華雪俠

(咸陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000)

對(duì)于電磁波在介質(zhì)中的傳播，很多專家學(xué)者都進(jìn)行了研究和討論，給出了靜止各向異性介質(zhì)的描述[1-4]。一些研究根據(jù)Lorentz變換，系統(tǒng)討論了運(yùn)動(dòng)各向同性均勻介質(zhì)的電磁波傳播特征[5-7]。另外一些文獻(xiàn)給出了單軸各向異性介質(zhì)的狀態(tài)方程的相關(guān)變換式[8-9]。但大多數(shù)文獻(xiàn)都只對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)下的各向異性介質(zhì)進(jìn)行探討，對(duì)電磁波在運(yùn)動(dòng)各向異性介質(zhì)中傳輸?shù)挠懻撦^少。事實(shí)上介質(zhì)往往是各向異性且運(yùn)動(dòng)的，因此分析電磁波在運(yùn)動(dòng)各向異性介質(zhì)中的傳播特性是很有必要的。本文在上述文獻(xiàn)整理工作基礎(chǔ)上，利用Lorentz變換矩陣，詳細(xì)推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下的單軸各向異性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，并討論了電磁波在其中的傳輸特征。

1 運(yùn)動(dòng)單軸各向異性介質(zhì)的本構(gòu)方程

1.1 單軸各向異性介質(zhì)描述

各向異性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系可簡(jiǎn)寫為

(1)

考慮單軸各向異性介質(zhì)，則在直角坐標(biāo)系中，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為對(duì)角張量，則媒質(zhì)參數(shù)為

(2)

1.2 運(yùn)動(dòng)單軸各向異性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

s系中靜止介質(zhì)的狀態(tài)方程為

(3)

則相對(duì)s′系靜止的介質(zhì)的狀態(tài)方程為

(4)

利用洛倫茲變換，s系中電磁場(chǎng)變換到s′系中為

(5)

(6)

根據(jù)上述公式，可解得運(yùn)動(dòng)各向異性介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系：

(7)

式中：

(8)

當(dāng)兩坐標(biāo)系相對(duì)靜止時(shí)，則ν=0，β=0，式(8)則變?yōu)楦飨蛲越橘|(zhì)，即ε′=ε，μ′=μ。

2 波在運(yùn)動(dòng)單軸介質(zhì)中的傳播特征

2.1 運(yùn)動(dòng)單軸各向異性介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系的DB表示

由狀態(tài)方程(5)～方程(7)解得

(9)

設(shè)s′系相對(duì)于s系以v速度沿z軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，則對(duì)于運(yùn)動(dòng)單軸各向異性介質(zhì)有

(10)

則單軸各向異性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系的DB表示為

(11)

其中的本構(gòu)參數(shù)為

(12)

由式(2)可知，速度v沿z軸方向，則矩陣元素取決于速度，并且在靜止?fàn)顟B(tài)下，運(yùn)動(dòng)介質(zhì)為單軸介質(zhì)的時(shí)候，本構(gòu)關(guān)系還是取于上式相應(yīng)的狀態(tài)方程。

2.2 單軸各向異性介質(zhì)的波

在各向異性介質(zhì)中，以D，B表示E，H，即

(13)

用方程形式表示為

(14)

對(duì)于靜止單軸介質(zhì)：

(15)

對(duì)于運(yùn)動(dòng)單軸介質(zhì)：

(16)

將運(yùn)動(dòng)單軸介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系CDB轉(zhuǎn)到KDB系統(tǒng)中，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程的本構(gòu)參數(shù)變?yōu)?/p>

(17)

將式(17)代入式(16)中，則可以得到以下方程：

(18)

由直角坐標(biāo)系系與KDB系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得：

(19)

由此得到傳播參數(shù):

Ⅰ型波：

(20)

(21)

(22)

(23)

Ⅱ型波：

(24)

(25)

(26)

(27)

式中:±號(hào)表示方向，“+”表示與介質(zhì)傳播的方向相同，“-”表示則與介質(zhì)的傳播方向相反。

即對(duì)運(yùn)動(dòng)單軸介質(zhì)V=zv時(shí)，有

(28)

(29)

3 結(jié)論與分析

在洛侖茲變換的基礎(chǔ)上，利用介質(zhì)的狀態(tài)方程，各向異性介質(zhì)的性質(zhì)，以及KDB系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，詳細(xì)地推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)單軸各向異性介質(zhì)的本構(gòu)方程以及傳播中的參數(shù)。下面依據(jù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向分為三種情況討論：

(1)若介質(zhì)速度在x軸方向傳播，則kz=0，k矢量為

(30)

(31)

式中：±號(hào)表示介質(zhì)沿x軸正方向和負(fù)方向傳播。當(dāng)β從0增到1時(shí)，k從anω/c或者bnω/c增加到無(wú)窮大。從而，當(dāng)介質(zhì)速度接近于真空中的光速時(shí)，沿z軸方向速度為0。

(2)若介質(zhì)速度在y軸方向傳播，則kz=0，k矢量為

(32)

(33)

當(dāng)β從0增到1時(shí)，k從anω/c或者bnω/c增加到無(wú)窮大。從而，當(dāng)介質(zhì)速度接近于真空中的光速時(shí)，沿z軸方向速度為0。

(3)若介質(zhì)沿z軸傳播，則kx=ky=0，這時(shí)候兩種波轉(zhuǎn)換為一種波，k則變成為

(34)

式中：對(duì)應(yīng)的介質(zhì)沿z軸正方向傳播。當(dāng)β從0增到1時(shí)，k從nω/c減為ω/c，對(duì)應(yīng)的波速?gòu)腸/n增到c。

(35)

式中：對(duì)應(yīng)的介質(zhì)沿z軸負(fù)方向傳播。當(dāng)β從0增到1/n時(shí)，k從-nω/c減為-∞，對(duì)應(yīng)的波速?gòu)?c/n增到0。