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      妙用定比分點公式巧解題

      2020-09-10 07:22:44胡貴平

      胡貴平

      摘?要:有向線段的定比分點是普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》必修4知識點,妙用定比分點坐標公式解題,解法新穎,可以極大開拓思維,提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

      關(guān)鍵詞:定比分點;坐標公式;巧解

      中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2020)22-0033-03

      P1P=λPP2,λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比,當點P在線段P1P2上時,λ>0;當點P在線段P1P2或P2P1的延長線上時,λ<0.定比分點向量式OP=11+λOP1+λ1+λOP2,定比分點坐標式x=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λ(λ≠-1).定比分點公式揭示了直線上點的位置與數(shù)量變化之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,靈活應(yīng)用這個公式,可使解題過程簡潔明快,充分展現(xiàn)思維的獨創(chuàng)性.下面舉例說明它在解題中的應(yīng)用.

      一、證明不等式

      例1?(選修4-5第29頁第4題)已知a>b>c,求證1a-b+1b-c+1c-a>0.

      證明?因為a>b>c,設(shè)b=c+λa1+λ,則λ>0,

      所以1a-b+1b-c+1c-a=1a-c+λa1+λ+1c+λa1+λ-c+1c-a=(a-c)(1+λ+1λ)>0.

      例2?(選修4-5第21頁例2)如果用a kg白糖制出b kg糖溶液,則糖的質(zhì)量分數(shù)為ab.若上述溶液中再添加m kg白糖,此時糖的質(zhì)量分數(shù)增加到a+mb+m.將這個事實抽象為數(shù)學(xué)問題,并給出證明.

      解?可以把上述事實抽象成如下不等式問題:

      已知a,b,m都是正數(shù),并且a<b,則a+mb+m>ab.

      下面用定比分點給出證明.

      a+mb+m=ab+mb·11+mb,設(shè)λ=mb,在x軸上取P1(ab,0),P(a+mb+m,0),P2(1,0)點,因為a,b,m都是正數(shù),且a<b,所以λ>0,點P是點P1和點P2的內(nèi)分點,所以a+mb+m>ab.

      例3?(選修4-5第29頁第4題)設(shè)x,y為正數(shù),且x+y=1,證明(1x2-1)(1y2-1)≥9.

      證明?因為x+y=1,所以0<x<1,0<y<1.設(shè)x=λ1+λ,則y=1-x=11+λ(λ>0),

      所以(1x2-1)(1y2-1)=(1+2λ+λ2λ2-1)(λ2+2λ)=5+2λ+2λ≥5+22λ·2λ=9,當且僅當λ=1,即x=y=12時,取得等號.

      評注?若證明的不等式可變形或者構(gòu)造出a+bg(x)1+g(x)部分,可以考慮應(yīng)用定比分點公式來證明.

      二、解不等式

      例4?(2015江蘇)解不等式x+2x+3≥2.

      解?原不等式可化為在x軸上2x+3≥-x+2,在x軸上取P1(x-2,0),P(2x+3,0),P2(-x+2,0)點,則定比λ=P1PPP2=2x+3-(x-2)-x+2-(2x+3)=x+5-3x-1.當x=-5時,λ=0,原不等式等號成立;當x=-13時,λ不存在,原不等式等號成立;當x≠-5,x≠-13時,點P外分P1P2的定比λ<0,即x+5-3x-1<0,即(3x+1)(x+5)>0,所以x<-5,或x>-13.綜上,原不等式的解集為xx≤-5,或x≥-13.

      例5?解不等式1<x2-2x-1x2-2x-2<2.

      解?在x軸上取P1(1,0),P(x2-2x-1x2-2x-2,0),P2(2,0)點,則點P內(nèi)分P1P2的定比λ>0, λ=P1PPP2=x2-2x-1x2-2x-2-12-x2-2x-1x2-2x-2=1x2-2x-3,所以1x2-2x-3>0,即x2-2x-3>0,所以x<-1或x>3,故原不等式的解集為xx<-1,或x>3.

      評注?形如f(x)>m、f(x)<m,以及a<f(x)<b的不等式,都可以考慮應(yīng)用定比分點公式解決.

      三、數(shù)列

      例6?(必修5第46頁第3題)已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和,求證S6,S12-S6,S18-S12也成等差數(shù)列.

