飛艇動導(dǎo)數(shù)與附加質(zhì)量相互融合的方法

林獻(xiàn)武，王仕超，李智斌，蘭維瑤

1. 廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，廈門 361005

2. 山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，青島 266510

飛行力學(xué)模型是研究飛艇技術(shù)的一個重要基礎(chǔ)，建立飛行力學(xué)模型的難點在于氣動力和力矩的確定和處理。在長達(dá)一百多年的飛艇技術(shù)發(fā)展過程中，許多學(xué)者對飛艇氣動力和力矩的計算、測量和處理方法進(jìn)行了研究。19世紀(jì)及以前基于無旋無環(huán)流假設(shè)估算運動體的氣動力和力矩，其理論由Lamb[1]總結(jié)；這個研究主要關(guān)注非定常氣動力和力矩以及穩(wěn)態(tài)的Munk力矩。飛艇長時間勻速直線平動所對應(yīng)的氣動力和力矩估算主要是基于20世紀(jì)20年代Munk提出的劃片法[2]，于20世紀(jì)中葉由Allen和Perkins[3-4]推廣到有黏流的情況并由Hopkins[5]進(jìn)行改進(jìn)；到了20世紀(jì)80年代，隨著計算技術(shù)的發(fā)展面元法也被應(yīng)用于飛艇定常氣動力和力矩的數(shù)值計算中[6]。有黏流情況下，飛艇長時間勻速直線平動氣動力和力矩實驗測量的代表性工作有文獻(xiàn)[7-10]等。有黏流中非定常氣動力和力矩實驗測量的代表性工作有文獻(xiàn)[9-12]等。有黏流中的非定常氣動力計算，早期的代表性工作有文獻(xiàn)[12-13]，近年來隨著CFD技術(shù)的發(fā)展，越來越多的學(xué)者開展基于CFD計算數(shù)據(jù)來辨識動導(dǎo)數(shù)的研究[14-17]。關(guān)于有黏流和無黏流對應(yīng)氣動系數(shù)的融合，代表性的工作有文獻(xiàn)[13，18-20]等。

在剛體假設(shè)下，運動體上任一點的速度可以用運動體的角速度和其上一點(不妨稱為平動參考點)的平動速度來表征。因此飛行力學(xué)模型中一般取這些當(dāng)前運動參數(shù)為未知狀態(tài)變量，并建立與未知數(shù)個數(shù)相對應(yīng)的微分方程。為了在飛行力學(xué)模型中計入氣動力或力矩的影響，一般需要將其與這些當(dāng)前運動參數(shù)關(guān)聯(lián)，這樣才能使方程組封閉；這種表征方法是通過氣動系數(shù)的概念來實現(xiàn)的。對于無旋無環(huán)流場而言，Lamb的理論表明運動剛體的氣動力和力矩均取決于其當(dāng)前運動參數(shù)，因此非定常氣動系數(shù)的概念是存在的，一般稱為附加質(zhì)量。對于有黏或有旋流而言，運動剛體的非定常運動氣動力或力矩不僅與其當(dāng)前運動參數(shù)有關(guān)，同時也受其歷史運動信息影響；因此傳統(tǒng)意義上的氣動系數(shù)并不是嚴(yán)格存在的?；谶@個原因，現(xiàn)在飛艇飛行力學(xué)模型中的相當(dāng)部分非定常氣動系數(shù)仍采用無黏流中的對應(yīng)結(jié)果。與俯仰、偏航、升沉或側(cè)滑運動有關(guān)的氣動力或力矩，用于確定飛艇的擾動特性；這時其所對應(yīng)的運動接近周期性振蕩過程，因此這些氣動力和力矩仍可近似與其當(dāng)前運動參數(shù)相關(guān)，如文獻(xiàn)[14]中介紹的傅里葉分析法所示。正是基于這個原因，與飛艇俯仰、偏航、升沉或側(cè)滑運動有關(guān)的氣動系數(shù)存在有黏流中的結(jié)果，它們與對應(yīng)當(dāng)前運動參數(shù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)一般稱為動導(dǎo)數(shù)。這時就存在一個問題：在飛艇飛行力學(xué)建模中，動導(dǎo)數(shù)與無旋無環(huán)流中對應(yīng)的附加質(zhì)量均表示非定常氣動力或力矩與當(dāng)前運動參數(shù)之間的關(guān)系，它們應(yīng)該如何融合，現(xiàn)有代表性工作[13，18-20]中所采用的方法并不一致。例如文獻(xiàn)[13]在氣動系數(shù)融合時，同時采用了有黏流中的俯仰阻尼力/力矩和無旋無環(huán)流中對應(yīng)的非定常氣動力/力矩；在文獻(xiàn)[19]中，既不采用有黏流中的動導(dǎo)數(shù)，也不采用無旋無環(huán)流中的對應(yīng)結(jié)果；文獻(xiàn)[18]在采用部分有黏流中的動導(dǎo)數(shù)后，摒棄了作者認(rèn)為與之對應(yīng)的無旋無環(huán)流中的結(jié)果；在文獻(xiàn)[20]中，非定常氣動系數(shù)僅采用無旋無環(huán)流中的結(jié)果，這種融合方法也被近期的許多專著所采用[21-23]。這說明人們在這個問題的認(rèn)識上不但存在爭議，而且多數(shù)文獻(xiàn)回避了這個問題，因此需要進(jìn)一步探討。由于潛航器或傳統(tǒng)重于飛行介質(zhì)的飛行器建模中也存在類似問題，因此研究這個問題具有重要意義。

