嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制策略的數(shù)學(xué)建模

楊月嬌

摘 要：本文具體介紹了嫦娥三號(hào)在月球軟著陸軌道的設(shè)計(jì)與具體控制策略問(wèn)題，在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立了合適的數(shù)學(xué)模型，給出了嫦娥三號(hào)月球軟著陸軌道的設(shè)計(jì)和控制策略，并對(duì)其誤差和靈敏度進(jìn)行了分析。根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，得到了嫦娥三號(hào)著陸準(zhǔn)備軌道的近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小和方向。為了保證嫦娥三號(hào)能夠順利到達(dá)月球之后降落在月球表面，同時(shí)，對(duì)外太空環(huán)境下各種因素所造成的干擾能夠有效對(duì)抗。本文建立對(duì)嫦娥三號(hào)軟著陸全過(guò)程六階段的軌道參數(shù)、速度增量需求、燃料消耗、著陸精確度進(jìn)行了分階段計(jì)算和分步優(yōu)化，制定了嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制方式。在各階段分別建立了模型（5.2.1.1.1），模型（5.2.1.2.1），模型（5.2.1.6.1），模型（5.2.2.1），模型（5.2.2.6），對(duì)所需參數(shù)進(jìn)行求解，并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。建立了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)著陸軌道設(shè)計(jì)和具體控制策略方案實(shí)施了誤差和靈敏度分析。最后，在充分考慮誤差的情況下，用計(jì)算機(jī)對(duì)方案進(jìn)行初步模擬仿真，仿真結(jié)果表明，本文提出的軌道設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制策略方案是可行的。

關(guān)鍵詞：嫦娥三號(hào);軟著陸;軌道設(shè)計(jì);最優(yōu)控制策略;BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

1.建模背景

2013年12月2日1時(shí)30分，嫦娥三號(hào)，成功發(fā)射，并于12月6日到達(dá)月球軌道。長(zhǎng)三號(hào)目標(biāo)工程是實(shí)現(xiàn)月球的軟軸路探測(cè)和月球的表面巡視。月球到軟著陸，是指月球的著陸器，通過(guò)訂閱轉(zhuǎn)換在月球附近，著陸在剎車(chē)系統(tǒng)的制動(dòng)作用下，以很小的速度在月球表面垂直降落，以確保嫦娥三號(hào)內(nèi)部的實(shí)驗(yàn)設(shè)備的完好無(wú)損和航天員的安全。[1]嫦娥三號(hào)在沒(méi)有大氣環(huán)境下，不能依靠降落傘著陸，只能靠變推力發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)完成中途修正、近月制動(dòng)、動(dòng)力下降、懸停段等軟著陸任務(wù)。月球軟著陸分為2種形式：一種是將地球軌道轉(zhuǎn)移到月球上，直接實(shí)現(xiàn)軟著陸;另一種是將月球停放軌道改為靠近月球的點(diǎn)，然后實(shí)現(xiàn)軟著陸。自環(huán)月停泊軌道開(kāi)始的軟著陸可大致分為兩個(gè)部分：一部分是軌道轉(zhuǎn)移，另一部分是軌道下降。[1]如圖1所示即為第二種軟著陸形式?；袈D(zhuǎn)移軌道即嫦娥三號(hào)的著陸準(zhǔn)備軌道。在著陸準(zhǔn)備軌道上，嫦娥三號(hào)的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，安裝在嫦娥三號(hào)下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)可以產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，比沖為2940m/s，基本滿(mǎn)足調(diào)整速度的控制要求。

