廣東省中山市濠頭中學(xué)(528437) 閆 偉

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目(2020 屆揚(yáng)州市一模) 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:的離心率為右準(zhǔn)線的方程為x=4,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A,B分別為橢圓的左右頂點(diǎn).

圖1

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)T(t,0)(t＞a)作斜率為k(k＜0)的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),且F1M//F2N,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,求k1·k2的值.

分析試題平和樸實(shí)、內(nèi)涵深刻,給人以“題在書(shū)外,根在書(shū)內(nèi)”的感覺(jué),從知識(shí)層面看主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系及斜率積為定值問(wèn)題;從能力層面看主要考查學(xué)生邏輯推理能力,運(yùn)算求解等方面的能力,較好地檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能.

2 解法探究

(1)橢圓C的方程為過(guò)程從略.

(2)解法1(通性通法,少思多算):設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意知l:y=k(x-t)與橢圓聯(lián)立得:

因?yàn)镕1(-1,0),F2(1,0),所以

由F1M//F2N知(x1+1)y2=(x2-1)y1,即k(x1+1)(x2-t)=k(x2-1)(x1-t),整理得t(x2-x1)+(x1+x2)=2t,于是x2-x1=2-又(x1+x2)2=(x1-x2)2+4x1x2,所以

化簡(jiǎn)得

又因?yàn)锳(-2,0),B(2,0),所以

評(píng)注本解法是解決此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)解法,通過(guò)聯(lián)立直線與橢圓方程再結(jié)合韋達(dá)定理和條件中的等式先解決參數(shù)k,t,再代入斜率積的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)消參求得定值,解題思路自然,但是運(yùn)算量特別大.

解法2(聯(lián)立轉(zhuǎn)化,多思少算):設(shè)M(x1,y1),由題意知直線AM:y=k1(x+2) 與橢圓聯(lián)立得:(4k12+3)x2-12k12x+16k12-12=0,所以xAx1=-2x1=即x1=于是得從而kMF1=同理可得:即

因?yàn)镕1M//F2N,所以kMF1=kNF2,即化簡(jiǎn)得(k2-k1)(4k2k1+9)=0,故k1k2=

評(píng)注通過(guò)將直線AM,BN方程分別與橢圓聯(lián)立求得M,N兩點(diǎn)坐標(biāo),再表示直線MF1,NF2的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,方法巧妙,運(yùn)算量較少,不失為解決本題的高效解法.

解法3(大道至簡(jiǎn),深思妙算):如圖1延長(zhǎng)NF2交橢圓于點(diǎn)D,因?yàn)镕1M//F2N,由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,不難得出ΔAMF1與ΔBDF2也關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,于是AM//BD,即k1=kBD,因?yàn)锽(2,0),于是直線BD,BN方程分別為y=k1(x-2),y=k2(x-2),則雙直線方程(k1x-y-2k1)(k2x-y-2k2)=0 表示直線BD,BN上的所有點(diǎn),整理得k1k2(x-2)2+(k1+k2)(x-2)y+y2=0.

因?yàn)镈,N在橢圓上,將上方程與橢圓聯(lián)立得:k1k2(x-2)2+(k1+k2)(x-2)y+=0,若x≠2,化簡(jiǎn)得k1k2(x-2)+(k1+k2)y-=0,該方程即是直線DN的方程,又因?yàn)镕2(1,0)在直線DN上,代入解得

評(píng)注本解法先通過(guò)中心對(duì)稱將直線AM轉(zhuǎn)化到直線BD,再利用BD,BN直線系方程與橢圓聯(lián)立求解,推理過(guò)程簡(jiǎn)捷、巧妙,代數(shù)變形簡(jiǎn)單,極大的提高了解題效率,難點(diǎn)是要求學(xué)生熟悉直線系方程的應(yīng)用.

以上3 種解法從不同的角度出發(fā)思考問(wèn)題,各顯神通,充分體現(xiàn)了試題的不拘一格:一道試題往往考查多種能力、多種思維方法,試題的思維方式多元化給考試提供了較大的發(fā)揮空間,這樣通過(guò)方法的選擇甄別出考生能力的差異,較好地達(dá)到區(qū)分考生的目的.

3 結(jié)論推廣 揭示本質(zhì)

將上述試題一般化,我們可以得到:

結(jié)論1已知橢圓A,B分別為橢圓的左右頂點(diǎn),F1,F2為橢圓的左右焦點(diǎn).過(guò)T(t,0)(|t|＞a) 作斜率為k(k≠0) 的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),且F1M//F2N,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,則k1·k2=-(1+e)2,其中e為橢圓離心率.

結(jié)論2已知橢圓A,B分別為橢圓的左右頂點(diǎn),E(-m,0),F(m,0)(|m|＜a,且m≠0)為橢圓內(nèi)的兩點(diǎn).過(guò)T(t,0)(|t|＞a)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),且EM//FN,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,則

證明延長(zhǎng)NF交橢圓于點(diǎn)D,因?yàn)镋M//FN,因橢圓關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,不難得出ΔAME與ΔBDF也關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,于是AM//BD,即k1=kBD,因?yàn)锽(a,0),于是直線BD,BN方程分別為,y=k1(x-a),y=k2(x-a),則雙直線方程(k1x-y-ak1)(k2x-y-ak2)=0 表示直線BD,BN上的所有點(diǎn),整理得k1k2(x-a)2+(k1+k2)(xa)y+y2=0.