導(dǎo)致這種不一致的根本原因有兩點：其一是缺乏統(tǒng)一的理論框架來計算和對比無旋無環(huán)流以及有黏流中的氣動力和力矩。在無旋無環(huán)流中，氣動力或力矩根據(jù)Lamb的理論取決于流場中的速度分布；在有黏流中，氣動力或力矩一般是根據(jù)物體表面的壓力和摩擦力分布積分或加權(quán)積分得到；這樣人們就難以比較兩種流場中同成分氣動力/力矩的從屬關(guān)系。其二是兩種流場中氣動力/力矩的成分劃分不明確，一般將氣動力/力矩按其與運動體當(dāng)前運動參數(shù)的關(guān)聯(lián)性劃分為不同成分。對于軸對稱體而言，與縱向非定常氣動力/力矩有關(guān)的當(dāng)前運動參數(shù)有俯仰角速度和迎角變化率等，而與俯仰角速度相關(guān)的氣動力/力矩既可以是因俯仰角速度引起，也可以是因部分迎角變化率引起[12]。這種特點使得人們無法從實驗測量數(shù)據(jù)或數(shù)值計算(CFD)結(jié)果中區(qū)分俯仰角速度引起的氣動力/力矩成分和迎角變化率引起的氣動力/力矩成分[10,14]，給氣動力/力矩的成分劃分帶來困難。為了解決這兩個問題，本文首先介紹能兼容Lamb無旋無環(huán)流理論的渦量矩定理，使得飛艇的氣動力和力矩可以在統(tǒng)一的框架下計算和分析，進(jìn)而明確同成分氣動系數(shù)在兩種流場中的從屬關(guān)系；然后通過重構(gòu)運動體的當(dāng)前運動參數(shù)，將俯仰角速度和迎角變化率轉(zhuǎn)換為俯仰角速度和平動加速度，使得按這種新運動參數(shù)劃分的氣動力和力矩成分是明確并可計算或測量的。進(jìn)而根據(jù)這兩個研究結(jié)果，提出了一種動導(dǎo)數(shù)與附加質(zhì)量的新融合方法。文章最后通過一個實際算例來評估這種新融合方法和文獻(xiàn)[18]中融合方法的差異對飛艇縱向擾動特性的影響，說明采用這種新方法的必要性。

1 不可壓縮流中通用的氣動力和力矩表達(dá)式

關(guān)于非定常氣動力和力矩的計算和分析理論，最早被Lamb用于流體無黏假設(shè)系統(tǒng)闡述中。這種無黏流場中既不存在渦也不存在環(huán)量，因而和空氣動力學(xué)中所說的無黏流和勢流概念又有所不同，這里簡稱其為無旋無環(huán)流。與無旋無環(huán)流對應(yīng)的是有旋流或渦流，渦是由黏性引起的，在強調(diào)黏性影響的情況下也將渦流稱為有黏流。

