空時分數(shù)階Burgers方程的新精確解

黃春

（四川職業(yè)技術學院 教師教育系，四川 遂寧 629000）

分數(shù)階偏微分方程是由整數(shù)階微分方程推廣而來,它能更準確地描述實際現(xiàn)象和深刻反映物體內(nèi)部的性質.分數(shù)階偏微分方程在流體力學、等離子物理學、生物學、通信、化學等許多領域有著廣泛的應用.因此分數(shù)階偏微分方程的精確解和數(shù)值解對于研究現(xiàn)實生活中的非線性現(xiàn)象有著重要意義.構建分數(shù)階偏微分方程精確解的方法主要包括：exp-函數(shù)法[1-2],(G'/G)-展開法[3-4],首次積分法[5-6],Riccati函數(shù)展開[7-8]等.

本文擬用Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)[9]與Riccati函數(shù)展開法相結合,構建空時分數(shù)階Burgers方程精確解,該方法簡潔高效.文中的分數(shù)階微分算子是修正的Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)：

其中Γ(·)為Gamma函數(shù),定義為Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)具有如下性質：

1 方法描述

給定分數(shù)階偏微分方程：

步驟1 作分數(shù)階復變換

其中K,L為常數(shù),方程(4)轉化為只含變量ξ常微分方程

步驟2 假設方程(5)有如下形式的解：

其中Ф=Ф(ξ)滿足如下形式的Riccati方程

這里的σ為任意常數(shù),ai(i=0,1,2,...,n)為待定系數(shù).正整數(shù)n可由齊次平衡原則確定.

根據(jù)常數(shù)σ的不同取值,確定如下三種類型的解：

(1)當σ＜0時,

(2)當σ＞0時,

(3)當σ =0時,

步驟3 將(7)式和(6)式代入(5)式后合并Ф的同冪次項,得到關于ai(i=1,2,....,n)的代數(shù)方程組,利用Maple計算參數(shù),進而得到原方程不同類型的精確解.

2 運用與結果

考慮如下的空時分數(shù)階Burgers方程[10]：

其中ω,η是常數(shù),x表示空間位置,t表示時間.

對方程(9)作復變換,原方程轉化為整數(shù)階常微分方程：

其中C為積分常數(shù),平衡方程(10)中的u2和u',得n=1.

將(11)式和(7)式代入(10)式,令Фi的系數(shù)為0,得到關于a0,a1的代數(shù)方程組,借助Maple軟件得到a0,a1,σ的值；

于是得到原方程在不同情形下的解：

情形1 當σ＜0時,方程(9)有如下孤立波解：

情形2 當σ＞0時,方程(9)有如下周期波解：

情形3 當σ=0時,方程(9)有如下有理函數(shù)解：

圖1 孤立波解u1(ξ)

圖2 孤立波解u2(ξ)

圖3 周期波解u3(ξ)

圖4 周期波解u4(ξ)

為了更直觀的理解這些解,借助Maple軟件得到部分解的數(shù)值模擬圖像如圖1-4所示.系數(shù)α==1,ω =1,C=1,K=1,L=4,圖 1、圖 2分別為孤立波解 u1(ξ)、u2(ξ).系數(shù)=1,ω =1,C=1,K=1,L=1,圖3、圖4分別為周期波解u3(ξ)、u4(ξ).

3 結論

文中借助修正的Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)結合Riccati函數(shù)展開法構建空時分數(shù)階Burgers方程的新精確解,其中包括孤立波解,周期波解,有理函數(shù)解.并對部分解作出三維圖示,這些解對于理解復雜的非線性物理現(xiàn)象和分數(shù)階偏微分方程的原理很有幫助,該方法簡潔高效,是求解一類分數(shù)階偏微分方程行之有效的方法.