常競(jìng)文， 王永茂

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島066004）

0 引言

可轉(zhuǎn)換債券是由公司發(fā)行的債券，持有者在將來某些時(shí)刻有權(quán)將債券轉(zhuǎn)換為公司的股票。在對(duì)可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)時(shí)，信用風(fēng)險(xiǎn)起著非常重要的作用，忽略信用風(fēng)險(xiǎn)會(huì)高估券息和本金的價(jià)值，計(jì)算出的債券價(jià)格會(huì)不準(zhǔn)確。1998年，Tsiveriotis K和Fernandes C［1］在對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)過程中考慮到存在違約風(fēng)險(xiǎn)的情況，此模型的提出使得眾多學(xué)者意識(shí)到在可轉(zhuǎn)債定價(jià)過程中信用風(fēng)險(xiǎn)存在的必要性，李念夷和陳懿冰［2］同時(shí)將三叉樹模型與信用風(fēng)險(xiǎn)考慮到可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型之中，Xiao T［3］研究了當(dāng)模型依賴于瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)的概率分布時(shí)可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)問題。

由于會(huì)受到利率的影響，可轉(zhuǎn)換債券需尋找到一個(gè)平衡價(jià)格來消除可轉(zhuǎn)債發(fā)行者與其持有者的套利機(jī)會(huì)。潘堅(jiān)和肖慶憲［4］在具有違約風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上，利用Feynman-Kac表示定理和偏微分方程方法研究隨機(jī)利率下的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)問題。

然而，上述文章在對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)的過程中，仍然存在著問題導(dǎo)致定價(jià)結(jié)果不夠準(zhǔn)確?？赊D(zhuǎn)債價(jià)格與其標(biāo)的股票價(jià)格存在高度相關(guān)的關(guān)系，而上述文章所研究的可轉(zhuǎn)債定價(jià)問題，其標(biāo)的股票的價(jià)格是基于正態(tài)分布的，大量實(shí)證研究表明，股票市場(chǎng)日收益率分布具有“尖峰肥尾”的特征，因此眾多學(xué)者開始嘗試用新的分布對(duì)股票日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，Mandelbrot［5］首次研究穩(wěn)定Pareto分布，但因其具有無限方差并未被廣泛應(yīng)用于金融期權(quán)定價(jià)。另外一種常見分布是假設(shè)價(jià)格模型服從Levy分布一族［6，7］，但其密函函數(shù)的復(fù)雜性限制了其在金融定價(jià)領(lǐng)域中的應(yīng)用。

巴西物理學(xué)家Tsallis［8］提出的Tsallis熵分布可以用來描述具有非線性，長(zhǎng)期記憶效應(yīng)和相互作用的系統(tǒng)。文獻(xiàn)［9，10］均對(duì)股票市場(chǎng)收益分布進(jìn)行研究，用Tsallis熵分布替代正態(tài)分布，對(duì)股票價(jià)格過程進(jìn)行建模，相比于傳統(tǒng)的B-S公式，其顯著特點(diǎn)就是非廣延參數(shù)的存在，且不同的值對(duì)期權(quán)的定價(jià)呈現(xiàn)出一定的差異性，研究結(jié)果表明Tsallis熵分布可以很好地刻畫股票市場(chǎng)日收益率分布的尖峰肥尾的特征。在國(guó)內(nèi)，基于Tsallis熵理論，張磊和茍小菊［11］研究發(fā)現(xiàn)股價(jià)具有反常擴(kuò)散特征和非線性動(dòng)力系統(tǒng)特征。趙攀和肖慶憲［12］研究得到了股價(jià)模型基于Tsallis熵下的期權(quán)價(jià)格的計(jì)算公式。焦博雅和王永茂［13］在此基礎(chǔ)上將更新過程引入期權(quán)定價(jià)過程中，并進(jìn)一步證實(shí)于Tsallis熵分布下的股價(jià)波動(dòng)更接近于市場(chǎng)真實(shí)的股價(jià)波動(dòng)。

