吳 陽，張建成

(1.無錫太湖學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇無錫 214064;2.江南大學(xué)理學(xué)院信息與計算科學(xué)系，江蘇無錫 214122)

1 引言

混沌系統(tǒng)是一類特殊的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，具有非周期性、對初值敏感等不可預(yù)測性[1].混沌系統(tǒng)的這些不可預(yù)測性質(zhì)使得它成為基于混沌同步-保密通信這一應(yīng)用的重要載體.也因此，近幾十年來許多學(xué)者對混沌同步不斷展開研究，并取得了豐碩的成果.

對混沌同步的研究開始于20世紀(jì)90年代，時至今日已經(jīng)有許多方法得到提出，如自適應(yīng)同步法[2]、反饋控制法[3-4]、滑?？刂品╗5-6]、脈沖控制法[7]等.除了控制方法，基于觀測器的混沌同步方法由于具有可靠性高、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，也不斷見諸報道，并受到極大關(guān)注.例如，Pecora和Carroll將混沌系統(tǒng)看作驅(qū)動系統(tǒng)，通過構(gòu)造混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器作為響應(yīng)系統(tǒng)，提出了實(shí)現(xiàn)混沌同步的著名的“驅(qū)動-響應(yīng)”模型[8-9].該模型的基本思想是，首先將混沌系統(tǒng)看作驅(qū)動系統(tǒng)，由它導(dǎo)出的輸出作為驅(qū)動信號發(fā)送給信號接收端.隨后，在信號接收端再由響應(yīng)系統(tǒng)利用驅(qū)動信號將混沌系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)出來.基于這一經(jīng)典模型，Nijmeijer等人對線性和非線性系統(tǒng)提出了多種基于觀測器的混沌同步方法[10].Chen等人引入“等價輸入注入”思想，通過構(gòu)造滑模觀測器同時實(shí)現(xiàn)了混沌同步和保密信號的還原[11].為了處理混沌系統(tǒng)非線性項(xiàng)，Chadli等人提出了T-S模糊未知輸入觀測器方法，進(jìn)而將觀測器的存在性問題轉(zhuǎn)化成了線性矩陣不等式的可行解問題[12-13].Zhu等人在未知輸入觀測器匹配條件成立的條件下，設(shè)計自適應(yīng)滑模觀測器和降維觀測器實(shí)現(xiàn)了混沌同步，并對全維和降維觀測器方法的同步性能做了比較[14-15].而對于觀測器匹配條件不成立的情形，Yang等人提出了利用高階滑模微分器構(gòu)造輔助輸出的未知輸入觀測器混沌同步方法[16-18].近幾年來，針對基于觀測器的混沌同步方法的研究還被推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中[19-20].

對于基于觀測器的混沌同步來說，觀測器的收斂精度和收斂速度是兩個重要的指標(biāo).例如，在基于混沌同步的圖像加密[18]中，響應(yīng)系統(tǒng)在接收到驅(qū)動信號以后還必須在與驅(qū)動系統(tǒng)達(dá)到同步之后才能將加密信號還原出來.因此，準(zhǔn)確而快速的混沌同步是加密信號能夠高質(zhì)量且及時地得到還原的重要保證.但是，目前報道出來的文獻(xiàn)中基于漸近收斂觀測器(asymptotic convergence observer，ACO)的混沌同步方法大都僅能實(shí)現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)對驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)的漸近跟蹤[10-20].對于漸近收斂觀測器來說，它的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計方法簡單，并且對系統(tǒng)本身要求不高.但是，漸近收斂觀測器的收斂速度和收斂精度往往很難得到控制.這是因?yàn)闈u近收斂觀測器的收斂效果不僅依賴于原系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)的狀態(tài)初始誤差，同時還依賴于觀測器的極點(diǎn)配置.由于系統(tǒng)初值很難獲得，作者很難通過對觀測器初始條件的設(shè)置來減小初始誤差、提高收斂效果.一個可選的方案是對觀測器系統(tǒng)選取盡可能大的增益矩陣使得系統(tǒng)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸.但這樣的做法一方面只能在一定程度改善觀測器的收斂精度和速度(仍然不能控制觀測器的收斂時間和精度)，另一方面，大增益矩陣的引入可能會使得觀測器系統(tǒng)對噪聲更為敏感從而降低觀測器的估計性能.所以，對于基于ACO的混沌同步來說，無論是精度還是速度在一個較短的時間內(nèi)往往都得不到很好地保證.因此，針對混沌同步提出一種估計精度高且收斂速度快的有限時間觀測器方法很有意義.值得注意的是，近年來已經(jīng)有文獻(xiàn)對有限時間混沌同步問題展開研究.例如，借助于超螺旋算法(super twist algorithm)文獻(xiàn)[21]討論了基于混沌同步的保密通信問題.由于超螺旋算法本身具有有限時間收斂性質(zhì)，該同步可以在有限時間內(nèi)完成，但該方法只能保證同步誤差保持有界.此外，基于有限時間穩(wěn)定性理論，文獻(xiàn)[22-23]分別研究了混沌系統(tǒng)的全局有限時間同步[15].但是，無論是文獻(xiàn)[22]還是文獻(xiàn)[23]其同步時間都依賴于主從系統(tǒng)的狀態(tài)初值而不能根據(jù)實(shí)際需要提前設(shè)定.