將方程與橢圓聯(lián)立得:k1k2(x-a)2+(k1+k2)(x-若x≠a,化簡(jiǎn)得k1k2(x-a)+(k1+該方程即是直線DN的方程,又因?yàn)镕(m,0)在直線DN上,代入解得

由于橢圓和雙曲線都是有心二次曲線,于是可類(lèi)比到雙曲線:

結(jié)論3已知雙曲線A,B分別為雙曲線的左右頂點(diǎn),E(-m,0),F(m,0)(|m|＞a)為雙曲線內(nèi)側(cè)的兩點(diǎn).過(guò)T(t,0)(|t|＜a)作斜率為k(k≠0)的直線l與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),且EM//FN,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,則

4 借題發(fā)揮 深入拓展

由解法3 可知試題中定值結(jié)論似乎與直線l和T(t,0)無(wú)關(guān),那么它們還有其他存在的價(jià)值嗎? 沿著這條線索繼續(xù)探究,有意外的收獲;在圖1中延長(zhǎng)AM,BN交于點(diǎn)P,筆者通過(guò)GeoGebra 平臺(tái)作圖發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與T(t,0)有關(guān),于是有以下結(jié)論:

結(jié)論4已知橢圓=1(a＞b＞0),A,B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),F(c,0) 是橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)的直線l(非x軸)與橢圓交于點(diǎn)M,N,直線AM,BN交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在直線x=c上.

如果T點(diǎn)是橢圓外x軸上任意一點(diǎn)呢? 是否仍有類(lèi)似的性質(zhì)呢? 筆者借助GeoGebra 軟件進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探究,發(fā)現(xiàn)了如下更為一般的結(jié)論:

結(jié)論5已知橢圓=1(a＞b＞0),A,B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)T(t,0)(t≠0)的直線l(非x軸)與橢圓交于M,N兩點(diǎn),直線AM,BN交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在直線x=上.

證明不妨設(shè)M(acosα,bsinα),N(acosβ,bsinβ),因?yàn)門(mén)(t,0),由T,M,N三點(diǎn)共線得:=即t(sinα-sinβ)=asin(α-β),于是有

故點(diǎn)P在直線x=上.當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與焦點(diǎn)橫坐標(biāo)一致,結(jié)論4 是結(jié)論5 的特例.

結(jié)論6已知橢圓=1(a＞b＞0),A,B分別是橢圓的上、下頂點(diǎn),過(guò)T(0,t)(t≠0)的直線l(非y軸)與橢圓交于M,N兩點(diǎn),直線AM,BN交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在直線y=上.

結(jié)論7已知雙曲線=1(a＞0,b＞0),A,B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn),過(guò)T(t,0)(t≠0)的直線l(非x軸)與雙曲線的同一支交于M,N兩點(diǎn),直線AM,BN交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在直線x=上.

結(jié)論6、7 類(lèi)似于結(jié)論5 可證,不再贅述.

結(jié)論8已知拋物線y2=2px(p＞0),A是拋物線的頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T(t,0)(t＜0)的直線與拋物線交于點(diǎn)M,N,直線AM與過(guò)N點(diǎn)且平行于x軸的直線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在直線x=-t上.

證明設(shè)因?yàn)?點(diǎn)T(t,0),由T,M,N三點(diǎn)共線知:

化簡(jiǎn)整理得:y1y2=-2pt;又因?yàn)橹本€AM,PN的方程分別為聯(lián)立兩直線方程可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P在直線x=-t上.

至此,我們通過(guò)研究這道模擬試題,不僅發(fā)現(xiàn)了巧妙的解法,還對(duì)試題結(jié)論進(jìn)行推廣,并根據(jù)條件作出引申探究,得到若干精彩結(jié)論;這也是試題的精妙之處,正所謂數(shù)學(xué)不是缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛,這就要求我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多去總結(jié)反思.

5 解后反思

解析幾何中定值問(wèn)題是各類(lèi)考試的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,這類(lèi)問(wèn)題在考查解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)和幾何性質(zhì)的同時(shí),能很好地考查學(xué)生的運(yùn)算求解、推理論證等能力,在解題時(shí)要學(xué)會(huì)探索、歸納和總結(jié),把同類(lèi)型的問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi),才能更好的應(yīng)對(duì)各類(lèi)考試.

對(duì)題目進(jìn)行拓展、引申探究是一名數(shù)學(xué)教師必備的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng),平時(shí)要重視對(duì)典型問(wèn)題的深入研究,探研規(guī)律,并適當(dāng)拓展,充分挖掘題目的育人價(jià)值.高中數(shù)學(xué)新課程的理念之一是倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.在教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生不能只滿足于問(wèn)題的解決,而是要通過(guò)變式、類(lèi)比進(jìn)行研究,尋求問(wèn)題的增長(zhǎng)點(diǎn),從而達(dá)到“做一題,會(huì)一類(lèi),甚至通一片”的目的;讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,引導(dǎo)他們勇于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題,讓學(xué)生在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展,進(jìn)而全面提高學(xué)生的綜合能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).