Lamb[1]所介紹無旋無環(huán)流場中對應(yīng)的氣動力和力矩方法是基于能量守恒的原理推導(dǎo)得到的；因為有黏流場中存在黏性損耗，因此這種方法難以被推廣到有黏流中去。運動體在有黏流場中運動時所對應(yīng)的氣動力和力矩可以用Wu提出的渦量矩定理[24-26]來計算和分析，這種方法是基于動量守恒方法得到的。然而在流場黏性減少為零的情況下，渦量矩定理并不能收斂于Lamb的研究結(jié)果[27]。這種不兼容性的原因之一在于渦量矩定理的推導(dǎo)過程中將運動體和流場視為一體。在無旋無環(huán)流的情況下，滑移邊界條件將導(dǎo)致速度等變量分布在流體和固體所占領(lǐng)的空間區(qū)域上不連續(xù)，從而導(dǎo)致渦量矩定理的推導(dǎo)過程和結(jié)果不成立。渦量矩定理不能兼容無旋無環(huán)流結(jié)果的另一個原因是目前許多渦動力學(xué)理論[28-31]中的氣動力和力矩表達(dá)式并沒有考慮力矩參考點可動的情況；然而在飛行力學(xué)中，運動體所受氣動力矩的參考點一般是固聯(lián)在運動體上的，因而是運動的?？紤]到這些問題和不足，重新推導(dǎo)運動體的氣動力和力矩表達(dá)式可得到能同時兼容渦量矩定理和無旋無環(huán)流結(jié)果的氣動力FA和力矩MA的公式為

(1)

(2)

式中：N=2,3為流場的維度；Si為與物面Sb相接觸的流體表面，Si與Sb之間的間距為無窮小但不重合；Rf,∞是流體所占領(lǐng)的無窮大空間區(qū)域；n是Si的法向方向并指向Rf,∞的外部，以指向運動體為正；r=x-x0是流場中某一點相對參考點O0的位矢；ρ是流體密度；ω是流場中的渦量分布。

注1Rf,∞是流體所占領(lǐng)的無窮大空間區(qū)域，它不同于一個趨于無窮大的空間區(qū)域。無窮大的空間區(qū)域Rf,∞是沒有外邊界的，因此式(2)在使用導(dǎo)數(shù)矩轉(zhuǎn)換(Derivative Moment Transformation， DMT)公式[28]展開體積分后，只有內(nèi)邊界Si上的積分。若是趨于無窮大的空間區(qū)域，因其有外邊界，在使用DMT公式展開體積分后還會多出一個與內(nèi)邊界Si類似的外邊界Se上的面積分。

注2對于無旋無環(huán)流場，式(2)可簡化為

(3)

在無旋無環(huán)流中，Si上的滑移速度可以根據(jù)Hess[32]的面元法來計算。對于旋成橢球體的計算結(jié)果表明，用式(1)計算得到的氣動力和力矩，與Lamb[1]和Munk[2]所得到的結(jié)果一致。

注3基于Lamb的理論，在求得物面速度勢的情況下，可以計算任意外形運動體的附加質(zhì)量或無旋無環(huán)流氣動力/力矩。式(3)實際上提供了一種更簡便的方法，在獲得物面速度分布的情況下，并不需要積分求速度勢就可以直接求氣動力，這是式(3)的第1個優(yōu)點。其次，Lamb 公式中并沒有明確力矩參考點的位置，從上下文來看力矩參考點應(yīng)該是體坐標(biāo)系的原點或平動參考點。事實上，力矩的參考點并不一定會和平動參考點或體坐標(biāo)系的原點重合，因此式(3)給出的公式更具一般性。最后，Lamb公式中的v0是指平動參考點或體坐標(biāo)系原點的速度。而式(1)中的v0是指力矩參考點的速度。在一般情況下，力矩參考點的速度是可以任意指定的，并不一定會與旋轉(zhuǎn)中心或體坐標(biāo)系原點的速度一致。這些都表明式(3)是對Lamb理論的推廣，同時也說明了Lamb公式的不足。

注4對于有黏流場而言，根據(jù)無滑移邊界條件Sb和Si上的流動參數(shù)相同，不難看出式(1)中的氣動力表達(dá)式與渦量矩定理[26]的氣動力表達(dá)式一致。然而對比式(1)中的氣動力矩表達(dá)式與渦量矩定理中的力矩表達(dá)式可發(fā)現(xiàn)，前者多了一項v0×Qf，∞。渦動力學(xué)理論中缺少這一項的根本原因在于推導(dǎo)動量矩定理的時候，并沒有考慮參考點速度的影響。在飛行力學(xué)的研究中，力矩的參考點一般是固聯(lián)在運動體上的，即速度不為零。因此考慮力矩參考點速度影響的結(jié)果更實用。