      證明?由Sn=na1+n(n-1)2d,得Snn=a1+(n-1)d2,所以Snn是等差數(shù)列.取共線三點的P1(6,S66),P(18,S1818),P2(12,S1212),設(shè)點P分P1P2的定比為λ,則18=6+12λ1+λ,S1818=S66+S1212λ1+λ.所以λ=-2,S1818=S66+S1212(-2)1-2,即S18=3S12-S6,所以S6+(S18-S12)=S6+(3S12-S6)-S12=2(S12-S6),故S6,S12-S6,S18-S12也成等差數(shù)列.

      例7?(2015重慶理)在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=().

      A.-1B.0C.1D.6

      解?數(shù)列an是等差數(shù)列,取共線三點的P1(2,4),P(6,a6),P2(4,2),設(shè)點P分P1P2的定比為λ,則6=2+4λ1+λ,a6=4+2λ1+λ.所以λ=-2,a6=0.

      評注?數(shù)列an是等差數(shù)列,則Snn也是等差數(shù)列,它們中的項都是直線上孤立的點,共線三點就可以考慮定比分點.

      四、解析幾何

      例8?(必修2第90頁第6題) 經(jīng)過點P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點,找出直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍,并說明理由.

      解?顯然直線l的傾斜角α≠90°,設(shè)直線l的方程為y=kx-1,點M是直線l與線段AB的交點,則點M內(nèi)分AB(M與B不重合)的定比λ≥0,此時M(1+2λ1+λ,-2+λ1+λ).又點M在直線l上,所以-2+λ1+λ=k(1+2λ1+λ)-1,解得λ=k+12-2k ,所以k+12-2k≥0,即-1≤k≤1.因此,傾斜角的范圍是0°≤α≤45°,或135°≤α<180°.

      例9?(必修2第89頁第5題)已知A(1,2),B(-1,0),C(3,4)三點,這三點是否在同一條直線上,為什么?

      解?設(shè)C′(3,y)是直線AB上一點,C′分AB的定比λ,則3=1-λ1+λ,y=21+λ.解得λ=-12,y=4.所以C′(3,y)和C(3,4)重合,所以三點是在同一條直線上.

      評注?直線上的三點是定比分點的典型形式.

      五、函數(shù)

      例10?(2005江蘇)函數(shù)y=log0.5(4x2-3x)的定義域為.

      解?由題意,得log0.5(4x2-3x)≥0.則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì),得0<4x2-3x≤1.

      在x軸上取P1(0,0),P(4x2-3x,0),P2(1,0)點,則點P分P1P2的定比λ=P1PPP2=4x2-3x1-(4x2-3x)=x(4x-3)-(x-1)(4x+1).當x=0時,λ=0,函數(shù)沒有意義;當x=1,x=-14時,λ不存在,函數(shù)有意義;當x≠0,x≠1,x≠-14時,點P內(nèi)分P1P2的定比λ>0,即x(4x-3)-(x-1)(4x+1)>0,即x(4x-3)(x-1)(4x+1)<0,所以-14<x<0,或34<x<1.綜上,求得函數(shù)的定義域為[-14,0)∪(34,1].

      例11?求函數(shù)y=1+cosx3-2cosx的值域.

      解?由y=1+cosx3-2cosx,得y=13+(-12)(-23cosx)1+(-23cosx).取三點的P1(13,0),P(y,0),P2(-12,0),則點P分P1P2的定比λ=-23cosx.所以λ∈-23,23.當λ=-23時,ymax=2;當λ=23時,ymin=0,故函數(shù)y=1+cosx3-2cosx的值域為0,2.

      例12?當x為何值時,y=x2-6x+10+x2+4有最小值,并求此最小值.

      解?由y=x2-6x+10+x2+4,得y=(x-3)2+1+x2+4.取三點的P1(3,1),P(x,0),P2(0,-2),問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點P,使P1P+PP2的值最小.當這三點共線時,P1P+PP2的值最小.設(shè)點P分P1P2的定比為λ,則x=3+λ·01+λ,0=1-2λ1+λ.解得x=2,λ=12.所以當x=2時,y取得最小值,ymin=22-6×2+10+22+4=32.

      評注?函數(shù)能夠化為形如y=a+bg(x)1+g(x)求值域,可以考慮用定比分點求解;形如y=x2+bx+c±x2+dx+e的函數(shù)最值,轉(zhuǎn)化成距離問題后,再用定比分點求解.

      參考文獻:

      [1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準試驗教科書( 必修)數(shù)學(xué)4[M].北京:人民教育出版社,2017.

      [責任編輯:李?璟]

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