表7 搭配方案及各種方案下的成品捆數(shù)

表8 原料剩余量

原料組成的成品總捆數(shù)為

從結(jié)果可看出，得到的成品數(shù)是135捆，比文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果“規(guī)格三得到最大捆數(shù)為130”要好，較文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果“最多捆數(shù)為 134”也要好。原料剩余量僅8根，而且不能配成一捆成品，因此方案可行，結(jié)果可靠。但求解時，未考慮題中對搭配方案的要求2)，因此提出模型的改進(jìn)。

3.2 模型的改進(jìn)

考慮題中對搭配方案的要求2)， 對于成品捆數(shù)相同的方案，最短長度最長的成品越多，方案越好，因此改進(jìn)模型時，首先將最短長度原料(14.0～14.4 m的原料)先忽略不算，對其余的原料利用模型Ⅱ求解，得到各種搭配方案、各種方案下成品捆數(shù)及不能搭配的剩余原料數(shù)；再將最短長度原料(14.0～14.4 m的原料)放入剩余原料中，利用3.1中的模型Ⅰ求解，得到各種搭配方案、各種方案下成品捆數(shù)及不能搭配的剩余原料數(shù)。

建立整數(shù)非線性規(guī)劃模型Ⅱ：

目標(biāo)函數(shù)：maxSi

利用Lingo軟件對模型進(jìn)行多次求解，所得結(jié)果如表9和表10。將表10中數(shù)據(jù)代入模型Ⅰ，用Lingo軟件對模型進(jìn)行多次求解，所得結(jié)果如表11，最終原料剩余量如表12。

表9 忽略最短長度原料的求解結(jié)果

表10 原料剩余量

表11 將最短長度原料放入剩余原料后所得結(jié)果

表12 模型改進(jìn)后的最終剩余原料

由表9，表11得原料組成的成品總捆數(shù)為

3.3 模型的評價

模型改進(jìn)前與改進(jìn)后得到的成品總捆數(shù)都是135捆，但是改進(jìn)前的成品捆中有35捆含最短長度原料(14.0～14.4 m)，即最短長度為14.5～14.9 m的成品捆數(shù)為100捆，改進(jìn)后的成品捆中只有18捆含最短長度原料(14.0～14.4 m)，即最短長度為14.5～14.9 m的成品捆數(shù)為117捆，可見改進(jìn)后的模型更符合題目要求。該問題的模型簡單易懂，利用Lingo軟件求解方便快捷，結(jié)果正確合理。