以上文獻(xiàn)均是將Tsallis熵理論應(yīng)用到期權(quán)定價(jià)過程中，但基于Tsallis熵分布的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)有待進(jìn)一步研究。本文在研究可轉(zhuǎn)債的定價(jià)過程中，一方面考慮到了隨機(jī)利率及存在瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)的問題，另一方面用Tsallis熵分布替代正態(tài)分布，對(duì)標(biāo)的股票價(jià)格過程建模，利用有限元法得到可轉(zhuǎn)債價(jià)格滿足的偏微分方程的數(shù)值解，根據(jù)市場(chǎng)真實(shí)的股票及可轉(zhuǎn)債數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，期望理論定價(jià)結(jié)果與市場(chǎng)真實(shí)可轉(zhuǎn)債價(jià)格更加吻合。

1 雙因子建模：隨機(jī)利率下的可轉(zhuǎn)債

1.1 股票價(jià)格模型

可轉(zhuǎn)債價(jià)值在連續(xù)無摩擦市場(chǎng)的表達(dá)形式形式為V＝V（S，r，t），其中S為股票價(jià)格，利率r為一個(gè)自變量。假設(shè)t時(shí)刻股票價(jià)格S（t）滿足下述隨機(jī)微分方程：

Γ（·）為Gamma函數(shù)；Ω（·）表示服從非廣延Tsallis熵分布的隨機(jī)變量，E（Ω（t））＝0，D（Ω，t）＝（（5-3q）β（t））-1，1＜，P（Ω，t）來源于物理學(xué)中的Tsallis熵理論，當(dāng)q＝1時(shí)，P（Ω，t）退化為均值為零的正態(tài)分布。

｛W1（t）：0≤t≤T｝是標(biāo)準(zhǔn)維納過程。

1.2 隨機(jī)利率模型

在風(fēng)險(xiǎn)中性市場(chǎng)，假定利率r（t）服從Vasicek模型，即滿足隨機(jī)微分方程：

其中：θ為常數(shù)，表示長(zhǎng)期均衡的利率水平；u為平均回復(fù)率；σ2為利率的波動(dòng)率；｛W2（t）：0≤t≤T｝是標(biāo)準(zhǔn)維納過程，W1（t）與W2（t）的線性相關(guān)系數(shù)為ρ，其中：-1≤ρ≤1。

1.3 可轉(zhuǎn)債的可贖回和可回售特性

可轉(zhuǎn)債常常帶有可贖回特性，給予了發(fā)行公司在任意時(shí)候或特定時(shí)間段用約定的金額將債券購回的權(quán)利，此金額隨時(shí)間變化，將其記為MC，如果公司可以以MC將債券贖回，則根據(jù)無套利條件可以得到V（s，r，t）≤MC；有些可轉(zhuǎn)債附帶可回售特性，即允許債券持有人以一定金額MP將債券賣給發(fā)行公司，施以約束V（s，r，t）≥MP，對(duì)持有人而言該特性增加了債券的價(jià)值。

2 泊松過程與瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)

2.1 瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)

如果在t時(shí)刻公司還未曾發(fā)生違約，而瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)為p，那么在時(shí)刻t和t+dt之間公司的違約概率為pdt。在無任何事情發(fā)生的情況下突然出現(xiàn)一個(gè)狀態(tài)變化，這符合泊松過程的變化規(guī)律。

假設(shè)為p一個(gè)常數(shù)，令P（t，T）表示公司在到t時(shí)刻為止還未曾發(fā)生違約的條件下，在T時(shí)刻也不會(huì)違約的概率。公司在稍后的t′時(shí)刻t′+dt和時(shí)刻之間發(fā)生違約的概率等于pdt乘以公司到t′為止都沒有發(fā)生違約的概率，即P（t′+dt，T）-P（t′，T）＝pdtP（t′，T），將上式展開，用于考察極小時(shí)間步長(zhǎng)的結(jié)果，可以得到一個(gè)常微分方程。該方程代表了所求概率的變化率?P／?t′＝pP（t′，T），若公司一開始沒有處于違約狀態(tài)，那么P（T；T）＝1，該微分方程的解為e-p（T-t）。因此，在T時(shí)刻支付1美元的零息票債券的價(jià)值可以用期望現(xiàn)金流的現(xiàn)值來建模，其結(jié)果為e-p（T-t）Z，Z是與風(fēng)險(xiǎn)債券的到期期限相同的無風(fēng)險(xiǎn)零息債券的價(jià)值。該債券到期收益 率 由 下 式 給 出即信用風(fēng)險(xiǎn)以利差p影響收益率的大小。