軌道下降部分共分為六個(gè)階段：（1）著陸準(zhǔn)備軌道的近月點(diǎn)是15KM，遠(yuǎn)月點(diǎn)是100KM，著陸點(diǎn)的位置由近月點(diǎn)在月心坐標(biāo)系的位置和軟著陸軌道形態(tài)共同決定。（2）主減速段：主減速段區(qū)間是距離月面15km到3km，嫦娥三號(hào)要在這個(gè)階段實(shí)現(xiàn)到距離月面3公里處速度降為57m/s。（3）快速調(diào)整階段：通過(guò)調(diào)整探測(cè)器姿態(tài)，做到從距離月面3km到2.4km處將水平速度減為0m/s，使主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力豎直向下，進(jìn)入下一階段。（4）粗避障階段：范圍是距離月面2.4km到100m區(qū)間，在這個(gè)階段要做到能夠避開(kāi)大的隕石坑，實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)著陸點(diǎn)上方100m處懸停，并初步確定落月地點(diǎn)。（5）精細(xì)避障段：區(qū)間是距離月面100m到30m，要求嫦娥三號(hào)懸停在距離月面100m處，對(duì)著陸點(diǎn)附近區(qū)域100m范圍內(nèi)拍攝圖像獲取三維數(shù)字高程圖。通過(guò)分析三維數(shù)字高程圖，避開(kāi)較大的隕石坑，確定最佳著陸地點(diǎn)：在著陸點(diǎn)上方30m處要實(shí)現(xiàn)水平方向速度為0m/s。（6）緩速下降階段，區(qū)間是距離月面30m到4m，控制著陸器在距離月面4m處的速度為0m/s，即實(shí)現(xiàn)在距離月面4m處相對(duì)月面靜止，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，使嫦娥三號(hào)自由落體到精確有落月點(diǎn)。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m，其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道;著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過(guò)程共分為上述6個(gè)階段，要在盡量減少軟著陸過(guò)程的燃料消耗的基礎(chǔ)上，滿(mǎn)足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)。

根據(jù)以上的基本要求，建立了相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以便于更好的解決如下問(wèn)題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。

（2）制訂嫦娥三號(hào)登月軌道和各階段的最優(yōu)控制策略。

（3）針對(duì)著陸軌道和自由控制策略進(jìn)行一系列的誤差和敏感性分析。

2.模型的假設(shè)

（1）不考慮太陽(yáng)、地球?qū)︽隙鹑?hào)衛(wèi)星的N體引力攝動(dòng)及月球的自轉(zhuǎn);

（2）將月球近似看做一個(gè)質(zhì)量均勻的球體;

（3）不考慮嫦娥三號(hào)衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整時(shí)所產(chǎn)生的燃料消耗;

（4）將嫦娥三號(hào)衛(wèi)星近似看做一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。

3.符號(hào)說(shuō)明

為了便于描述問(wèn)題，我們用一些符號(hào)來(lái)代替文中涉及的一些變量和常量，如表1所示。其他的一些變量將在文中陸續(xù)說(shuō)明。

4.問(wèn)題的分析

嫦娥三號(hào)從距離月面的高度下降到月球表面，在這一過(guò)程中，不考慮月球表面太陽(yáng)風(fēng)的影響，并且忽略月球的自轉(zhuǎn)角速度引起的科氏力的影響。由于下降時(shí)間較短，所以地球和太陽(yáng)對(duì)嫦娥三號(hào)衛(wèi)星的攝動(dòng)影響可以排除。嫦娥三號(hào)從橢圓形軌道進(jìn)入著陸準(zhǔn)備軌道，要求速度很快下降，從而才不致飛出月球。準(zhǔn)備著陸過(guò)程中，主減速階段嫦娥三號(hào)的運(yùn)動(dòng)近似為平拋運(yùn)動(dòng)，建立了平拋運(yùn)動(dòng)的模型。在快速調(diào)整階段，此階段由于飛行豎直距離較短，因此不考慮嫦娥三號(hào)消耗的燃料質(zhì)量的影響，可以認(rèn)為其滿(mǎn)足機(jī)械能守恒定理，故可根據(jù)機(jī)械能守恒定理建立相關(guān)模型。在粗避障階段和粗避障段：建立了有關(guān)位移矢量和速度的模型?？紤]到在處，嫦娥三號(hào)已經(jīng)基本處于著陸點(diǎn)的上方，因此在此處所假設(shè)的速度只存在豎直向下，在水平方面沒(méi)有分速度。因?yàn)榻德錅p速時(shí)間比較短只有垂直于月面的方向運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)，所以在確定著陸點(diǎn)位置和著陸點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮燃料最有情況下推力最大，方向自由的方法，即取建立主減速段動(dòng)力學(xué)模型。

