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      “一題一課”精雕細琢,反思經(jīng)驗水到渠成

      2020-09-26 11:15:30陶友根段小龍胡健
      數(shù)學教學通訊·高中版 2020年4期
      關鍵詞:一題一課教學設計

      陶友根 段小龍 胡健

      [摘? 要] “一題一課”能通過一個題目的深入研究,完成一節(jié)課的教學任務,達成多維教學目標,讓解題教學事半功倍. 針對解析幾何的特點,在關注課堂生成的前提下,可采取相應的“一題一課”教學設計策略,促進學生形成題后反思活動的經(jīng)驗:尋“一題多解”,形成數(shù)學語言翻譯經(jīng)驗;找表層規(guī)律,形成題目元素推廣經(jīng)驗;查前人成果,形成題目背景探源經(jīng)驗;探拓展應用,形成知識載體推廣經(jīng)驗;究“多題一解”,形成問題模型梳理經(jīng)驗.

      [關鍵詞] 一題一課;反思經(jīng)驗;教學設計

      “一題一課”,就是教師通過對一道題或一個材料的深入研究,挖掘其中的學習線索與數(shù)學本質,基于學情,科學、合理、有序地組織學生進行相關的數(shù)學探索活動,從而完成一節(jié)課的教學任務,以此達成多維目標的過程. “一題一課”的問題應由淺入深,有層次性、開放性、廣延性,讓學生在開放的探究過程和結果中思維得到不同的發(fā)展[1].

      隨著課改的推進,高考命題已經(jīng)由能力立意向核心素養(yǎng)導向轉變,怎樣提升解題教學的效率,促進學生形成解題后的反思活動經(jīng)驗,發(fā)展學生素養(yǎng)呢?“一題一課”的教學設計以一個題目為出發(fā)點,讓學生變中求進、舉一反三,定能事半功倍. 本文以2019年成都市高三二診理科數(shù)學第16題為例,基于幫助學生形成反思活動經(jīng)驗,探索解析幾何的“一題一課”教學設計策略.

      原題呈現(xiàn):已知F為拋物線C:x2=4y的焦點,過點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A,B,拋物線C在A,B兩點處的切線分別是l1,l2,且l1,l2相交于點P,則PF+■的最小值為____________. (以下簡稱“本題”)

      尋“一題多解”,形成數(shù)學語言翻譯經(jīng)驗

      破題的前提是理解題目,波利亞認為理解題目分為“熟悉題目”和“深入理解題目”,就是將試題的表述符號化,即翻譯題目,直譯或意譯. 直譯就是直接將文字語言翻譯為符號語言,意譯是深度翻譯,可能需要從多角度、多形式去翻譯,比如數(shù)的方面和形的方面,數(shù)或形內部不同切入點等. 通過探尋“一題多解”,并比較其優(yōu)劣,進而總結如何優(yōu)化數(shù)學語言翻譯方式,以便得到更理想的解法. 在這個過程中,通過多角度的翻譯切入,提升學生解題活動的經(jīng)驗,尤其是數(shù)學語言翻譯經(jīng)驗.

      本題分析1:直線l過點F可設為y=kx+1;直線l與拋物線C相交于不同的兩點A,B,可用直線l與拋物線方程聯(lián)立,A,B點坐標設而不求;在A,B點處的切線斜率可用求導獲得,從而寫出切線方程,求出切線交點P的坐標;得到PF,AB的關系,轉化為函數(shù)最值問題處理.具體解析如下:

      由題可設l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線l與拋物線的方程x2=4y,y=kx+1,可得x2-4kx-4=0.

      由韋達定理有x1+x2=4k,x1x2=-4,所以AB=■x1-x2=■·■=4(k2+1).

      拋物線C:x2=4y,即y=■x2,所以y′=■x,所以切線l1,l2的方程分別為y=■x-■,y=■x-■.

      聯(lián)立以上兩個方程,解得點P■,■,即P(2k,-1).

      所以PF=■=2■=■,PF+■=PF+■.

      設f(x)=x+■,f ′(x)=1-■,當x=4時, f(x)有最小值6.

      所以當PF=4時,PF+■的最小值為6.

      本題分析2:直線l過點F,還可用直線的參數(shù)方程,設為x=tcosα,y=1+tsinα(α為傾斜角,t為參數(shù)),用參數(shù)的幾何意義求AB.(解析過程略)

      本題分析3:切線方程,也可以假設切線,與拋物線方程聯(lián)立消去y,用Δ=0解出斜率,從而求解. (解析過程略)

      本題分析4:得到PF+■=PF+■以后,也可以配湊為■+■+■≥3■=6. (PF=4時等號成立)(解析過程略)

      通過對試題表述的多向翻譯,使學生獲得了同一問題的多個切入點,也能比較不同處理方式在計算繁雜程度的區(qū)別,優(yōu)劣緣由的探索之間感受選擇的依據(jù),為后續(xù)優(yōu)化算法積累經(jīng)驗.