(4)

式(4)清楚地表明，無旋無環(huán)流和有黏流中流場的動量或動量矩享有相同的表達(dá)式。這樣根據(jù)式(1)可知，運動在有黏流場和無旋無環(huán)流場中以相同速度運動時，其氣動力或力矩的差異是因為二者的渦量分布不同所致。對于有黏流而言，物面上所產(chǎn)生的渦將在黏性的作用下逐漸擴散到流場中去形成邊界層，并在對流的作用下最終形成尾跡。隨著黏性的減小，擴散作用減弱，物面所產(chǎn)生的渦更加集中在物面附近并形成邊界層。當(dāng)流場黏性進(jìn)一步減少到零，這個邊界層就會最終縮減為滑移邊界。這表明無旋無環(huán)流場只是有黏流場在流體黏性為零情況下的一個特例。因此，在無旋無環(huán)流氣動力或力矩與有黏流中對應(yīng)成分融合時，應(yīng)當(dāng)僅取有黏流中的結(jié)果。需要注意的問題是，只有相同成分的氣動力或力矩才可以按上面的研究結(jié)論融合。然而有黏流和無旋無環(huán)流中的氣動力或力矩的成分劃分方法并不相同。無旋無環(huán)流中的氣動力或力矩一般是根據(jù)運動體平動參考點速度和角速度劃分，而有黏流中的氣動力或力矩一般是根據(jù)運動體的迎角、迎角變化率以及角速度等參數(shù)來劃分的。這樣在氣動力或力矩融合之前，首先需要明確這兩種氣動力或力矩劃分結(jié)果的成分對應(yīng)關(guān)系，或者說有黏流場中氣動系數(shù)與無旋無環(huán)流場中附加質(zhì)量所表征氣動力或力矩的對應(yīng)關(guān)系。

2 氣動系數(shù)計算與融合

只有基于可獲得的氣動系數(shù)討論融合才有意義，也只有先明確氣動系數(shù)的特點，才能討論解決氣動系數(shù)融合的方法。因此本節(jié)先分別介紹氣動系數(shù)在無旋無環(huán)流和有黏流中的算法和特點，然后討論氣動系數(shù)在有黏流和無旋無環(huán)流中的融合方法。

2.1 無旋無環(huán)流中的氣動系數(shù)計算

根據(jù)前面的分析，無旋無環(huán)流中氣動力可根據(jù)式(1)和式(3)來計算，但這個結(jié)果并不能將氣動力或力矩與運動體當(dāng)前的運動參數(shù)關(guān)聯(lián)起來。在初始時刻流場是靜止的情況下，根據(jù)面元法的理論[32]、廣義的Biot-Savart定理[26]或者文獻(xiàn)[1]中所介紹的Kirchhoff公式，均不難證明在無旋無環(huán)流的情況下Si上的滑移速度與運動體的當(dāng)前運動參數(shù)成正比。根據(jù)式(4)可知，流場中的總動量和動量矩可分別表示為

(5)

式中：vD為平動參考點的速度；ωb為運動體的旋轉(zhuǎn)角速度；λFv、λFω、λMv、λMω為相關(guān)系數(shù)，它們均為二階張量。再根據(jù)式(1)可知，運動體在無旋無環(huán)流場中的氣動力和力矩可表示為

(6)

式(6)表明，無旋無環(huán)流場中運動體的氣動力和力矩僅取決于運動體的當(dāng)前運動參數(shù)，因此可以建立氣動系數(shù)的概念。這種氣動系數(shù)可以取λFv、λFω、λMv、λMω在體坐標(biāo)系中的投影分量，一般被稱為附加質(zhì)量。

對于旋成體而言，若體坐標(biāo)系原點位于主軸上且Ox軸與主軸重合，則張量λFv、λFω、λMv、λMω在體坐標(biāo)系中的投影具有如下簡化形式：

(7)

在這種情況下，氣動力和力矩在體坐標(biāo)系中的投影矩陣可分別展開為

(8)

(9)

