大學(xué)數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用的調(diào)查與研究

黃磊雪 莊荔婷 王毅 國歌 楊博

摘要：本文通過調(diào)查分析高等代數(shù)、數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，以及舉例說明SEIR模型在預(yù)測新冠肺炎傳播情況的應(yīng)用，具體論述大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用的調(diào)查與研究。本論文提出的思想對于理解數(shù)學(xué)建模和大學(xué)數(shù)學(xué)課程之間的聯(lián)系起到一定的促進作用。

一、引言

“大學(xué)數(shù)學(xué)”是絕大多數(shù)專業(yè)的必修課，是許多高等教育課程的基礎(chǔ);“大學(xué)數(shù)學(xué)”思想作為“數(shù)學(xué)”思想的高級層面，同時在金融、計算機、建筑等各行各業(yè)應(yīng)用廣泛。將抽象的思想落實到具體的技術(shù)中，我們需要一個“模型”，類似于把無形的水注入有形的容器;制作這個“模型”的過程，稱之為“數(shù)學(xué)建?！?。

二、在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中的重要性與必要性

數(shù)學(xué)建模就是將我們生活中難以解決的復(fù)雜的實際問題，對其構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)知識進行推理、證明、求解、得出結(jié)論，并將解得的結(jié)果代入原問題中進行驗證，使實際問題得以合理解決。通過大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何等學(xué)科的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡單行列式、函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性以及立體幾何的求法等相關(guān)的基礎(chǔ)知識，這為我們在數(shù)學(xué)建模中簡化模型、處理數(shù)據(jù)打下了良好的基礎(chǔ)。

（一）數(shù)學(xué)建模與建模意識

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的關(guān)鍵是把實際問題能夠合理的抽象成數(shù)學(xué)問題。首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識系統(tǒng)去處理，在這過程中，需要學(xué)生有敏銳的建模意識，并能根據(jù)實際問題合理忽略掉對實際問題影響較小的因素，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進而達到將實際問題簡化為數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。

（二）構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識的基本方法

1.教師的建模意識的提高，教師在講述數(shù)學(xué)學(xué)科知識時可以有意無意將數(shù)學(xué)建模思想滲透到教學(xué)中。

2.數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)與教材相結(jié)合，可以將有關(guān)于數(shù)學(xué)建模的例題與大學(xué)學(xué)科知識相結(jié)合。

（三）通過構(gòu)建建模意識培養(yǎng)創(chuàng)新思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，構(gòu)建學(xué)生的建模意識本質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性邏輯思維能力，在建?；顒舆^程中，培養(yǎng)學(xué)生獨立尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養(yǎng)學(xué)生的想象能力，直覺思維、創(chuàng)新思維等能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的各種能力，并努力提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)手段來解決實際問題的綜合能力。只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣，才能把素質(zhì)教育提高到一個新的水平。

三、調(diào)查分析

（一）高等代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[1]

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，此課程所學(xué)習(xí)到的理論知識無論在大多數(shù)高等教育課程中，或是在解決實際問題中都有著廣泛應(yīng)用;其中最顯著的就是特征值與特征向量。在現(xiàn)實問題中，往往影響一個事物的變化因素有很多，甚至一些因素對其造成的影響存在重疊的部分。而高等代數(shù)可以利用其本身的學(xué)科特點用較少的變量來代替較多的變量，進而簡便我們對于問題的分析與計算。其中，最常用的是主成分分析法（PCA）、因子分析（FC）以及獨立成分分析（ICA）等統(tǒng)計方法。

主成分分析法（PCA）利用正交變換將眾多的變量化繁成簡為幾個主成分變量。這幾個主成分變量之間既可以較完整的呈現(xiàn)原數(shù)據(jù)所要呈現(xiàn)出來的信息，也可以根據(jù)主成分及其相關(guān)數(shù)據(jù)計算出每一個成分所對應(yīng)的權(quán)重比例，通過較少的變量來更優(yōu)的解決問題。因子分析（FC）可以看作主成分分析的推廣，在大數(shù)據(jù)的觀測中將大量的觀測數(shù)據(jù)指標轉(zhuǎn)換為某些不相關(guān)且能代表總體的相關(guān)變量。而獨立成分分析（ICA）是上述兩者的拓展，更多處理數(shù)據(jù)的分離與恢復(fù)，數(shù)據(jù)之間的相對獨立性。

矩陣是高等代數(shù)課程的重點內(nèi)容，通過矩陣的變換可將現(xiàn)實中觀測收集到的數(shù)據(jù)進行可視化表示。通過矩陣的變換可以對數(shù)據(jù)進行進一步的變換處理。將矩陣與線性方程組聯(lián)系起來可以對數(shù)據(jù)的最優(yōu)問題進行分析。通過矩陣的線性變換可以找到滿足相關(guān)限制條件的最優(yōu)解，借助運籌學(xué)知識解決一系列最優(yōu)化問題。