2.2 可轉(zhuǎn)債價(jià)格滿足的偏微分方程

考慮可轉(zhuǎn)債價(jià)格V（s，r，t），且V（s，r，t）關(guān)于t連續(xù)可微，關(guān)于s和r二次連續(xù)可微，根據(jù)廣義It＾o公式，可以得到

現(xiàn)考慮在定價(jià)過程中加入違約風(fēng)險(xiǎn)。在瞬時(shí)隨機(jī)利率與泊松過程的擴(kuò)散變化不相關(guān)的前提下，構(gòu)建對(duì)沖組合：買入一份到期日為T1的可轉(zhuǎn)債V1，賣出Δ2份到期日為T2的可轉(zhuǎn)債V2和Δ1份股票s，即

若公司當(dāng)前未發(fā)生違約，那么在接下來的（t，t+dt）時(shí)間段中，存在兩種情況。一種情況是有（1-pdt）的概率可轉(zhuǎn)債不違約，在這種情況下，組合價(jià)值在單位時(shí)間步長(zhǎng)下發(fā)生的變化為

另一是可轉(zhuǎn)債違約的概率是pdt，違約風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生導(dǎo)致突然損失，組合價(jià)值變化為：

這里解釋一下η*與R*的含義。

η*表示信用風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)因子，η*＝η+Xg，g為風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，且0≤η*≤1，在違約時(shí)刻來臨時(shí)，s+＝s（1-η*），s+表示違約事件發(fā)生后股票的瞬時(shí)價(jià)格，s表示違約事件發(fā)生前股票的瞬時(shí)價(jià)格。當(dāng)η*＝0時(shí)，代表在瞬間違約事件發(fā)生時(shí)股價(jià)未產(chǎn)生變動(dòng)；當(dāng)η*＝1時(shí)，代表公司發(fā)生嚴(yán)重違約事件，股價(jià)在違約事件發(fā)生后瞬間為零。X服從0-1分布，X＝0代表可轉(zhuǎn)債價(jià)格處于實(shí)值，X＝1代表處于虛值。

η*的意義在于當(dāng)違約事件發(fā)生時(shí)，股價(jià)在原價(jià)格基礎(chǔ)上下落一個(gè)百分比，更加接近違約事件發(fā)生時(shí)的公司真實(shí)情況。

R*補(bǔ)償因子，0≤R*≤1，處理方法同η*。

公司違約事件發(fā)生時(shí)，債券持有人若選擇將可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為股票，此時(shí)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值變?yōu)椋簄s（1-η*），n為轉(zhuǎn)換比率；若選擇繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債，則其價(jià)值變?yōu)椋篟*F，F(xiàn)為可轉(zhuǎn)債面值。

針對(duì)上述兩種組合價(jià)值變動(dòng)，取期望并省略dt高階項(xiàng)，進(jìn)而由無套利原理，得到

將（4）和（5）代入（6）式，有

（7）式兩端形式相同，說明兩端方程式等值且此值與可轉(zhuǎn)債性質(zhì)無關(guān)，假設(shè)此值為m（r，s，t），即

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為零，則根據(jù)文獻(xiàn)［14］，

一項(xiàng)由公司的違約情況決定，主要與股票價(jià)格相關(guān)，若股票風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格為λ1（s），則：

上式即為基于Tsallis熵的具有隨機(jī)利率及違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債價(jià)格滿足的偏微分方程。

若利率為常數(shù)，忽略存在違約風(fēng)險(xiǎn)情況，（11）式與文獻(xiàn)［10］中的（10）式保持一致，即

即為基于Tsallis熵的雙因素可轉(zhuǎn)債模型。

若q＝1，則（11）式變?yōu)?/p>

即為具有信用風(fēng)險(xiǎn)的雙因素可轉(zhuǎn)債模型。

2.3 自由邊界條件

（1）可轉(zhuǎn)債處于轉(zhuǎn)換期內(nèi)的轉(zhuǎn)換條件：

即其價(jià)值大于等于其轉(zhuǎn)換價(jià)值；其中n為轉(zhuǎn)換比率。

（2）可轉(zhuǎn)債在贖回期內(nèi)，其價(jià)值的最大值為轉(zhuǎn)換價(jià)值和贖回價(jià)兩者中的較大者，即

（3）可轉(zhuǎn)債在回售期內(nèi)，其價(jià)值的最小值為轉(zhuǎn)換價(jià)值和回售價(jià)兩者中的較大者，即

2.4 終值及跳躍條件

（1）可轉(zhuǎn)債合約到期時(shí)，其價(jià)值應(yīng)為可轉(zhuǎn)債的面值與可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換價(jià)值兩者中的較大者，即到期條件：