針對以上所述問題，本文對一類離散時間混沌系統(tǒng)提出一種基于有限時間觀測器(finite-time observer，F(xiàn)TO)的混沌同步方法以克服傳統(tǒng)漸近收斂觀測器和有限時間觀測器方法存在的缺點(diǎn)和不足.本文的主要貢獻(xiàn)和創(chuàng)新之處體現(xiàn)在:1)給出了可實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)有限時間精確同步觀測器設(shè)計的充分條件;2)給出了離散時間有限時間觀測器的結(jié)構(gòu);3)將構(gòu)造的有限時間觀測器應(yīng)用到混沌同步中，該觀測器可以在任意預(yù)先設(shè)定的時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)對驅(qū)動系統(tǒng)的精確同步，可以同時滿足對收斂速度和收斂精度的需求，且這些性能不會受到初始條件的影響.

本文余下部分安排如下:第2節(jié)為問題背景和預(yù)備知識;第3節(jié)給出有限時間混沌同步觀測器的構(gòu)造;第4節(jié)對兩個離散混沌系統(tǒng)例子進(jìn)行仿真模擬;最后，在第5節(jié)中給出本文的結(jié)論.

2 問題背景和問題描述

考慮如下離散混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)的同步問題:

其中:x ∈?n，y ∈?p分別為驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸出(驅(qū)動信號)向量;f(·):?n→?q為混沌系統(tǒng)的非線性項(xiàng);A，B，C分別為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣(n ＞p ≥q)且矩陣B，C 均為滿秩矩陣.

事實(shí)上，很多離散混沌系統(tǒng)都可以用式(1)來表示.例如，著名的Henon映射[24]

當(dāng)a=1.08，b=0.3且x1(0)=x2(0)=x3(0)=1時就是一個典型的混沌系統(tǒng).顯然，系統(tǒng)(2)可以由式(1)來表示，其相應(yīng)的系統(tǒng)矩陣和參數(shù)為

為了利用未知輸入觀測器理論設(shè)計有限時間觀測器作為響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)同步，將非線性函數(shù)f(x(k))看作未知信號來處理.本文給出以下兩個重要的假設(shè)條件.

假設(shè)1系統(tǒng)(1)(或者表示為Σ(A，B，C))滿足觀測器匹配條件[25]，即

假設(shè)2系統(tǒng)(1)(或者表示為Σ(A，B，C))滿足強(qiáng)可觀條件[25]，即對于任意復(fù)數(shù)s都有

注1在經(jīng)典的未知輸入觀測器設(shè)計中，觀測器匹配條件是一個基本條件，它用來解耦掉未知輸入對觀測器設(shè)計的影響.而強(qiáng)可觀條件則可以保證觀測器系統(tǒng)極點(diǎn)可以得到任意配置.

3 有限時間同步觀測器設(shè)計

受文獻(xiàn)[26]中連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)有限時間觀測器設(shè)計思路的啟發(fā)，本節(jié)考慮帶有未知輸入的離散系統(tǒng)有限時間觀測器設(shè)計問題，并將其應(yīng)用于混沌同步.

由于rank(B)=q ＜n，因此可以找到一個矩陣U ∈?n×(n-q)使得T=[B U]為非奇異.對于系統(tǒng)(1)的狀態(tài)方程，實(shí)施狀態(tài)變換得

4 數(shù)值模擬

本節(jié)給出兩個混沌系統(tǒng)的例子來驗(yàn)證所提方法的有效性.

4.1 仿真算例1

考慮本文第2節(jié)給出的Henon系統(tǒng)(2)[24].容易驗(yàn)證，Σ(A，B，C)同時滿足假設(shè)1-2，因此可以設(shè)計有限時間觀測器作為響應(yīng)系統(tǒng)在任意短時間步內(nèi)和系統(tǒng)(2)的狀態(tài)達(dá)到同步.根據(jù)算法1，取矩陣

進(jìn)而求得

更進(jìn)一步地，取H=[0 1]T，則相應(yīng)地，可求出V1=[0 1]和V2=[1 0].然后，取增益矩陣

使得矩陣

的特征值分別為{0.9，0.8}和{0.02，0.01}

為了驗(yàn)證觀測器的有限時間收斂性，這里不妨假設(shè)收斂時間步長k0=2，那么相應(yīng)的增益矩陣K 為

為了驗(yàn)證算法的有效性，在系統(tǒng)(2)中取初值x(0)=[1 1 1]T.圖1顯示該系統(tǒng)具有混沌特性.對于響應(yīng)系統(tǒng)(有限時間觀測器)，取初值

借助于MATLAB軟件將仿真結(jié)果繪于圖2.圖2中曲線分別表示混沌狀態(tài)曲線、基于FTO的同步曲線和基于ACO的同步曲線.可以發(fā)現(xiàn)，在預(yù)先設(shè)定的k0=2時刻，基于FTO方法的同步曲線和驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)曲線即可達(dá)到精確同步.而傳統(tǒng)的基于ACO的方法達(dá)到同步的時間要k ≥50.因此，本文提出的基于有限時間觀測器的混沌同步方法在同步速度上遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)方法.