5.模型建立

5.1 問(wèn)題（1）的模型

5.1.1 嫦娥三號(hào)著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置

根據(jù)材料分析得，建立以月球赤道平面為xoy平面，月心為坐標(biāo)原點(diǎn)o，ox為月心與零度經(jīng)線(xiàn)和零度緯線(xiàn)的交點(diǎn)的連線(xiàn)，oz為月球的極軸。如圖2所示：

5.1.2 嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度大小和方向

由問(wèn)題的分析可知，嫦娥三號(hào)遠(yuǎn)月點(diǎn)進(jìn)入著陸準(zhǔn)備軌道，到達(dá)近月點(diǎn)時(shí)開(kāi)始軌道下降。將嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)動(dòng)近似看做其在月心引力下圍繞月亮進(jìn)行的環(huán)月運(yùn)動(dòng)。因此，嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)動(dòng)遵循萬(wàn)有引力定律，設(shè)嫦娥三號(hào)在遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度為，在近月點(diǎn)的速度為，由萬(wàn)有引力公式

5.2 問(wèn)題（2）的模型

5.2.1 嫦娥三號(hào)在六個(gè)階段的最優(yōu)控制策略模型

本節(jié)通過(guò)分析嫦娥三號(hào)在各階段的參數(shù)及約束條件，對(duì)嫦娥三號(hào)在各階段的發(fā)動(dòng)機(jī)控制策略進(jìn)行了分析，并在各階段單獨(dú)建立數(shù)學(xué)模型，求取最優(yōu)解來(lái)獲得最優(yōu)控制策略。

5.2.1.1 第一階段：著陸準(zhǔn)備階段

嫦娥三號(hào)從遠(yuǎn)月點(diǎn)到近月點(diǎn)過(guò)程中圍繞月球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足開(kāi)普勒第三定律：

其中，表示橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，表示周期，為常量。在此過(guò)程中，嫦娥三號(hào)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，因此不考慮燃料的消耗，但是對(duì)于速度的優(yōu)化將會(huì)影響著陸點(diǎn)的位置。

5.2.1.2 第二階段：主減速階段

距離月面到是主減速階段的區(qū)間，在該階段需要實(shí)現(xiàn)到距離月面3公里處嫦娥三號(hào)的速度降到57m/s。也可看做文獻(xiàn)[2]中的動(dòng)力下降段?？梢赃_(dá)到制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)可以抵消近月點(diǎn)較大的初始速度的目的。因此，制動(dòng)段應(yīng)以燃料優(yōu)化為首要目標(biāo)。[2]

嫦娥三號(hào)軟著陸軌跡近似為拋物線(xiàn)軌跡，根據(jù)橫向飛行的水平距離小于月球半徑，將整個(gè)主減速度分為水平方向和豎直方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，所以我們建立模型（5.2.1.1.1）如下：

其中ax，ay分別表示發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的推力的水平加速度和豎直加速度，Tx，Ty分別表示發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的水平推力和豎直推力，s表示嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在主減速階段的水平位移，t表示在此階段飛行的時(shí)間。

然后我們?cè)谥鳒p速段，以燃料優(yōu)化為主要目標(biāo)建立優(yōu)化模型，設(shè)從t1到t2時(shí)刻，嫦娥三號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)持續(xù)工作，那么嫦娥三號(hào)的燃料消耗通過(guò)齊奧爾科夫斯基公式[3]：