其中：F為可轉(zhuǎn)換債券的面值，KT代表合約到期時(shí)可轉(zhuǎn)換債券的息票值。

（2）公司股票價(jià)格足夠高時(shí)，投資者會(huì)考慮將持有的可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為股票，因此可轉(zhuǎn)債在此刻的價(jià)值是其轉(zhuǎn)換價(jià)值，即：

其中n為轉(zhuǎn)換比率。

（3）公司股票價(jià)格非常低時(shí)，忽略存在回售的情況，可將可轉(zhuǎn)債價(jià)值看作普通債券價(jià)值，即：

（4）投資者在市場(chǎng)利率足夠大的情況下會(huì)考慮拋出可轉(zhuǎn)債。忽略存在贖回和回售兩種情況，可轉(zhuǎn)債價(jià)值為零，即：

（5）可轉(zhuǎn)債價(jià)值在市場(chǎng)利率非常低甚至趨于零時(shí)的情況下不易確定。可認(rèn)為可轉(zhuǎn)債價(jià)值對(duì)于利率的偏導(dǎo)有限，即：

（6）假設(shè)息票每半年支付一次，所以有每個(gè)息票日的跳躍條件，即：

其中Kc為第c次所付利息，tc為第c次付息時(shí)間。

3 有限元法

3.1 自由邊界處理

由于可轉(zhuǎn)債具有可贖回、可回售和轉(zhuǎn)換特性，可對(duì)其自由邊界處理為線性互補(bǔ)問題，在此定義微分算子：

若Mc＜ns，則債券持有者會(huì)選擇轉(zhuǎn)股，可轉(zhuǎn)債的價(jià)值變?yōu)椋?/p>

若Mc≥ns，則將其自由邊界處理為以下線性互補(bǔ)問題：

其中：D＝pmax（ns（1-η*），R*F）。

此問題可用基本迭代方法求解。

3.2 有限元法計(jì)算格式

可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)采用有限元法，相比于有限差分，有限元法精度更高，它是對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行求解的，而有限差分法僅僅是計(jì)算孤立點(diǎn)的價(jià)格，另外有限元法對(duì)邊界及終值條件處理效果更好。

有限元方法把未知函數(shù)V（s，r，t）中的空間變量（s，r）與時(shí)間變量t分開處理，本文先利用半離散方法對(duì)空間變量（s，r）離散，然后利用全離散方法對(duì)時(shí)間變量t離散。

步驟1利用變分原理及格林公式得到積分方程。

設(shè)求解區(qū)域?yàn)棣福剑跾min，Smax］×［rmin，rmax］，則根據(jù)變分原理［15］，（11）式變?yōu)橐韵路e分方程：

其中，H1（Ω），（Ω）稱為Sobolev空間，兩者的形式分別為：H1（Ω）＝｛f（S，r）｜fα（S，r）∈L2（Ω），α＝0，1，…，k｝（Ω）＝｛f（S，r）｜f（S，r）∈H1（Ω）且f｜Γ0＝0｝，其中，fα（S，r）表示具有直到k階廣義導(dǎo)數(shù)f（S，r）的全體。Γ0對(duì)應(yīng)（20）、（21）所表示的邊界條件，在這里，當(dāng)利率趨于零時(shí)，（20）式可以表示為［14］：

在微分方程（27）中存在二階導(dǎo)數(shù)積分，處理此積分需利用到數(shù)學(xué)微積分中的格林公式：

其中：Γ表示（28）式所對(duì)應(yīng)的邊界條件。

對(duì)方程（27）應(yīng)用格林公式并代入（28）式有：

步驟2構(gòu)造單元局部坐標(biāo)系，建立插值函數(shù)。

將求解區(qū)域Ω分成N×N個(gè)矩形，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)｛（Si，ri），i＝1，2，…，N｝，任意一個(gè)矩形單元ek的四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為（k1，k2，k3，k4）。其中單元的形心被視作為坐標(biāo)原點(diǎn)：ek＝｛（S，r）｜Sk1≤S≤Sk2，rk1≤r≤rk4｝，k＝1，2，…，N×N，因此，方程（29）可以表示為