（二）數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

數(shù)據(jù)分析是建立數(shù)學(xué)模型過程中重要的一個環(huán)節(jié)，建模初期面對大量的原數(shù)據(jù)，先對采集后的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，預(yù)處理后需要對已經(jīng)規(guī)范化的數(shù)據(jù)進行數(shù)學(xué)分析，通過分析得到各屬性數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)性，相關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)屬性可以通過可視化進一步得到層次清晰的多維圖形，做出清晰的可視化圖形使模型更加立體化，許多數(shù)學(xué)軟件都提供了強大的數(shù)據(jù)處理功能和繪圖功能，熟練掌握各類數(shù)學(xué)軟件對于數(shù)學(xué)模型的建立非常有利。

MATLAB是一款在數(shù)學(xué)建模中很常用的軟件，它的程序設(shè)計和圖形處理功能可以幫助我們更直觀的建立數(shù)學(xué)模型，符號運算和數(shù)值運算的功能大大節(jié)省了計算時間。它提供了面向不同領(lǐng)域而擴展的toolbox，不僅可以進行數(shù)值和符號運算，還可以處理數(shù)據(jù)分析、通訊工程、信號處理、圖形處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。諸如系統(tǒng)辨識常用輸入信號、最小二乘參數(shù)辨識方法、極大似然參數(shù)辨識方法等，均可以在MATLAB中實現(xiàn)。[2]

還有一些提供特定數(shù)據(jù)處理功能的數(shù)學(xué)軟件，它們雖然使用范圍不夠廣泛但具有相應(yīng)的特點。美國Lingo公司研究開發(fā)的一款專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件—Lingo。Lingo軟件不僅可以求解線性規(guī)劃和二次規(guī)劃模型，還可以用來求解線性和非線性方程。Lingo可以與excel，數(shù)據(jù)庫等數(shù)據(jù)存儲軟件交換數(shù)據(jù)，使用方便，是求解最優(yōu)化模型的特定選擇。SPSS專門用于統(tǒng)計分析，可以從其他數(shù)據(jù)庫中讀入數(shù)據(jù)，導(dǎo)入數(shù)據(jù)方便快捷，不需要對原數(shù)據(jù)進行太多處理。隨著數(shù)據(jù)挖掘的逐步發(fā)展，一些技術(shù)的使用也逐步完善，數(shù)學(xué)軟件使這些技術(shù)變得簡單易操作。[3]

各類數(shù)學(xué)軟件對于建立數(shù)學(xué)模型的作用是立竿見影的，使用相應(yīng)軟件可以在完成復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型的建立過程中作為必要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)軟件的熟練應(yīng)用可以為我們省去很多的中間求解步驟，進而為我們問題的求解省去了大量的時間。

四、分析

由于模型存在誤差，且預(yù)測的跨度越大，預(yù)測的誤差可能越大。故我們可以引入強化學(xué)習(xí)的思想方法，對模型做動態(tài)訓(xùn)練，最小化每一小步的預(yù)測誤差，以最大化中長期預(yù)測的準確度。同時，還可以結(jié)合不確定理論，來縮小數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實數(shù)據(jù)的差距，增強模型的魯棒性。然后我們可以用短期預(yù)測看離當前較近的重大衛(wèi)生事件發(fā)展趨勢，用長期預(yù)測看離當前較遠的重大衛(wèi)生事件發(fā)展趨勢。采用計算仿真來做重大衛(wèi)生事件動態(tài)變化模擬，研究更貼切重大衛(wèi)生事件發(fā)展實情的模型，考慮更多現(xiàn)實不確定性因素的影響。[4]

可以看出，大學(xué)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)建模的結(jié)合解決了我們現(xiàn)實生活中很多困難抽象的問題。同時，大學(xué)數(shù)學(xué)知識中一些基礎(chǔ)的算法概念在數(shù)學(xué)建模中有很大的實踐應(yīng)用，可以說，大學(xué)數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)建模中是十分有用的。

參考文獻：

[1] 段淵，李小琴，胡幗一，毛奕岑.高等職業(yè)教育數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用研究——以廣東科技學(xué)院計算機專業(yè)為例.新課程研究，2007.5

[2]王軍鷹.數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，2019.10

[3]廖興.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，2013.4

[4]蘇保霞.新冠肺炎傳播的基本模型，2020

作者簡介：

黃磊雪（1999—），男，彝族，籍貫：貴州畢節(jié)，單位：沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

項目名稱：大學(xué)數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用的調(diào)查與研究，項目編號L（B）2019286。