探求拋物線中的

周娟

利用二次函數(shù)求以動點為背景的最值問題，是中考數(shù)學(xué)的重要題型之一. 現(xiàn)以中考題為例探究此類問題的解題思路，剖析解決問題的關(guān)鍵.

一、探求線段和三角形面積最值

例1（2019·湖南·衡陽）如圖1，二次函數(shù)y = x2 + bx + c的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E.

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式.

（2）當(dāng)點P在線段OB（點P不與O，B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？求出這個最大值.

（3）在第四象限的拋物線上任取一點M，連接MN，MB.

請問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

分析：（1）將點A，B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求解;（2）由△POE∽△CBP得出比例線段，可表示出OE的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段OE的最大值;（3）如圖2，過點M作MH∥y軸交BN于點H，由S△BMN = S△BMH + S△MNH即可求解.

解：（1）拋物線函數(shù)解析式為y = x2 - 2x - 3.

（2）根據(jù)條件可得△POE∽△CBP，∴ = ，設(shè)OP = x，則PB = 3 - x，

∴ = ，∴OE =? -x

- 2 + ，

∴當(dāng)x = 時，OE有最大值.

（3）存在. 如圖2，過點M作MH∥y軸，交BN于點H，

設(shè)M（m，m2 - 2m - 3），則H（m，m - 3），

∴MH = -m2 + 3m，S△BMN = S△BMH + S△MNH = xB·MH = -m

- 2 + ，

當(dāng)m = 時，△MBN最大面積為.

點評：第（3）問的技巧在于將三角形一分為二，利用B點的橫坐標(biāo)作為總高，巧妙借助二次函數(shù)圖象上M點的縱坐標(biāo)，將三角形面積表示成關(guān)于m的一元二次函數(shù).

二、探究四邊形面積最值

例2（2019·四川·自貢）如圖3，已知直線AB與拋物線C：y = ax2 + 2x + c相交于點A（-1，0）和點B（2，3）兩點.

（1）求拋物線函數(shù)解析式.

（2）若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，以MA，MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MADB，當(dāng)平行四邊形MADB的面積最大時，求此時平行四邊形MADB的面積S.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在定點F，使拋物線上任意一點P到點F的距離等于到直線y = 的距離？若存在，求出定點F的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

分析：（1）將點A，B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求解;（2）將平行四邊形的面積的最值轉(zhuǎn)化為三角形的面積最值的2倍來解答;（3）設(shè)P到直線y = 的距離為PG，用PF2 = PG2建立方程求解.

解：（1）拋物線的函數(shù)解析式為y = -x2 + 2x + 3.

（2）直線AB的解析式為y = x + 1. 過M作MN∥y軸交AB于N，

設(shè)M（m，-m2 + 2m + 3）（-1 < m < 2），則N（m，m + 1），

∴MN = -m2 + m + 2，

∴S△ABM = S△AMN + S△BMN = （xB - xA）MN = -m

- 2 + ，

當(dāng)m = 時，△ABM的面積有最大值，

平行四邊形MADB最大面積為.

（3）存在，點F1

，.

理由：當(dāng)P點和頂點（1，4）重合時，P點到直線y = 的距離為，此時可以確定F1

，.

當(dāng)P不與頂點重合時，如圖4，過點P作直線y = 的垂線段PG，連接PF，

設(shè)點P（x，-x2 + 2x + 3），∴PG =? - （-x2 + 2x + 3） = x2 - 2x + ，

而PF2 = （x - 1）2 + -x2 + 2x + 3

- 2 = （x - 1）2 + x2 - 2x

+ 2，

∴x2 - 2x

+ 2= （x - 1）2 + x2 - 2x

+ 2，用平方差公式化簡得到0·x = 0，

∴當(dāng)F1

，時，無論x取任何實數(shù)，均有PG = PF.