其中（V，v）ek，a（V，v）ek以及（f，v）ck定義類似于（30）、（31）和（32）式，僅是將積分區(qū)域Ω換成ek

我們將單元?dú)w一化，即采用無量綱坐標(biāo)（ξ，η），通過仿射變換：

得到標(biāo)準(zhǔn)單元：ek＝｛（ξ，η）｜-1≤ξ≤1，-1≤η≤1｝，其中k1，k2，k3，k4四個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1）。

在每一標(biāo)準(zhǔn)單元上，定義矩形單元上ek上的Lagrange雙線性插值函數(shù)：

其中Ni（ξ，η）為矩形單元的形函數(shù)矩陣：

Vki（t），vki分別對(duì)應(yīng)于矩形單元ek的四個(gè)頂點(diǎn)的函數(shù)值和擾動(dòng)值。

步驟3矩陣及總剛度矩陣的形成。

將（34）代入式（33）中，根據(jù)變分預(yù)備定理［15］

可知vk的任意性，則式（33）可寫為：

接下來，我們利用單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)與整體編號(hào)的關(guān)系，把單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行疊加，形成總剛度矩陣，方程（37）可改寫為：

步驟4時(shí)間變量的離散化處理及可轉(zhuǎn)債價(jià)格的推導(dǎo)。

取正整數(shù)K，并令tk＝kτ，0≤k≤K，其 中τ＝T／K。對(duì)（38）式建立如下格式

取θ＝1／2，（39）式為Crank-Nicolson全離散格式，根據(jù)（39）式可得到迭代方程：

首先根據(jù)終值條件（18）可得到到期日可轉(zhuǎn)債的價(jià)格，進(jìn)而采用基本迭代方法，利用方程（40），對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行回溯，結(jié)合約束條件（16）、（17）可得每個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)刻可轉(zhuǎn)債價(jià)格，最終通過插值函數(shù)（34）便可得到每一時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同股票價(jià)格和利率的可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格。

4 實(shí)證研究

4.1 基于Tsallis熵分布的股票價(jià)格模型

選取在2018年3月份上市、期限為6年的長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債、利歐轉(zhuǎn)債、敖東轉(zhuǎn)債的對(duì)應(yīng)標(biāo)的股票——長(zhǎng)江證券、利歐股份、吉林敖東進(jìn)行實(shí)證分析，將每日收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)（選取日期：2016年1月4日～2018年9月28日；數(shù)據(jù)來源：RESSET數(shù)據(jù)庫）。樣本容量分別為671、656、665。日收益率利用ri＝（si-si-1）／si×100%計(jì)算，研究對(duì)象為標(biāo)準(zhǔn)化日收益率。計(jì)算軟件Rstudio。收益率時(shí)間序列見圖1～圖3，三種證券日收益率基本統(tǒng)計(jì)量見表1。

圖1 長(zhǎng)江證券日收益率序列圖

圖1、2、3顯示三種股票日收益率的波動(dòng)具有顯著的集聚性，說明股票價(jià)格很容易受到外來因素影響，進(jìn)而產(chǎn)生連續(xù)的跳躍波動(dòng)，并且股票價(jià)格的時(shí)間序列在一定程度上表現(xiàn)出較強(qiáng)的記憶性。

由表1峰度值和偏度值可知，三種標(biāo)的股票日收益率具有明顯的“尖峰肥尾”特征，且K-S檢驗(yàn)的p值小于0.05，可知日收益率分布在95%置信度下拒絕接受服從正態(tài)分布假設(shè)。另外，圖4～圖6顯示出日收益率具有“左偏尾”和明顯的“尖峰肥尾”特征，且與正態(tài)分布曲線吻合度低，以上闡述表明傳統(tǒng)的基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票價(jià)格波動(dòng)與真實(shí)股價(jià)波動(dòng)存在較大差異，可嘗試?yán)闷渌植紒砟M真實(shí)的數(shù)據(jù)分布。

