殷素雅，唐泉，張新東

(新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

圖像去噪是圖像處理領域的主要研究課題之一，現(xiàn)在廣泛應用于醫(yī)學影像、天文學、遙感成像等領域。為了獲得高質量的圖像，并便于進一步地圖像分割、識別和分析，研究者們提出了一套基于偏微分方程的圖像去噪方法。其中，基于偏微分方程的圖像去噪方法有兩大類：第一類是基于變分法的思想，首先確定圖像的能量泛函，其次利用梯度下降法最小化能量泛函，使含噪圖像達到平滑狀態(tài)，其中全變分(total variation，TV)模型體現(xiàn)了經(jīng)典變分法的思想；另一類是基于擴散偏微分方程的方法，該方法是以物理中的熱傳導方程為基礎，并把圖像平滑和去噪的過程當成一個擴散的過程。然而，熱傳導方程的特點是在各個方向上擴散強度均勻，在圖像去噪過程中，會模糊圖像的邊緣和其他細節(jié)特征[1]。為了在圖像去噪的同時保護圖像邊緣特征的信息，1990年Perona等[2]提出了一種基于圖像梯度特征的各向異性擴散偏微分方程(P-M模型)，P-M模型和數(shù)值實現(xiàn)方法的發(fā)展使非線性擴散方程在圖像去噪中得到推廣，并成為研究熱點[3]。1992年，Catté等[4]提出了正則化的P-M模型(CLMC模型)，消除了P-M模型的病態(tài)性質。

本文根據(jù)P-M模型的各向異性擴散特性，通過分析發(fā)現(xiàn)了其在圖像邊緣附近的逆擴散系數(shù)接近于0。為了提高圖像的視覺效果，需要在圖像邊緣附近使用適當?shù)臄U散函數(shù)對圖像邊緣特征進行銳化。為實現(xiàn)在有效去除噪聲的同時又能保留大量細節(jié)信息[5]，在P-M模型的基礎上，結合了具有邊緣銳化作用的Shock濾波器，通過調整擴散程度和沖擊增強程度，在圖像邊緣銳化的同時減少對圖像噪聲的增強作用，并提出了新的擴散系數(shù)。新模型在抑制階梯和斑點偽影的同時保護了邊緣[6]。

1 P-M模型

由于熱擴散方程是各向同性擴散，無法較好地保持圖像的邊緣和細節(jié)信息[7]，為了克服這一缺點，Perona和Malik提出了非線性的各向異性擴散方程，即P-M方程。該方程利用圖像的梯度作為邊緣檢測算子，在去噪的同時可以保護圖像邊界信息[8]。數(shù)學模型定義如下：

(1)

同時Perona和Malik提出了各向異性擴散系數(shù)g(|u|)的兩種表達形式：

g1(|u|)=exp [-(|u|/K)2]，

(2)

(3)

其中，K是梯度閾值。

2 一種耦合沖擊濾波器的各向異性擴散模型

2.1 沖擊濾波器

Osher等[10]提出了一種基于雙曲方程的沖擊濾波器用于圖像增強，表達式為：

(4)

其中，η代表圖像梯度的方向，符號函數(shù)sign(·)定義為：

(5)

式(4)是一個各向異性濾波器，不沿著等照度線(邊緣)的切線方向進行任何處理，而是沿著梯度方向進行沖擊以增強圖像邊緣。如果圖像中存在噪聲，沖擊濾波器不能準確地分辨出噪聲拐點和邊緣拐點，導致在增強邊緣的同時，噪聲也會增強[11]。為了解決上述問題，Alvarez等[12]提出結合沖擊濾波器和各向異性擴散(Shock Filter and Anisotropic Diffusion)的偏微分方程，該方程利用高斯函數(shù)平滑圖像的二階法向導數(shù)，同時結合方向平滑算子uξξ增加了對噪聲的魯棒性。模型表達式如下：

(6)

