數(shù)學(xué)Ⅰ試題

參考公式：

柱體的體積V=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.

.1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={0，2，}，則A∩B=.

2.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)的實部是.

3.已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3-a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是.

4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是.

(第5題)

5.右圖是一個算法流程圖.若輸出y的值為-2，則輸入x的值是.

(第9題)

9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

11.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是.

12.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，則x2+y2的最小值是.

(第13題)

二、解答題:本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(第15題)

15.(本小題滿分14分)

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點.

(1)求證:EF∥平面AB1C1；

(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1；

(第16題)

16.(本小題滿分14分)

(1)求sinC的值；

17.(本小題滿分14分)

(1)求橋AB的長度；

(第17題)

18.(本小題滿分16分)

(第18題)

(1)求△AF1F2的周長；

(3)設(shè)點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標(biāo)．

19.(本小題滿分16分)

已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)與h(x)=kx+b(k，b∈R)在區(qū)間D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)．

(1)若f(x)=x2+2x，g(x)=-x2+2x，D=(-∞，+∞)，求h(x)的表達(dá)式；

(2)若f(x)=x2-x+1，g(x)=klnx，h(x)=kx-k，D=(0，+∞)，求k的取值范圍；

20.(本小題滿分16分)

(1)若等差數(shù)列{an}是“λ～1”數(shù)列，求入的值；

(3)對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列{an為“λ～3”數(shù)列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)

A.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)

(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求矩陣M的逆矩陣M-1

B.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)

(1)求P1，P2的值；(2)求出直線l與圓C的公共點的極坐標(biāo)．

C.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分10分)

設(shè)x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4.

(第22題)

22.(本小題滿分10分)

(1)求直線AB與DE所成角的余弦值；

23.(本小題滿分10分)

甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．

(1)求P1，q1和P2，92；

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和X的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)

數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案

一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.

二、解答題

15.本小題主要考查直線與直線直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力滿分14分.

證明:(1)因為E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點，所以EF∥AB1．

(第15題)

又EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.

(2)因為B1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.

又AB⊥AC，B1?平面AB1C，AC?平面AB1C，B1C∩AC=C，所以AB⊥平面AB1C.

又因為AB?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1．

(第16題)

16.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力滿分14分．

17.本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、用導(dǎo)數(shù)求最值、解方程等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力滿分14分．

解:(1)設(shè)AA1，BB1，CD1，EF1都與MN垂直，A1，B1，D1，F(xiàn)1是相應(yīng)垂足．

所以AB=O′A+O′B=80+40=120(米).

(2)以O(shè)為原點，OOO′為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示)．

(第17題)

因為CE=80，所以O(shè)′C=80-x.

x(0,20)20(20,+40)f'(x)-0+f(x)↘極小值↗

所以當(dāng)x=20時，f(x)取得最小值．

答:(1)橋AB的長度為120米；

(2)當(dāng)O′E為20米時，橋墩CD和EF的總造價最低．

18.本小題主要考查直線方程、橢圓方程、圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力分析問題能力和運(yùn)算求解能力滿分16分．

(第18題)

所以△AF1F2的周長為2a+2c=6.

(2)橢圓E的右準(zhǔn)線為x=4．

設(shè)P(x，0)，Q(4，y)，

設(shè)M(x，y)，因為S2=3S1，所以點M到直線AB距離等于點O到直線AB距離的3倍．

則3x-4y+12=0或3x-4y-6=0．

19.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力滿分16分．

解:(1)由條件f(x)≥h(x)≥g(x)，得x2+2x≥kx+b≥-x2+2x，取x=0，得0≥b≥0，所以b=0.

由x2+2x≥kx，得x2+(2-k)x≥0，此式對一切x∈(-∞，+∞)恒成立，所以(2-k)2≤0，則k=2，此時2x≥-x2+2x恒成立，所以h(x)=2x．

(2)h(x)-g(x)=k(x-1-lnx)，x∈(0，+∞)．

x(0,1)1(1,+∞)u'(x)-0+u(x)↘極小值↗

所以u(x)min=u(1)=0.則x-1≥lnx恒成立，

所以當(dāng)且僅當(dāng)k≥0時，h(x)≥g(x)恒成立．

另一方面，f(x)≥h(x)恒成立，即x2-x+1≥kx-k恒成立，

也即x2-(1+k)x+1+k≥0恒成立．

所以(1+k)2-4(1+k)≤0，解得-1≤k≤3.

因此，k的取值范圍是0≤k≤3．

令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8)，則Δ=t6-5t4+3t2+8.

則φ′(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立，

②當(dāng)0

f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.

設(shè)υ′(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1，

υ′(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1)，

υ(0)=-1，υ(1)=0，則當(dāng)0

(或證:υ(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0).

則f(-1)-h(-1)<0，因此-1?(m，n).

20.本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力滿分16分．

解:(1)因為等差數(shù)列{an}是“λ～1”數(shù)列，則Sn+1-Sn=λan+1，即an+1=λan+1，

也即(λ-1)an+1=0，此式對一切正整數(shù)n均成立．

若λ≠1，則an+1=0恒成立，故a3-a2=0，而a2-a1=-1，

這與{an}是等差數(shù)列矛盾．

所以λ=1.(此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列)

所以數(shù)列{Sn}是公比為4的等比數(shù)列．

(3)設(shè)各項非負(fù)的數(shù)列{an}(n∈N*)為“λ～3”數(shù)列，

①若λ≤0或λ=1，則(＊)只有一解為cn=1，即符合條件的數(shù)列{an}只有一個.(此數(shù)列為1，0，0，0，…)

即符合條件的數(shù)列{an}只有一個．(此數(shù)列為1，0，0，0，…)

由于數(shù)列{Sn}從任何一項求其后一項均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列{Sn}有無數(shù)多個，則對應(yīng)的{an}有無數(shù)多個．

綜上所述，能存在三個各項非負(fù)的數(shù)列{an}為“λ～3”數(shù)列，入的取值范圍是0<λ<1．

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案

21.【選做題】

A. [選修4-2：矩陣與變換]

本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、逆矩陣等基礎(chǔ)知識考查運(yùn)算求解能力滿分10分．

B.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力滿分10分．

C.[選修4-5:不等式選講]

本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解和推理論證能力.滿分10分．

22.【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力滿分10分.

解:(1)連結(jié)OC，因為CB=CD，O為BD中點，所以CO⊥BD．

又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.

所以B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).

因為E為AC的中點，所以E(0，1，1).

(第22題)

設(shè)n1=(x1，y1，z1)為平面DEF的一個法向量，

取x1=2，得y1=-7，z1=5，所以n1=(2，-7，5).

23.【必做題】本小題主要考查隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識，考查邏輯思維能力和推理論證能力滿分10分.

(2)當(dāng)n≥2時，

①

Xn的概率分布

xn012p1-pn-qnqnpn