圖2 利歐股份日收益率序列圖

圖3 吉林敖東股票日收益率序列圖

表1 股票日收益率的基本統(tǒng)計(jì)量

接下來用Tsallis熵分布對(duì)日收益率進(jìn)行擬合，采用最優(yōu)擬合實(shí)際日收益率分布的方法來估計(jì)最優(yōu)參數(shù)q。首先，標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)際日收益率并將其作為實(shí)際分布；其次，利用蒙特卡洛方法進(jìn)行數(shù)值模擬，得到各q值下的模擬收益率序列并將其作為理論分布；最后，對(duì)q∈（1，5／3）進(jìn)行窮舉，計(jì)算出各確定q值下日收益率理論分布與實(shí)際分布的最優(yōu)擬合優(yōu)度值，其對(duì)應(yīng)的q值即為需要Tsallis熵分布的最優(yōu)參數(shù)。

依據(jù)以上所闡述的步驟估計(jì)出的Tsallis熵分布的針對(duì)三種股票的最優(yōu)參數(shù)值分別為q＝1.42，1＝1.44，q＝1.51。將其模擬得到的日收益率理論曲線與日收益率實(shí)際曲線進(jìn)行比較，結(jié)果見圖4、5、6。

圖4、5、6顯示Tsallis熵分布的優(yōu)勢(shì)在于在峰度以及尾部特征上對(duì)日收益率的擬合更好，且對(duì)應(yīng)三種股票的最優(yōu)參數(shù)值分別為q＝1.42，q＝1.44，1＝1.51?；诖?，在之后對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)研究過程中將其標(biāo)的股票價(jià)格模型服從正態(tài)分布進(jìn)一步修正為服從最優(yōu)參數(shù)q值下的Tsallis熵分布。

圖4 長(zhǎng)江證券日收益率分布和正態(tài)分布及Tsallis熵分布曲線比較

圖5 利歐股份日收益率分布和正態(tài)分布及Tsallis熵分布曲線比較

圖6 吉林敖東日收益率分布和正態(tài)分布及Tsallis熵分布曲線比較

4.2 可轉(zhuǎn)債價(jià)格的實(shí)證分析

本文實(shí)證分析中，選取對(duì)象為長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債、利歐轉(zhuǎn)債、敖東轉(zhuǎn)債，三者上市日期接近且期限均為6年。

長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債（127005）基本要素：期限：6年（2018年3月12日～2024年3月12日）：債券面值：100元；票面利率：第一年0.2%，第二年0.4%，第三年1.0%，第四年1.5%，第五年1.8%，第六年2.0%；發(fā)行張數(shù)：5000萬張；實(shí)際發(fā)行規(guī)模：5000百萬元；轉(zhuǎn)股起止日期：2018年9月17日～2024年3月11日；轉(zhuǎn)債評(píng)級(jí)：AAA。

利歐轉(zhuǎn)債（128038）基本要素：期限：6年（2018年3月22日～2024年3月12日）：債券面值：100元；票面利率：第一年0.3%，第二年0.5%，第三年1.0%，第四年1.5%，第五年1.8%，第六年2.0%；發(fā)行張數(shù)：2197.5萬張；實(shí)際發(fā)行規(guī)模：2197.5百萬元；轉(zhuǎn)股起止日期：2018年9月28日～2024年3月21日；轉(zhuǎn)債評(píng)級(jí)：AA。

敖東轉(zhuǎn)債（127006）基本要素：期限：6年（2018年3月22日～2024年3月12日）；債券面值：100元；票面利率：第一年0.2%，第二年0.4%，第三年0.6%，第四年0.8%，第五年1.6%，第六年2.0%；發(fā)行張數(shù)：2413萬張；實(shí)際發(fā)行規(guī)模：2413百萬元；轉(zhuǎn)股起止日期：2018年9月19日～2024年3月12日；轉(zhuǎn)債評(píng)級(jí)：AA+。

本節(jié)主要研究加入Tsallis熵后可轉(zhuǎn)債價(jià)格變化情況，研究對(duì)象為三種可轉(zhuǎn)債從剛上市到轉(zhuǎn)股期開始這個(gè)時(shí)間段的價(jià)格變化。在利率為常數(shù)的前提下可轉(zhuǎn)債價(jià)格滿足偏微分方程（12）式。

