雒曉雅 吳帝春

[摘? 要] 文章以2017年全國2卷第20題第（2）問為載體，以幾何畫板為探究工具，展現(xiàn)了思考此題的思維過程，旨在從幾何角度尋求該定點(diǎn)的位置，在探究過程中意外找到了高等幾何背景下極點(diǎn)極線的“配極原則”與此題的聯(lián)系.

[關(guān)鍵詞] 幾何角度;極點(diǎn)極線;配極原則

圓錐曲線中極點(diǎn)極線的定義

已知圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0），則稱點(diǎn)P（x0，y0）和直線l：Ax0x+Cy0y+D（x0+x）+E（y0+y）+F=0是圓錐曲線C的一對(duì)極點(diǎn)極線.

引例：（2017年全國2卷（理），20題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：■+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足■=■■.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程;

（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且■·■=1，證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

由（1）知，點(diǎn)P在圓x2+y2=2上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q在直線x=-3上，即已知點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-3，且滿足■·■=1，則一個(gè)點(diǎn)P決定一個(gè)點(diǎn)Q的位置，即決定點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，由此決定了垂線l的位置. 觀察幾何畫板動(dòng)態(tài)的過程，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q隨之運(yùn)動(dòng)，直線l隨之運(yùn)動(dòng)，但在運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)直線l恒過一定點(diǎn). 通過這樣的分析，可知，決定定點(diǎn)位置的要素有：圓、直線x=-3及向量數(shù)量積■·■=1，因此，如果改變這些值的大小，盡管會(huì)改變點(diǎn)的位置，但很可能不會(huì)改變直線l恒過定點(diǎn)的事實(shí). 本文懷揣著這樣的猜想，旨在探尋該定點(diǎn)的幾何意義.

首先，若要從幾何角度考慮，需要考察數(shù)量積■·■=1的幾何意義，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，■為定值■，因此“點(diǎn)Q滿足■·■=1”可以等價(jià)表述為“點(diǎn)Q滿足■在■方向上的投影為■”，因此，過點(diǎn)Q作直線OP的垂線，設(shè)垂足為P′，滿足OP′=■OP，在這里，改變■·■的值，將影響點(diǎn)P′的位置，（例如，當(dāng)■·■=-1時(shí)，P′在直線OP上，且滿足■=■■;當(dāng)■·■=0時(shí)，P′和點(diǎn)P重合），無論數(shù)量積為何值，點(diǎn)P′的軌跡為圓，圓心O2為（O2與O重合），于是點(diǎn)Q為“圓O2在點(diǎn)P′處的切線與直線x=-3的交點(diǎn)”.

要尋找?guī)缀我饬x，就得脫離直角坐標(biāo)系，來觀察這個(gè)動(dòng)態(tài)過程，不妨繞過點(diǎn)P，從P′點(diǎn)出發(fā)，有如圖3所示的幾何問題：

點(diǎn)P′為圓O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P′作圓O的切線，交定直線m于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P′作直線OQ的垂線，記作l，證明：直線l恒過一定點(diǎn).

顯然，對(duì)于定圓來說，直線m的位置影響著該定點(diǎn)的位置，于是筆者開始探索直線m的位置與待求定點(diǎn)的關(guān)系.

不妨先按照特殊情況來研究，當(dāng)定直線m與圓O相切時(shí)，如圖4所示，顯然能夠得出動(dòng)直線l恒過定點(diǎn)，該定點(diǎn)為定直線m與圓O的切點(diǎn).

而借助幾何畫板，發(fā)現(xiàn)當(dāng)定直線m與圓O相交時(shí)，待求定點(diǎn)在圓外;當(dāng)定直線m與圓O相離時(shí)，待求定點(diǎn)在圓內(nèi)，這不禁讓人聯(lián)想到極點(diǎn)極線的配極原則.于是大膽猜想，待求的定點(diǎn)即為直線m在圓O上所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn).

證明：如圖4，5，6所示，設(shè)直線m所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為M，只需證明在三種情形下，均有P′M⊥OQ即可.

此時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)自己繞了很大的一個(gè)圈子，無論直線m與圓O的位置關(guān)系如何，題意中“過點(diǎn)P′作直線OQ的垂線”，即意味著過點(diǎn)P′作點(diǎn)Q對(duì)圓O的極線，根據(jù)配極原則，若點(diǎn)Q恒在直線m上，則點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的極線恒過定點(diǎn)，記為M′，并且該定點(diǎn)M′即為直線m所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn).

結(jié)論：綜合以上分析，數(shù)量積■·■影響著圓O2的半徑，或者說點(diǎn)P′的位置;待求定點(diǎn)M′即為直線m在圓O2上所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn).

利用這道題目的數(shù)據(jù)來解釋以上原理，由于■·■=1，可構(gòu)造圓心在原點(diǎn)O，半徑為■的圓，作圓O在點(diǎn)P′處的切線與直線x=-3的交點(diǎn)，記為點(diǎn)Q. 根據(jù)極點(diǎn)極線的定義，“過點(diǎn)P′作OQ的垂線”即為“過點(diǎn)P′作點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的極線”. 由于點(diǎn)Q恒在直線x=-3上，則它所對(duì)應(yīng)的極線恒過定點(diǎn)，而題意中要求的是“過點(diǎn)P作OQ的垂線”，即“過點(diǎn)P作點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)極線的平行線. 由于極線恒過定點(diǎn)，那么它的平行線也恒過另一個(gè)定點(diǎn).”

接下來考慮兩個(gè)定點(diǎn)之間的位置關(guān)系：

我們來考慮下面幾何模型：當(dāng)直線l1恒過定點(diǎn)1（M′）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P′（或點(diǎn)P）繞著圓心運(yùn)動(dòng)，l1的平行線l2必然恒過定點(diǎn)M，且滿足定點(diǎn)1（M′）、定點(diǎn)2（M）及圓心三點(diǎn)共線，并有比例關(guān)系■=■.

現(xiàn)在根據(jù)上面的分析，來敘述一下本題中第（2）問定點(diǎn)（-1，0）的產(chǎn)生過程：在此題中，點(diǎn)P為圓x2+y2=2上任一點(diǎn)，由于滿足■·■=1，導(dǎo)致垂足點(diǎn)P′在圓x2+y2=■上運(yùn)動(dòng)，而直線x=-3關(guān)于圓x2+y2=■的極點(diǎn)為-■，0，即為定點(diǎn)1（M′）. 由于■=■，可推出定點(diǎn)2（M）坐標(biāo)為（-1，0）.

通過以上分析，了解了題意中各個(gè)條件之間的關(guān)系，筆者有了以下幾道改編題供大家思考：

（1）設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-1上，且■·■=0，證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l恒過定點(diǎn).

（2）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線l，作點(diǎn)P處的切線交直線l于點(diǎn)Q，問：是否存在定直線，使得點(diǎn)Q在該直線上，若存在，請(qǐng)求出直線方程;若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線l，點(diǎn)Q在垂線l上，且滿足■·■=1，證明：點(diǎn)Q恒在直線x=-3上.