式中：u、v、w為平動參考點速度vD在體坐標(biāo)系中的3個投影分量；p、q、r為當(dāng)前角速度ωb在體坐標(biāo)系中的3個投影分量。

根據(jù)式(6)可知，附加質(zhì)量可以根據(jù)不同運動參數(shù)下的氣動力/力矩差分得到。以計算λ66為例，先給運動體一個僅擁有r分量的轉(zhuǎn)動角速度，然后基于面元法計算運動體氣動力矩在Oz軸方向上的分量Mz；由于在速度和角速度均為零時運動體的氣動力矩為零，因此根據(jù)式(6)可知λ66=Mz/r。其他附加質(zhì)量系數(shù)可按類似計算[33-35]。已有的算例表明，針對橢球體，這種新計算方法與經(jīng)典結(jié)果一致；針對一般外形剛體，這種新計算方法比經(jīng)典方法更直觀、通用。

2.2 有黏流中的氣動系數(shù)計算

在有黏流中，飛行力學(xué)著作一般采用如下方式來定義氣動系數(shù)：

(10)

(11)

式中：U=SL為飛艇的特征體積；j、k分別是體坐標(biāo)系Oy軸和Oz軸的基矢量。對應(yīng)的氣動系數(shù)可分別表示為

(12)

還有一種周期性擾動是升沉運動或側(cè)滑平動，與其加速度有關(guān)的力和力矩可表示為

(13)

且相關(guān)的氣動系數(shù)可分別表示為

(14)

式中：ay、az分別表示運動體平動參考點沿著體坐標(biāo)系Oy、Oz軸的平動加速度；式(14)中各子式的最后一個等號使用了泊松公式。升沉運動中運動體無俯仰角速度而只有迎角變化，因此ay實際上表示某種迎角變化率。這里又出現(xiàn)了新問題，那就是在測量或計算與俯仰角速度有關(guān)的氣動系數(shù)mzr時，運動體的迎角也發(fā)生了變化，這是否意味著辨識結(jié)果中也包含一部分迎角變化率引起的力矩呢？這個問題的答案是肯定的，人們很早就發(fā)現(xiàn)，實驗測量得到與俯仰角速度相關(guān)的力矩中同時包含俯仰角速度引起的阻尼力矩和迎角變化率引起的下洗延遲力矩[12]；Wang在2012年基于CFD 和傅里葉分析法計算動導(dǎo)數(shù)時也無法區(qū)分俯仰阻尼力矩和下洗延遲力矩這兩類氣動系數(shù)[14]。因此，基于數(shù)值計算結(jié)果或?qū)嶒灁?shù)據(jù)辨識得到與俯仰角速度r相關(guān)的俯仰力矩系數(shù)mzr并非俯仰角速度所引起的俯仰阻尼力矩系數(shù)mz,r，因為前者還多包含一部分因迎角變化率所對應(yīng)的氣動力矩。這種現(xiàn)象的存在，給氣動系數(shù)的成分劃分帶來了困難，進(jìn)而阻礙了氣動系數(shù)融合方法的研究，其解決方法將在2.3節(jié)具體討論。

2.3 動導(dǎo)數(shù)與附加質(zhì)量的融合

動導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量分別在有黏流和無旋無環(huán)流中將飛艇的氣動力和力矩與其當(dāng)前運動參數(shù)關(guān)聯(lián)起來，這就產(chǎn)生了動導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量的融合問題。根據(jù)前面所介紹的不可壓縮流中氣動力和力矩的通用分析理論可知，同成分氣動系數(shù)融合時，應(yīng)當(dāng)取有黏流中的結(jié)果并同時摒棄對應(yīng)的附加質(zhì)量。如果能在有黏流中計算所有的動導(dǎo)數(shù)，那么氣動系數(shù)的融合就不存在困難。從前面的氣動系數(shù)計算分析中可以看出，無旋無環(huán)流中的附加質(zhì)量成分要比有黏流中的動導(dǎo)數(shù)豐富。對于那些有黏流中無對應(yīng)成分的無旋流附加質(zhì)量，在融合過程中應(yīng)當(dāng)保留。因此研究氣動系數(shù)融合的目的在于明確無旋無環(huán)流中附加質(zhì)量需要保留的部分。為了實現(xiàn)這個目的，需要明確這兩種流場中氣動系數(shù)成分的劃分及其對應(yīng)關(guān)系。