2.2 模型分析

本文在分析P-M模型和沖擊濾波器的優(yōu)缺點的基礎上，提出了一種耦合沖擊濾波器的各向異性擴散模型，模型表達式如下：

(7)

其中，α,β是非負常數(shù)，分別用于控制擴散程度和沖擊增強程度；γ是常系數(shù)；η是梯度方向；ξ是切線方向。

新模型采用高斯卷積平滑含噪圖像，計算法線方向的二階導數(shù)，提升區(qū)分噪聲拐點和邊緣拐點的能力，提高模型的噪聲魯棒性。通過選取合適的參數(shù)α和β，新模型在抑制噪聲，增強邊緣細節(jié)和防止過沖之間有較好的平衡，在圖像去噪的同時可以較好地保護圖像的邊緣。

本文結合P-M模型去噪和沖擊濾波器增強圖像邊緣的特點，在對圖像去噪的同時增強圖像的特征，避免損失邊緣細節(jié)，從而有效去除噪聲，保護圖像邊緣細節(jié)。

2.3 擴散系數(shù)函數(shù)的改進

g1(|u|) ,g2(|u|)是Perona等提出的兩個經(jīng)典擴散函數(shù)，曲線如圖1所示，公式中的K是預先設定的邊緣梯度的門限參數(shù)。本文中取K=10。

對于g(|u|)的設計一般滿足下列3個原則[13]：

(1)g(|u|)是以|u|為自變量的減函數(shù)，并且存在g(|u|)>0；

(2)g(|u|)=0 (|u|→∞)；

(3)g(|u|)=1 (|u|→0)。

通過對各向異性擴散方程原理的分析，對于一幅圖像，在圖像同質區(qū)域內(nèi)，|u|取值較小時，g(|u|)就會比較大；在圖像的邊緣處，|u|取值較大時，g(|u|)就會比較小，從而達到保存邊緣信息去除噪聲的目的[14]。在P-M模型提出的擴散系數(shù)中，要求在具有圖像特征的位置降低擴散速度或不擴散；當圖像中沒有明顯的特征時，增快擴散速度[15]。

通過對各向異性擴散函數(shù)特征分析，構造了如下擴散系數(shù)：

(8)

其中，k1,k2是梯度門限，如果該點的梯度大于門限，就會被認為是邊緣而保留下來；如果梯度小于門限，就被認為是噪聲被平滑掉。在這里k1=0.01 ,k2=0.10。

為了驗證g3的有效性，通過繪制函數(shù)曲線進行對比分析，如圖1所示。

圖1 不同擴散函數(shù)圖像Fig.1 Images of different diffusion functions

其中取梯度閾值K=10。從圖1中可以看出，函數(shù)g(|u|)中當|u|趨于無窮大時，g(|u|)趨近于0。本文構造的擴散函數(shù)g3趨近于0的速度比g1、g2慢，用g3代替P-M模型中的擴散函數(shù)，發(fā)現(xiàn)當a=1時不利于圖像的去噪；a=3時在圖像梯度值較小的地方擴散過強，隨著圖像梯度值的增大不能較好地保護邊緣；a=2.2時在圖像特征弱的區(qū)域平滑程度變大，更加有利于含噪圖像的平滑，在梯度值較大時對圖像邊緣有一定的保護作用的同時又能較好地去除噪聲，使平滑次數(shù)大大減少。通過大量仿真實驗，本文中a取值為2.2。

2.4 數(shù)值實現(xiàn)

時間間隔取為Δt；空間步長均為1；(i,j)表示圖像中的離散點，得到本文模型離散后的迭代公式為：

(9)

(10)

對于沖擊項，我們用中心差分格式求解uηη、uξξ，則有：

uxx(i,j)=ui+1,j-2ui,j+ui-1,j，uyy(i,j)=ui,j+1-2ui,j+ui,j-1，

3 仿真實驗與結果分析

3.1 圖像去噪處理客觀評價指標

本文用均方誤差(mean squared error，EMS)、信噪比(signal to noise ratio,RSN)、峰值信噪比(peak signal to noise ratio,RPSN)客觀評價圖像去噪的有效性。其中RPSN值越小，去噪效果越好；RSN值越大，圖像失真越少；RPSN值越大，去噪能力越高。表達式見式(11)～(13)：