5.2.1.3 第三階段：快速調(diào)整段

快速調(diào)整階段，主要是將探測(cè)器的姿態(tài)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，從距離月面3km—2.4km處水平速度將逐漸減至為0。主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力豎直向下之后便進(jìn)入了粗避障階段。此階段由于飛行豎直距離較短，因此不考慮嫦娥三號(hào)消耗的燃料質(zhì)量的影響，可以認(rèn)為其滿(mǎn)足機(jī)械能守恒定理，故可根據(jù)機(jī)械能守恒定理建立以下模型（5.2.1.2.1）：

5.2.1.4 第四階段：粗避障段

粗避障段，嫦娥三號(hào)在距離月面2.4km處對(duì)正下方月面2300m×2300m的范圍進(jìn)行拍照，獲得數(shù)字高程如圖3所示，并嫦娥三號(hào)在月面的垂直投影位于預(yù)定著陸區(qū)域的中心位置。

利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB7.8.0進(jìn)行數(shù)據(jù)導(dǎo)出及等高線(xiàn)圖繪制，是確定嫦娥三號(hào)著陸位置確定及軌道設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

5.2.1.5 第五階段：精避障段

精細(xì)避障段的區(qū)間是距離月面100m到30m。要求嫦娥三號(hào)懸停在距離月面100m處，對(duì)著陸點(diǎn)附近區(qū)域100m范圍內(nèi)拍攝圖像，并獲得三維數(shù)字高程圖。圖4是在距離月面100m處懸停拍攝到的數(shù)字高程圖。

當(dāng)嫦娥三號(hào)到達(dá)距離月球表面時(shí)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)軟件matlab7.8.0的使用，得到的高程圖對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為等高線(xiàn)圖形，這樣我們能更清晰的看到準(zhǔn)備著陸區(qū)域的地形，更方便選擇著陸區(qū)域，是找到最優(yōu)控制策略的基礎(chǔ)。

5.2.1.6 第六階段：緩速下降階段

第五階段飛行結(jié)束后，進(jìn)入第六階段，區(qū)間是距離月面30m到4m。將著陸器控制在距離月面4m處的速度為0是該階段的主要任務(wù)。其實(shí)就是實(shí)現(xiàn)距離月面4m處相對(duì)于月面為靜止?fàn)顟B(tài)。之后將發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，使得嫦娥三號(hào)做自由落體運(yùn)動(dòng)精確地到達(dá)落月點(diǎn)。在剛做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，嫦娥三號(hào)的下降初始速度很小，并且下降速度的方向與當(dāng)?shù)氐乃矫娼咏诖怪?。因此，嫦娥三?hào)在第六階段的的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化在平面月球直角坐標(biāo)系中。[2]如圖5所示：

圖2中，點(diǎn)為近月點(diǎn)，沿當(dāng)?shù)厮矫嬷赶蛳陆捣较?，沿徑向指向嫦娥三?hào)。下降軌跡位于所在的縱向平面內(nèi)。如圖，為下降速度與垂直方向的夾角，滿(mǎn)足重力轉(zhuǎn)彎的情況。

根據(jù)上圖，以及這樣的制動(dòng)推力鹽式討論最優(yōu)開(kāi)關(guān)的控制。[4]在下降速度與垂直下降速度兩個(gè)方向可建立如下動(dòng)力學(xué)模型（5.2.1.6.1）：

5.2.2 嫦娥三號(hào)的軌道設(shè)計(jì)模型

當(dāng)嫦娥三號(hào)遠(yuǎn)動(dòng)到近月點(diǎn)時(shí)，月球?qū)λ囊h(yuǎn)大于地球以及其他星球攝動(dòng)的影響，月球近似視為球形，這樣嫦娥三號(hào)和月球就可以看作一個(gè)二體來(lái)研究。[5]根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得模型（5.2.2.1）：