有黏流中的氣動系數(shù)一般表示為平動參考點速度的幅值vD、迎角α、側(cè)滑角β和運動體旋轉(zhuǎn)角速度ωb的函數(shù)，而無旋無環(huán)流中的氣動力或力矩一般表征為平動參考點的平動速度在體坐標(biāo)系中分量u、v、w和ωb的函數(shù)。為了融合有黏流和無旋無環(huán)流的氣動系數(shù)，首先需要建立這兩類參數(shù)之間的聯(lián)系，在小迎角假設(shè)下，這種關(guān)系為

(15)

可進(jìn)一步求得

(16)

(17)

接下來討論如何將無旋無環(huán)流氣動力與新當(dāng)前運動參數(shù)相關(guān)聯(lián)。利用泊松公式可將式(6)中的氣動力表達(dá)式改寫為

ωb×(λFv·vD)-ωb×(λFω·ωb)

(18)

其中：dr表示相對導(dǎo)數(shù)，即對矢量求導(dǎo)數(shù)時，只考慮坐標(biāo)的變化而不考慮參考坐標(biāo)系基矢量隨時間的變化[39]。從式(18)最后一個等號右邊可以明顯看出，與運動體角速度相關(guān)的氣動力為最后3項而不是最后2項。這是因為drvD/dt采用相對導(dǎo)數(shù)的符號，本身受運動體角速度影響；而dvD/dt采用了絕對導(dǎo)數(shù)的符號，不受運動體角速度影響的緣故。這樣無旋無環(huán)流中與俯仰角速度q、r相關(guān)的氣動力為

Fqr,p=λFv·[(qj+rk)×vD]-

(qj+rk)×(λFv·vD)-

(qj+rk)×[λFω·(qj+rk)]

(19)

另一方面，在運動體沒有平動加速度，即dvD/dt=0 的情況下，由式(18)可知

(20)

Fqr1,p=Fqr,p-Fqr,p·i

(21)

式中：i為體坐標(biāo)系的Ox軸基矢量。根據(jù)有黏流和無旋無環(huán)流中的氣動系數(shù)關(guān)系，式(21)與式(11) 融合后應(yīng)當(dāng)僅取式(11)中的第1式。

由式(18)還可知，無旋無環(huán)流中與橫向和法向平動加速度有關(guān)的氣動力為

(22)

有黏流場中與平動加速度相關(guān)的氣動系數(shù)為式(13) 中的第1式。類似地，這個式子并不含Ox軸向分量，因此它與無旋無環(huán)流中Fa,p的法向和橫向分量為

Fayaz1,p=Fayaz,p-Fayaz,p·i

(23)

根據(jù)有黏流和無旋無環(huán)流中的氣動系數(shù)關(guān)系，式(23) 與式(13)融合后應(yīng)當(dāng)僅取式(13)中的第1式。

類似地，式(6)中的氣動力矩表達(dá)式可改寫為

λMv·(ωb×vD)-ωb×(λMv·vD)-

ωb×(λMω·ωb)-

v0×λFv·vD-v0×λFω·ωb

(24)

Mqr,p=λMv·[(qj+rk)×vD]-

(qj+rk)×(λMv·vD)-

(qj+rk)×[λMω·(qj+rk)]-

v0×[λFω·(qj+rk)]

(25)

其法向和橫向分量為

Mqr1,p=Mqr,p-Mqr,p·i

(26)

無旋無環(huán)流中與法向和橫向平動加速度相關(guān)的氣動力矩為

(27)

其法向和橫向分量為

Mayaz1,p=Mayaz,p-Mayaz,p·i

(28)

有黏流中與俯仰角速度q、r相關(guān)且與Mqr1,p對應(yīng)的氣動力矩為式(11)中的第2式，與運動體橫向和法向平動加速度ax、ay相關(guān)且與Mayaz1,p對應(yīng)的氣動力矩為式(13)中的第2式。類似地，與同樣當(dāng)前運動參數(shù)相關(guān)聯(lián)的，即同成分氣動力和力矩的融合方法是直接取有黏流的結(jié)果。因此與周期性擺動有關(guān)的氣動力和力矩融合結(jié)果分別直接取式(11)和式(13)中的第2式。

3 算例分析

圖1 兩種氣動系數(shù)融合方法對比

取平衡態(tài)為勻速直線運動，將飛艇的飛行力學(xué)模型線性化可得其縱向擾動運動模型為

(29)

式中：

xln=[ΔvD,Δα,r,Δ?]