      覓表層規(guī)律,形成題目元素推廣經(jīng)驗

      試題總是由多種元素構成的,解析幾何中主要有點、線、曲線等,將特殊元素改為另外的特殊元素,或將元素一般化,是常見的題目變式方式,這有利于尋找相同載體下的淺層規(guī)律,同時因為這種變式通常對解法的影響較小,也能進一步強化通性通法的鞏固. 通過元素推廣研究,先猜后證,或成功或失敗,讓學生感受推廣的一般方法,形成基本活動經(jīng)驗.

      本題中,如果將定點F(0,1)一般化,變?yōu)镸(0,m)(m>0),則直線l與拋物線的方程聯(lián)立x2=4y,y=kx+m,可得x2-4kx-4m=0,所以切線的交點P■,■,即P(2k,-m). 我們發(fā)現(xiàn),點P的縱坐標與點M的縱坐標互為相反數(shù),同時也說明不管k如何變化,點P的軌跡是直線y=-m.

      如果將定點M(0,m)再一般化,變?yōu)閽佄锞€內的一點S(s,m),則直線l與拋物線的方程聯(lián)立x2=4y,y=k(x-s)+m,可得x2-4kx+4ks-4m=0,所以切線的交點P■,■,即P(2k,ks-m). 消去參數(shù)k,得點P的軌跡方程為y=■x-m.

      如果我們把拋物線一般化為x2=2py(p>0),拋物線內的一定點S(s,m),則直線l與拋物線的方程聯(lián)立x2=2py,y=k(x-s)+m,可得x2-2pkx+2p(ks-m)=0,所以切線的交點P■,■,即Ppk,■.消去參數(shù)k,得點P的軌跡方程為y=■x-■m.

      由此,我們得到一個一般規(guī)律:過拋物線x2=2py(p>0)內的定點S(s,m)的直線與拋物線交于兩點,拋物線在該兩點處的切線相交,且交點在定直線y=■x-■m上.

      本題的元素一般化還可以繼續(xù),在此不贅述. 這個將點和拋物線一般化的研究過程. 研究方法基本沒有改變,卻為學生自主學習和探索提供了很好的模板,也讓學生看到規(guī)律的探尋并非遙不可及,而規(guī)律指引下的后續(xù)解題將更加輕松.

      查前人成果,形成題目背景探源經(jīng)驗

      解析幾何作為數(shù)學重要的分支,自創(chuàng)立起就吸引了大量優(yōu)秀的人前仆后繼地參與研究,早已碩果累累. 在“課標”把“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”列入基本理念后,命題者更是經(jīng)常依托數(shù)學史料,以著名問題、著名定理、著名公式或著名圖形等為切入點,融知識、方法、思想、素養(yǎng)于一體,命制出一些富有人文色彩的試題.

      欣賞試題,廣泛挖掘試題的深厚背景,一方面可以學習和借鑒前人的研究成果,重走研究之路可以讓學生收獲研究的經(jīng)驗,直接吸收成果可以讓學生解小題的速度更快,解大題的方向更明確;另一方面,學生能真實感受到前人研究的豐碩成果,有利于滲透數(shù)學文化,播撒數(shù)學研究的種子.

      本題的背景是阿基米德三角形,阿基米德三角形的性質列舉(性質眾多,只摘錄一二):拋物線x2=2py(p>0)上不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),以A,B兩點為切點的切線PA,PB相交于點P,稱弦AB為阿基米德△PAB的底邊[2].

      定理:若直線AB過拋物線內一定點C(xC,yC),則另一頂點P的軌跡為一條直線,方程為xCx-p(y+yC)=0. 特別地,當C在y軸上時,即直線AB過拋物線內一定點C(0,m)(m>0),那么:(1)另一頂點P的軌跡方程為y=-m;(2)kAP·kBP=-■(定值).

      再特殊化,直線AB過拋物線的焦點F0,■,那么:(1)另一頂點P的軌跡方程為y=-■,即準線;(2)kAP·kBP=-1,即PA⊥PB;(3)PF⊥AB;(4)△PAB的面積的最小值為p2;(5)AP與x軸交于點C,BP與x軸交于點D,xC=■,xD=■.

      基于阿基米德三角形的性質PF⊥AB,于是本題可以有以下解法:

      由阿基米德三角形的性質可得PA⊥PB,PF⊥AB.

      設AF=m,BF=n,則AB=m+n,由射影定理得PF2=mn.

      由結論■+■=■,即■+■=■=1,所以m+n=mn,所以PF+■=■+■≥3■=6.

      追溯題目背景,挖掘背景的豐富內涵,讓學生更好地回答問題“你知道一道與它有關的題目嗎?你知道一條可能有用的定理嗎?”[3]從而迅速地找到解題方案. 通過背景的研究,解決以此為背景的多個關聯(lián)題目,從而實現(xiàn)以點帶面解決“問題串”;通過共同參與的探源活動,為學生自主活動示范,促進學生形成探源活動經(jīng)驗.