6.模型求解

6.1 問(wèn)題（1）模型求解

6.1.1 嫦娥三號(hào)著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置求解

經(jīng)MATLAB7.8.0編程求解得：經(jīng)度為21.9W，維度為30.4N，離月球表面的高度為13900m。

6.1.2 嫦娥在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度大小和方向求解

根據(jù)萬(wàn)有引力公式及嫦娥三號(hào)在遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)的萬(wàn)有引力恒等式（5.1.2.1）和（5.1.2.2），將已知數(shù)據(jù)及參數(shù)代入上式中，即可推導(dǎo)并求解得到：

由此求解得到嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度大小，并且兩速度的方向都沿切線(xiàn)方向。

6.2 問(wèn)題（2）的模型求解

6.2.1 嫦娥三號(hào)在六個(gè)階段的最優(yōu)控制策略模型求解

本節(jié)的模型本文為分階段建模，所以在求解時(shí)利用直接推導(dǎo)數(shù)學(xué)軟件Mathematica及Matlab分步求解相應(yīng)模型。由此得到相應(yīng)參數(shù)及最優(yōu)控制策略的方案。

6.2.1.1 模型（5.2.1.1.1）的求解

6.2.1.3 粗避障段模型求解

利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB7.8.0對(duì)圖3進(jìn)行編程計(jì)算得到圖7，然后在文件菜單的import data，導(dǎo)出數(shù)據(jù)后，再選擇所有數(shù)據(jù)，在菜單工具欄中，選擇“plot selection”，畫(huà)出等高線(xiàn)圖8。

通過(guò)高程圖，用MATLAB7.8.0可以畫(huà)出如上的水平面上的等高線(xiàn)圖像，可以知道等高線(xiàn)越密集處，地形越陡峭。相反，如果等高線(xiàn)越稀疏，則坡度越舒緩。圖中由不同的顏色表示，顏色不同表示了不同的坡度情況，顏色稀疏的地方容易形成低洼，或盆地，不適合嫦娥三號(hào)的著陸，而顏色較密集的地方，說(shuō)明坡度較陡，嫦娥三號(hào)著陸點(diǎn)應(yīng)該避開(kāi)這些區(qū)域，在顏色集中，分布均勻的地方，說(shuō)明它們?cè)谕粋€(gè)高度，為了著陸的安全考慮，這些位置更適合嫦娥三號(hào)的安全著陸。

6.2.1.4 精避障段模型求解

如6.2.1.3小節(jié)，利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB7.8.0對(duì)圖4進(jìn)行編程計(jì)算得到圖9，然后在文件菜單的import data，導(dǎo)出數(shù)據(jù)后，再選擇所有數(shù)據(jù)，在菜單工具欄中，選擇“plot selection”，畫(huà)出等高線(xiàn)圖10。

當(dāng)嫦娥三號(hào)到達(dá)距離月球表面時(shí)，經(jīng)過(guò)MATLAB7.8.0的編程，得到的高程圖對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為等高線(xiàn)圖形，這樣我們能看到更清晰的準(zhǔn)備著陸區(qū)域的地形，同樣地，應(yīng)避免不同顏色交織的地方，因?yàn)檫@些地方地形較為陡峭，不適合著陸，顏色相同多的地方為較好的著陸點(diǎn)，可以看出圖中的白色和淺綠為較好的著陸點(diǎn)。

7.模型的檢驗(yàn)與結(jié)果分析

在研究軟著陸點(diǎn)的動(dòng)力下降全程，實(shí)現(xiàn)神經(jīng)元制導(dǎo)控制，我們用一種改進(jìn)的BP算法去訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)路，構(gòu)成一個(gè)閉環(huán)的軟著陸控制系統(tǒng)，使著陸器按照一條優(yōu)化的軌跡實(shí)現(xiàn)軟著陸。[7]通過(guò)仿真結(jié)構(gòu)分析，和探測(cè)器軟著陸的初始參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，來(lái)檢驗(yàn)結(jié)果的正確性，對(duì)軟著陸過(guò)程可能出現(xiàn)的某些干擾因素進(jìn)行預(yù)防。因此，軟著陸對(duì)實(shí)際安全著陸有很高的應(yīng)用價(jià)值。

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