Mln=

(30)

aln=

(31)

(32)

對于氣動系數(shù)融合方法Ⅰ，推導(dǎo)的結(jié)果表明

(33)

(34)

取文獻(xiàn)[18]中飛艇的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 飛艇的參數(shù)

對于方法Ⅱ，氣動參數(shù)計算如下：

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圖2 縱向擾動系統(tǒng)的根軌跡

為了進(jìn)一步分析各特征根的差異，將復(fù)數(shù)根的實部和虛部分別繪制于圖3，將兩個實數(shù)根分別繪制于圖4。從圖3可以看出，共軛復(fù)數(shù)根的實部差異較大，但這種差異隨vD變化并不顯著。在vD∈(5 m/s,65 m/s)的范圍內(nèi)，按文獻(xiàn)[18]融合方法所引起的復(fù)數(shù)根實部相對誤差約在15%～20%之間。從圖3還可以看出，共軛復(fù)數(shù)根的虛部在vD較小時差異顯著，隨著vD增加這種差異逐漸減小。在飛行速度為5 m/s時，復(fù)數(shù)根虛部相對誤差可達(dá)33%。

圖3 復(fù)特征根隨飛行速度的變化

圖4 實特征根隨飛行速度的變化

從圖4可以看出，縱向擾動系統(tǒng)擁有一大一小兩個實數(shù)根。其中絕對值較大的實數(shù)根在飛艇飛行速度較小的時候差異較大，隨著飛行速度增加，這種差異逐漸減?。辉陲w行速度為5 m/s時，這個實數(shù)根的相對誤差約為39%。絕對值較小的實數(shù)根在飛艇飛行速度較小時幾乎沒有差異；隨著速度增加，這種差異逐漸增大，在飛行速度約為25 m/s時，這個實數(shù)根的相對誤差達(dá)到最大值12%；但隨著速度的進(jìn)一步增加，這個實數(shù)根的相對誤差又逐漸減小。

4 結(jié) 論

氣動系數(shù)是保證飛行器飛行力學(xué)模型封閉的前提條件。在無旋無環(huán)流中，飛艇的氣動力/力矩可以直接與其當(dāng)前運動參數(shù)相關(guān)，非定常氣動系數(shù)即附加質(zhì)量的概念是存在的，氣動力/力矩或氣動系數(shù)均可根據(jù)當(dāng)前運動參數(shù)明確劃分。對于有黏流而言，只有一些與周期性運動相關(guān)的非定常氣動力/力矩才可以與當(dāng)前運動參數(shù)相關(guān)，進(jìn)而定義非定常氣動系數(shù)即動導(dǎo)數(shù)的概念。

為了研究這兩種氣動系數(shù)的融合問題，首先建立了能同時適用于無旋無環(huán)流和有黏流的氣動力和力矩表達(dá)式；然后在同一框架下對這兩種流場中的氣動系數(shù)進(jìn)行分析和成分劃分；最后明確了這兩種氣動系數(shù)的融合方法。就縱向非定常氣動力/力矩而言，它一般被表示為俯仰角速度和迎角變化率的函數(shù)，這時應(yīng)特別注意基于實驗數(shù)據(jù)或數(shù)值計算結(jié)果辨識得到與俯仰角速度相關(guān)的氣動力/力矩中也含有部分與迎角變化率引起的成份；因此與迎角變化率相關(guān)的氣動力/力矩應(yīng)當(dāng)只考慮升沉平動加速度所對應(yīng)迎角變化率引起的部分。

為了將動導(dǎo)數(shù)與附加質(zhì)量融合，無旋無環(huán)流中的氣動力/力矩也應(yīng)該按類似的方法劃分，這樣在動導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量融合時，若動導(dǎo)數(shù)存在，則融合結(jié)果取動導(dǎo)數(shù)，同時摒棄對應(yīng)附加質(zhì)量所表征的氣動力/力矩；若動導(dǎo)數(shù)不存在，則取附加質(zhì)量對應(yīng)的結(jié)果。忽視與俯仰角速度相關(guān)氣動力/力矩中含有迎角變化率引起的成份這個事實并使用融合后的氣動系數(shù)分析飛艇的動態(tài)特性，將使特征根產(chǎn)生較大的誤差。這個分析結(jié)果對于橫向動導(dǎo)數(shù)和附加質(zhì)量的融合同樣適用。