長(zhǎng)江證券的波動(dòng)率估計(jì)：采用GARCH（1，1）模型計(jì)算波動(dòng)率得到：

對(duì)應(yīng)于α＝0.0470022，β＝0.9272747，ω＝γVL＝6.400797×10-6。由α+β＜1可知模型通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)，且根據(jù)α+β+γ＝1可計(jì)算得到隱含長(zhǎng)期每日方差平均為：VL＝2.488×10-4。長(zhǎng)江證券每年均有244個(gè)交易日，則年波動(dòng)率

同理可得到利歐股份股票波動(dòng)率σ2≈0.25，吉林敖東股票波動(dòng)率σ3≈0.237。

取到期日與長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債相近的七年期國(guó)債（019216）的票面利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率，即r≈0.0325。

轉(zhuǎn)換比率（可轉(zhuǎn)債面值／轉(zhuǎn)股價(jià)）分別為：n1＝13.157，n2＝36.232，n3＝4.735。

利用單因子有限元方法繪制三維圖并計(jì)算得到長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債、利歐轉(zhuǎn)債及敖東轉(zhuǎn)債的理論價(jià)格。所用軟件：Matlab。選取三種可轉(zhuǎn)債交易天數(shù)均為107天，其中長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債（2018年4月11日～2018年9月10日）、利歐轉(zhuǎn)債（2018年4月19日～2018年9月19日）、敖東轉(zhuǎn)債（2018年5月11日～2018年10月17日）?；赥sallis熵分布的三種可轉(zhuǎn)債理論價(jià)格及其與實(shí)際交易價(jià)格對(duì)比圖如圖7～圖12所示。

圖中理論價(jià)格1與2分別表示股價(jià)基于正態(tài)分布與Tsallis熵分布下可轉(zhuǎn)債價(jià)格。

圖7 標(biāo)的股價(jià)基于Tsallis熵的長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債價(jià)格三維圖

圖8 長(zhǎng)證轉(zhuǎn)債的實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格對(duì)比圖

圖9 標(biāo)的股價(jià)基于Tsallis熵的利歐轉(zhuǎn)債價(jià)格三維圖

圖10 利歐轉(zhuǎn)債的實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格對(duì)比圖

圖11 標(biāo)的股價(jià)基于Tsallis熵的敖東轉(zhuǎn)債價(jià)格三維圖

圖12 敖東轉(zhuǎn)債的實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格對(duì)比圖

圖7、圖9、圖11所示分別為長(zhǎng)證、利歐、敖東轉(zhuǎn)債價(jià)格與時(shí)間（6年期限）、相對(duì)應(yīng)標(biāo)的股票價(jià)格的三維圖。

圖8、圖10、圖12所示分別為長(zhǎng)證、利歐、敖東轉(zhuǎn)債從剛上市到鄰近轉(zhuǎn)股期時(shí)間段。圖中顯示：相比于理論價(jià)格1，股價(jià)基于Tsallis熵分布的可轉(zhuǎn)債理論價(jià)格2更加貼近于市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格。

以上分析說明基于T sallis熵分布的理論定價(jià)結(jié)果更貼近于可轉(zhuǎn)債真實(shí)的價(jià)格波動(dòng)。

5 結(jié)論

（1）本文主要研究了在隨機(jī)利率下股價(jià)基于Tsallis熵分布及帶有瞬時(shí)違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)問題，并利用有限元法得到了可轉(zhuǎn)債價(jià)格所滿足的偏微分方程的數(shù)值解。

（2）對(duì)三支市場(chǎng)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行實(shí)證研究。根據(jù)可轉(zhuǎn)債標(biāo)的股票的市場(chǎng)真實(shí)數(shù)據(jù)模擬收益率序列，發(fā)現(xiàn)股價(jià)模型基于Tsallis熵分布下曲線擬合明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的正態(tài)分布，并得到了Tsallis熵分布的最優(yōu)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，繪制可轉(zhuǎn)債理論價(jià)格的三維圖和理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格對(duì)比圖。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在可轉(zhuǎn)債剛上市至臨近轉(zhuǎn)股期的時(shí)間段內(nèi)，股票價(jià)格基于Tsallis熵分布情況下的理論價(jià)格更加貼近于市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格。因三支可轉(zhuǎn)債為6年期可轉(zhuǎn)債，故對(duì)其更準(zhǔn)確的定價(jià)有待進(jìn)一步的研究。