（洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471022；鄢陵縣教研室數(shù)學(xué)教研員第二高級(jí)中學(xué)教師，河南 許昌 461000）

例題是教師教學(xué)的依據(jù)，也是學(xué)生臨摹的范本;習(xí)題是檢驗(yàn)教師教學(xué)得失的參謀，也是學(xué)生鞏固訓(xùn)練的靶場(chǎng).世界各國(guó)都有一種共識(shí)，創(chuàng)造力的開(kāi)發(fā)是國(guó)家、民族、社會(huì)進(jìn)步關(guān)鍵，原國(guó)家主席江澤民1998 年2 月，1999 年6月兩次分別提出了1“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家關(guān)旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力”，“面對(duì)世界科技飛速發(fā)展的挑戰(zhàn)，…… 教育在培育創(chuàng)新精神和培養(yǎng)創(chuàng)造性對(duì)人才方面，肩負(fù)著特殊的歷史使命”。當(dāng)前，創(chuàng)新思維是教學(xué)科學(xué)的熱門(mén)話題；那么，例題習(xí)題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維的基礎(chǔ)，通過(guò)挖掘例題習(xí)題智力潛能的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維能力是一條有效途徑。要做到這一點(diǎn)，首先應(yīng)該明確什么是創(chuàng)造思維？

所謂創(chuàng)造思維主要是指主動(dòng)地，獨(dú)創(chuàng)地發(fā)現(xiàn)新事物，提出新見(jiàn)解，解決新問(wèn)題的一種思維，它主要是依賴于創(chuàng)造者的知識(shí)量和發(fā)散的思維能力。如徐利治教授所指出：數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往從不嚴(yán)格的發(fā)散思維開(kāi)始，而以嚴(yán)格的邏輯分析思維即收斂思維終至，其過(guò)程要有審美意識(shí)的參與，他經(jīng)多年的體驗(yàn)、感悟與研究提出了一個(gè)創(chuàng)造力公式：2“創(chuàng)造力＝有效的知識(shí)量×發(fā)散思維能力×抽象分析能力×審美能力 ”。而長(zhǎng)于歸納，擅于類比，富于想象是創(chuàng)造思維的可貴品質(zhì)，譬如，人們?cè)谔剿魇挛锉举|(zhì)時(shí)，常常在類比聯(lián)想中得到啟發(fā)，在比較中抓住事物相互聯(lián)結(jié)的鏈條，通過(guò)歸納尋求到解決問(wèn)題的線索，或通過(guò)演繹發(fā)現(xiàn)未曾認(rèn)識(shí)的關(guān)系等，有了這種品質(zhì)大腦就有了靈感，頓悟，以致于創(chuàng)造出奇跡。

本文以人教版新編數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）（試驗(yàn)修訂本 · 必修）和人教版高中代數(shù)第一冊(cè)的例題或習(xí)題為例來(lái)探討如何挖掘其內(nèi)在智力潛能。希望經(jīng)過(guò)本文的闡述能起個(gè)拋磚引玉的作用。

一、類比、猜想、推陳出新

例1 求證34：sin50°（1＋tan10°）＝1 這是159 頁(yè)、例4，其解法如下：

此題實(shí)在是太美了，當(dāng)你認(rèn)真審視時(shí)，通過(guò)（1）變換，（2）逆向思維運(yùn)用公式，（3）利用誘導(dǎo)公式等對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)進(jìn)行了綜合訓(xùn)練，真是一氣呵成，總體上是用到了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，可惜如此好的題目新編數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）（試驗(yàn)修訂本）第43 頁(yè)以及高中代數(shù)課本第一冊(cè)（人教版）的練習(xí)和習(xí)題中都沒(méi)有如此美而通達(dá)形神兼?zhèn)涞臉宇}供學(xué)生練習(xí)，其不太遺憾了，因此，迫于教學(xué)和練習(xí)的需要，我們對(duì)這個(gè)題目進(jìn)行類比猜想。

二、變中求美、推廣深化

三、創(chuàng)設(shè)情景，引起思考，歸納聯(lián)想，激發(fā)求知欲望

例3：求證6：設(shè)f(n)＝

求f(0), f(1), f(2), f(3), f(4);