基于有限時間觀測器的混沌同步還有一個顯著特點(diǎn):混沌同步的精確程度和達(dá)到同步所需要的時間步長均不依賴于觀測器的初值.為了說明該特點(diǎn)，本文分別選取觀測器初值為

其中j分別取為－2，－1，0，1，2.圖3展示了在觀測器分別選定不同初值情況下的混沌同步性能.從圖中可知，無論觀測器初值如何選取，在預(yù)先設(shè)定的時間步長k=k0內(nèi)響應(yīng)系統(tǒng)都可以精確地同步混沌系統(tǒng).

此外，為了驗(yàn)證本文方法對具有不確定干擾的混沌系統(tǒng)同樣適用，假設(shè)系統(tǒng)(2)為

4.2 仿真算例2

考慮如下的三階超混沌系統(tǒng)[24]:

圖1 Henon混沌系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.1 Trajectory of the Henon chaotic system

圖2 基于FTO和ACO的混沌同步效果(不含干擾)Fig.2 FTO and ACO-based chaotic synchronization performance(without disturbance)

圖3 觀測器取不同初值時的混沌同步效果Fig.3 Chaotic synchronization performance with different observer initial values

如圖5，當(dāng)參數(shù)取值為a1=1.7，a2=0.05 時系統(tǒng)(20)表現(xiàn)出混沌特性.假設(shè)系統(tǒng)輸出為y1(k)=x1(k)，y2(k)=x3(k)，并 記，則可以將系統(tǒng)(20)寫為系統(tǒng)(1)的形式，其參數(shù)為

容易驗(yàn)證，該系統(tǒng)同時滿足強(qiáng)可觀條件和觀測器匹配條件，故本文提出的有限時間觀測器FTO存在.根據(jù)算法1計算出如下矩陣:

圖4 基于FTO和ACO的混沌同步效果(含干擾)Fig.4 FTO and ACO-based chaotic synchronization performance(with disturbance)

圖5 混沌系統(tǒng)(20)的狀態(tài)軌跡Fig.5 Trajectory of chaotic system(20)

基于以上參數(shù)矩陣，建立有限時間觀測器(10)-(12).同樣地，在本例中為了將本文所提方法與傳統(tǒng)方法作比較，將混沌系統(tǒng)(20)的真實(shí)狀態(tài)曲線、基于FTO的同步曲線和基于傳統(tǒng)ACO方法的同步曲線繪于圖6中.從圖6可知，利用FTO的同步方法可以在k0=2步時迅速達(dá)到同步，而利用傳統(tǒng)的ACO方法則需要耗時大約40步才能達(dá)到同步.因此，本文所提方法在同步速度上具有明顯優(yōu)勢.

圖6 基于FTO和ACO的混沌同步效果Fig.6 FTO and ACO-based chaotic synchronization performance

基于FTO方法的另一優(yōu)勢在于可以對同步時間k0根據(jù)需要預(yù)先任意設(shè)定.為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，隨意選取k0=2，3，5，10，其中FTO的初值取為

其中j=－2，－1，0，1，2.

圖7-10分別展示了k0取不同值時觀測器誤差收斂到0的情形.

圖7 觀測器取不同初值時的混沌同步效果(k0=2)Fig.7 Chaotic synchronization performance with different observer initial values(k0=2)

圖8 觀測器取不同初值時的混沌同步效果(k0=3)Fig.8 Chaotic synchronization performance with different observer initial values(k0=3)

圖9 觀測器取不同初值時的混沌同步效果(k0=5)Fig.9 Chaotic synchronization performance with different observer initial values(k0=5)

從圖7-10中可知，無論k0取為何值，在預(yù)先設(shè)定的k0步內(nèi)，本文所提出的FTO方法均可以達(dá)到對混沌系統(tǒng)的精確同步.

圖10 觀測器取不同初值時的混沌同步效果(k0=10)Fig.10 Chaotic synchronization performance with different observer initial values(k0=10)

5 結(jié)論

本文針對離散時間混沌系統(tǒng)提出了一種基于有限時間觀測器的混沌同步方法.相比于傳統(tǒng)的基于漸近收斂觀測器的混沌同步方法，本方法同步程度更加精準(zhǔn)，達(dá)到同步所需時間可以任意設(shè)定.因此，本方法能夠同時保證混沌同步的效果和速度.但是，也需要指出本文方法所要求的強(qiáng)可觀條件保守性較高，如何降低該條件給有限時間觀測器設(shè)計帶來的保守性是一項(xiàng)有意義的課題，值得進(jìn)一步研究.此外，如何將線性系統(tǒng)有限時間觀測器方法推廣到線性參數(shù)變化(linear parameter-varying，LPV)系統(tǒng)也是下一步要考慮的課題.