(11)

(12)

(13)

其中：M，N表示圖像的長和寬，M×N表示圖像中像素點的個數(shù)；I0(i,j)表示原始圖像；I(i,j)表示去噪后圖像；μ為I0(i,j)的均值。

3.2 實驗結果與分析

仿真實驗程序采用Matlab R2016a編寫，本文采用256×256像素的標準測試圖像Lena作為實驗圖像。在仿真實驗中，取時間步長Δt=0.25。在本文模型中，選取σ=0.5，3×3鄰域的高斯核，參數(shù)α=2.4，β=0.01，γ=0.01。圖2是新模型與P-M模型分別使用擴散系數(shù)g1與g3處理后的圖像去噪效果比較圖，圖像中所加噪聲是均值為0，方差為0.01的高斯噪聲。

圖2 加入均值為0，方差為0.01的高斯噪聲圖像實驗結果Fig.2 Experimental results of gaussian noise images with mean value 0 and variance 0.01

從表1和表2的實驗數(shù)據(jù)可以看出，在使用擴散函數(shù)g2時，本文模型在P-M模型的基礎上大大減少了迭代次數(shù)，同時提高了RSN和RPSN的值。本文提出的模型在均值誤差、信噪比、峰值信噪比方面都要優(yōu)于P-M模型。當添加均值為0，方差為0.01的高斯噪聲時，本文模型使用擴散函數(shù)g3與使用擴散函數(shù)g2相比PSNR的值提高了約0.13 dB。當添加均值為0，方差為0.03的高斯噪聲時，本文模型使用擴散函數(shù)g3與使用擴散函數(shù)g2相比PSNR的值提高了約0.17 dB。

表1 不同模型對Lena圖像去噪效果的客觀評價標準Table 1 Objective evaluation criteria of the Lena image denoising effect using different models

表2 不同模型對Lena圖像去噪效果的客觀評價標準Table 2 Objective evaluation criteria of the Lena image denoising effect using different models

在P-M模型和本文模型中，使用擴散函數(shù)g3比g2去噪效果好，其在運行時間、迭代次數(shù)、信噪比、峰值信噪比等方面的數(shù)據(jù)均優(yōu)于P-M模型中提出的擴散函數(shù)g2。本文提出的擴散函數(shù)g3不僅提高了處理圖像的平滑速度，而且提高了圖像的去噪效果，大大減少了運行時間和迭代次數(shù)。

從圖2中可以看出，經(jīng)過P-M模型處理后的圖像在平坦區(qū)域中產(chǎn)生了一些黑白斑點。表明P-M模型雖然可以銳化邊緣，但不能有效地消除邊緣處的噪聲點，并且會模糊圖像的邊緣細節(jié)，本文提出的模型克服了P-M模型的一些缺點，有效減少了黑白斑點，并且保留和增強了圖像的邊緣和細節(jié)。本文模型較P-M模型和CLMC模型具有一定優(yōu)勢。

綜上，本文提出的模型能夠更好地保留原始圖像的結構特點，抑制散斑效應，獲得較高質量的去噪圖像，同時增強了圖像的邊緣特征，并且在主觀視覺效果和客觀評價指標方面都具有良好的性能。

4 結語

本文結合沖擊濾波器和P-M模型的優(yōu)點，提出了一種耦合沖擊濾波器的各向異性擴散的圖像去噪模型并提出了一種新的擴散系數(shù)。與P-M去噪模型相比，本文提出的模型在噪聲去除和圖像特征保護之間取得了較好的平衡，彌補了經(jīng)典P-M模型處理圖像時的邊緣銳化不足。在詳細分析所提模型原理的基礎上，經(jīng)過離散化模型表達式給出具體實現(xiàn)的方法，最后通過實驗驗證了模型的正確性和有效性。