證明對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n，f(n)都表自然數(shù)。

這個(gè)題隱含了一個(gè)有趣的數(shù)列—— 斐波那契數(shù)列。

在評(píng)講這一題時(shí)，可先向?qū)W生介紹：斐波那契（Leonnardo Fibonacci）約1170—1230 年，是意大利數(shù)學(xué)家，他在1202 年出版的一本算術(shù)書(shū)中引進(jìn)了阿拉伯的數(shù)字（當(dāng)時(shí)歐洲人仍然用原始的羅馬數(shù)字）。他該書(shū)中提出下列問(wèn)題：“有小兔一對(duì)，若第二個(gè)月它們成年，第三個(gè)月生下小兔一對(duì)，以后第月生產(chǎn)小兔一對(duì)，而所生小兔也在第二月成年，第三個(gè)月生產(chǎn)另一對(duì)兔，以后也每月生產(chǎn)小兔一對(duì)，問(wèn)一年后共有多少對(duì)？（假定每產(chǎn)一對(duì)兔，必為一雌一雄，而所有小兔子都可相互交配且無(wú)死亡）”。

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論思考后可得一年中每月分別產(chǎn)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，即到年底144 對(duì)兔子，對(duì)這個(gè)問(wèn)題所得到每月兔子對(duì)數(shù)為一個(gè)有限數(shù)列，即斐波那契數(shù)列。

（2）觀察：1＋1＝2，1＋2＝3。2＋3＝5 …… 55＋98＝148規(guī)律是:每相鄰三個(gè)數(shù)中,前兩個(gè)數(shù)之和等于后一個(gè)數(shù)。

推廣到無(wú)限

1，1，2，3，5，8，…… ……，89，144，233，…… ……

一般形式:an＋an1+＝an+2,a1＝ a2＝1

（3）對(duì)原題進(jìn)行類比推理

∵f(0)＝1,f(1)＝1,f(2)＝2,f(3)＝3,f(4)＝5;

∴f(0)＋ f(1)＝ f(2),f(1)＋f(2)＝ f(3),f(2)＋ f(3)＝f(4)

于是引導(dǎo)學(xué)生猜想有：f(n)＋ f(n＋1)＝ f(n＋2)，得出這個(gè)猜想是正確（證明略）。

（4）斐波那契數(shù)列的猜想還有許多美而有趣的性質(zhì)。如

數(shù)列中任意兩相鄰項(xiàng)互質(zhì)即：(f(n),f(n＋1))＝1 (n＝1,2,……)

以上這些猜想都是正確（證明從略）

特別奇妙有趣且還有美學(xué)意義的是:在線段的黃金分割中,兩條線段的比是0.6180339887……它的漸近分?jǐn)?shù)是，……這一串漸近分?jǐn)?shù)的分子分母依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34，…… 它恰是一個(gè)斐波那契數(shù)列，近幾十年來(lái)人們賦予了它們新的內(nèi)容而變成了“優(yōu)選法”中的一個(gè)重要方法，我們也可稱它是一種學(xué)美的方法，對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)踐起了重要作用。

從以上的分析中可以得到如下啟示：

在課本中的例題習(xí)題里的潛能是很大的，是可挖掘的，這樣的深入挖掘探索不僅僅使學(xué)生開(kāi)發(fā)了智力，而且培養(yǎng)了學(xué)生探究能力，審美情趣，避免了學(xué)生陷入題山題海之中;它的挖掘不僅僅激發(fā)了學(xué)生們的求知欲，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣;而且對(duì)其創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)與尤其是對(duì)未來(lái)的學(xué)習(xí)生活的作用是不可估量的，正如世界著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說(shuō)：7“數(shù)學(xué)知識(shí)既不是教出來(lái)的，也不是學(xué)出來(lái)的，而是研究出來(lái)的。因而學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)必須使學(xué)生通過(guò)自身的實(shí)踐來(lái)主動(dòng)獲取知識(shí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握進(jìn)行再創(chuàng)造的方法，以便進(jìn)行數(shù)學(xué)化”。這正是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的要求和應(yīng)追求的目標(biāo)。因再創(chuàng)造與創(chuàng)造本質(zhì)是一樣的，只是層次不同而已，這樣以課本為基礎(chǔ)去挖掘例題習(xí)題中的內(nèi)涵的確是一個(gè)好辦法，且事半功倍，像這樣的習(xí)題還很多。如第256 頁(yè)8習(xí)題15（3）,9習(xí)題17 等都可以進(jìn)行類比,聯(lián)想，推廣、創(chuàng)造，所以我們每一位教師的在教學(xué)過(guò)程中要真正地以本為本，以綱為綱，引導(dǎo)學(xué)生以小見(jiàn)大，以微知著，舉一反三，觸類旁通，這樣長(zhǎng)期堅(jiān)持下去可為學(xué)生自身的個(gè)性發(fā)展,創(chuàng)造力的發(fā)展,創(chuàng)造欲望的激發(fā)以及國(guó)家創(chuàng)造型人才的形成，積蓄強(qiáng)有力的發(fā)展動(dòng)力。