      探拓展應用,形成知識載體推廣經(jīng)驗

      橢圓、雙曲線、拋物線被稱為圓錐曲線,它們與圓有著千絲萬縷的聯(lián)系,更高層面它們同屬于二次曲線,因此在一種曲線中承載的知識和方法,很可能在另外的曲線中也會有. 將題目載體(主要曲線)平行遷移,如拋物線變?yōu)闄E圓、圓變?yōu)闄E圓等,讓知識和方法得到拓展應用,利于學生知識和方法的體系化、深度化,同時在這一過程中,形成知識載體的推廣經(jīng)驗.

      本題可將載體拋物線換為橢圓,變式為:已知F為橢圓C:■+y2=1的右焦點,過點F的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A,B,橢圓C在A,B兩點處的切線分別是l1,l2,且l1,l2相交于點P,求點P的軌跡方程.

      略解如下:

      設A(x1,y1),B(x2,y2),則橢圓C在A,B處的切線方程為l1:■+yy1=1,l2:■+yy2=1,兩式聯(lián)立,得x=■,即xP=■.

      當直線l與y軸不垂直時,設l的方程為x=ty+1,則x1=ty1+1,x2=ty2+1,所以x2y1-x1y2=(ty2+1)y1-(ty1+1)y2=y1-y2,故xP=2,yP=■1-■xP=-t,所以點P的軌跡方程為x=2.

      當直線l⊥y軸時,橢圓C在A,B兩點處的切線平行,不符合題意.

      綜上,點P的軌跡方程為x=2.

      載體由拋物線換成橢圓,P的軌跡仍然為直線,學生自然產生了疑問,是不是圓錐曲線(甚至二次曲線)都有這樣的特點?于是引發(fā)進一步探究.

      究“多題一解”,形成問題模型梳理經(jīng)驗

      問題千變萬化,但萬變不離其宗,將問題提煉出模型,解法固定化(相對),有利于學生充分利用轉化與化歸思想,將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題,將多種載體、多種表述去偽存真,九九歸一實現(xiàn)“多題一解”,提升學生解決數(shù)學問題的能力,感受反思提煉帶來的巨大收獲.

      本題可提煉出“雙切線切點弦”模型,從點P0(x0,y0)引二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的兩條切線,所得切點弦(過兩個切點的直線)有如下結論:

      (1)直線方程為:Axx0+B■+Cy0y+D■+E■+F=0. 以橢圓為例,已知橢圓C:■+■=1(a>b>0),經(jīng)過橢圓C內定點M(m,n)的直線l與橢圓C交于A,B兩點,且橢圓C在A,B兩點處的切線分別為l1,l2,若l1與l2交于點P,則點P的軌跡方程為■+■=1. 證明略. 應用于本題中,A=1,B=C=D=F=0,E=-4,設P0(x0,y0),得切點弦方程為x0x-2y-2y0=0,因切點弦過F(0,1),所以y0=-1.

      (2)當點P在直線上運動時,切點弦過定點;當切點弦過定點時,點P的軌跡是一條直線(或一部分). 此內容深入探究,便是射影幾何中圓錐曲線的極點極線,本文不做研究.

      問題模型的建立,讓學生最終擺脫了元素、載體的束縛,得到了問題的一般解決辦法,雖說探究過程中產生的結論不見得能直接使用,但這種開放性探究的經(jīng)驗收獲是滿滿的,后續(xù)的解題活動必能舉一反三.

      綜上所述,為了幫助學生形成題后反思活動的經(jīng)驗,我們應多開展“一題一課”教學活動,對于解析幾何的“一題一課”教學設計,可以采用以下基本模式:尋“一題多解”——找表層規(guī)律——查前人成果——探拓展應用——究“多題一解”. 但要注意的是,不是每個題目都有這些步驟,實際操作中要關注課堂生成,不可生搬硬套. 本文著力闡述“一題一課”的設計策略,借鑒了一些網(wǎng)絡資料,對于知識本身的介紹不夠細致和深入.

      變更題目是波利亞《怎樣解題》的主旋律,“解題表”的許多問句都是直接以題目變更為目的,擬訂方案中的“你能否想到一道更普遍化的題目?一道更特殊化的題目?”解題回顧中的“你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎?”[3]等等. 由此可見,解題教學中應用好“題目變更”,用好經(jīng)典題目,通過“一題一課”的教學模式,對試題進行“源”與“流”的研究,進行變式拓展,最關鍵是抽象出一般模型,讓模型為以后的研究服務,實現(xiàn)“多題一解”,讓試題的價值最大化,定能事半功倍. 同時,精雕細琢教學活動設計,讓學生在反思活動中充分經(jīng)歷過程,形成基本活動經(jīng)驗,從而發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).

      參考文獻:

      [1]? 吳立建. “一題一課”理念下的教學實施[J]. 江蘇教育,2018(02).

      [2]? 方亞斌. 一題一課:源于世界數(shù)學名題的高考題賞析[M]. 杭州:浙江大學出版社,2017.

      [3]? G·波利亞. 怎樣解題:數(shù)學思維的新方法[M]. 徐泓,馮承天譯. 上海:上??萍冀逃霭嫔纾?011.

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