牛帥旭，蔣 晶，唐 濤*，楊 濤，包啟亮

1中國科學(xué)院光束控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610209；

2中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；

3中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

1 引 言

自古以來，人類一直都在不斷地探索未知的宇宙世界。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明及其性能的提升使得人們能夠逐步觀察到更遠(yuǎn)、更暗的物體，然而由風(fēng)振、設(shè)備振動(dòng)以及平臺(tái)振動(dòng)引起的望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)振動(dòng)嚴(yán)重地影響了望遠(yuǎn)鏡的成像質(zhì)量和其觀察微弱目標(biāo)的能力，故而為了達(dá)到望遠(yuǎn)鏡的衍射極限需要抑制望遠(yuǎn)鏡機(jī)械振動(dòng)等干擾[1]。傳統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制方法由于圖像傳感器本身具有采樣頻率低、曝光時(shí)間長的特點(diǎn)給控制回路帶來了時(shí)間延遲，限制了控制回路的帶寬，因而無法抑制此類振動(dòng)[2-3]。由此，一些專家學(xué)者提出了額外利用加速度計(jì)、光纖陀螺等慣性傳感器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行測(cè)量并前饋的擾動(dòng)前饋控制方法，例如在文獻(xiàn)[4]中德國的Sawodny等人針對(duì)大望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題，提出利用加速度計(jì)將干擾信號(hào)前饋的方法，并分別采用基于卡爾曼濾波器和自適應(yīng)諧振器的方式建立傾斜鏡的模型，該研究對(duì)于大振幅的振動(dòng)抑制效果較好，但小幅度的振動(dòng)重建偏差較大。這是由于這種額外增加慣性傳感器對(duì)擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量的方法雖然有抑制帶寬不受限的優(yōu)點(diǎn)但也不可避免存在以下缺點(diǎn)：首先，測(cè)量設(shè)備其本身存在的低頻漂移和高頻噪聲無疑會(huì)降低測(cè)量的精度和系統(tǒng)性能；再者，即使可以獲取到準(zhǔn)確的擾動(dòng)信號(hào)，如何從中提取出真實(shí)的擾動(dòng)信號(hào)也是一項(xiàng)十分具有挑戰(zhàn)性的工作。由于額外增加傳感器的方法存在如上所述的問題，給系統(tǒng)性能的提升帶來了很大的挑戰(zhàn)和限制，一些專家學(xué)者便在擾動(dòng)前饋的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)控制結(jié)構(gòu)以及優(yōu)化的控制算法，例如在文獻(xiàn)[5]中 Sivo等人利用基于卡爾曼濾波方法的線性二次高斯控制器抑制了 4.2 m威廉赫歇爾望遠(yuǎn)鏡的Nasmyth平臺(tái)上的CANARY儀器振動(dòng)，系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力較傳統(tǒng)的比例-積分控制器有了明顯的提升，且系統(tǒng)的穩(wěn)定性也較強(qiáng)；在文獻(xiàn)[6]中 Guesalaga等人通過最小化傾斜鏡的閉環(huán)殘差的H2范數(shù)來合成控制器去改善系統(tǒng)在不同振動(dòng)條件下的整體性能，并在Paranal的NACO和Gemini-South的GeMS兩個(gè)設(shè)備上進(jìn)行了測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的比例-積分控制器相比，該合成控制器的閉環(huán)性能有了明顯的提升。然而，采用改進(jìn)的控制結(jié)構(gòu)或優(yōu)化的控制算法雖然提高了系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力，卻也面臨著擾動(dòng)估計(jì)不準(zhǔn)確以及模型辨識(shí)不精準(zhǔn)兩大難題，因此這些方法的提升能力也十分有限。于是，為減小控制器對(duì)準(zhǔn)確的擾動(dòng)信號(hào)以及精準(zhǔn)的系統(tǒng)模型的依賴度，本文提出一種擾動(dòng)抑制的Youla參數(shù)控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法可以在僅依賴一個(gè)低頻的系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上提升系統(tǒng)的寬帶擾動(dòng)抑制能力。由于寬帶振動(dòng)存在范圍廣、能量大，其對(duì)系統(tǒng)的性能影響也較大[10-11]，本文設(shè)計(jì)了合適的Q濾波器對(duì)寬帶擾動(dòng)起到了較好的抑制效果，因此該方法對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)性能提升較大。

2 控制器結(jié)構(gòu)

經(jīng)典的閉環(huán)反饋控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中R(z-1)代表目標(biāo)軌跡，也就是輸入信號(hào)；Y(z-1)代表了輸出信號(hào)；E(z-1)則表示了輸出信號(hào)與目標(biāo)軌跡之間的誤差信號(hào)；C(z-1)代表的是位置控制器；z-m表示了控制系統(tǒng)的時(shí)間延遲；G(z-1)代表的是控制模型，主要包括平臺(tái)以及驅(qū)動(dòng)模塊的特性；D(z-1)代表著擾動(dòng)信號(hào)。

圖1 經(jīng)典的控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The typical control structure

在經(jīng)典的反饋控制結(jié)構(gòu)中系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力可表示為以下形式：

由式(1)可知，在該控制結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力依賴于位置控制器C(z-1)的高增益以及精確的系統(tǒng)模型G(z-1)。然而圖像傳感器帶來的時(shí)間延遲致使控制器的增益有限，并且在高頻區(qū)域很難得到一個(gè)精確的系統(tǒng)模型G(z-1)，這兩方面的限制使得系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力十分有限。由此，本文提出一種改進(jìn)的控制器結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是一種基于 Youla參數(shù)化的改進(jìn)的控制結(jié)構(gòu)。Youla參數(shù)化是指Youla等人在二十世紀(jì)七十年代后期證明的一種可以在保證控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上將控制器參數(shù)化的方法[7]?；赮oula參數(shù)化的改進(jìn)的擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)如圖 2所示。其中Q(z-1)表示的是一個(gè)低通濾波器；描述了控制模塊G(z-1)的逆，圖2中綠色虛線框內(nèi)為等效控制器Cnew(z-1)，其他參數(shù)如圖1相同的定義。

圖2 改進(jìn)的Youla控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 The improved Youla controller structure

基于改進(jìn)的Youla 控制器結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力可表示為

對(duì)比式(1)和式(2)可知，式(2)的特征多項(xiàng)式與式(1)的特征多項(xiàng)式的區(qū)別在于這一部分。當(dāng)，抑制擾動(dòng)的關(guān)鍵便轉(zhuǎn)化為 1 ?z?nQ(z?1)的最小化，也就是 Q濾波器的設(shè)計(jì)以及參數(shù)的優(yōu)化的問題。要使得，就要兩個(gè)條件至少有一個(gè)成立。在中低頻區(qū)域不難獲得一個(gè)相對(duì)精確的系統(tǒng)模型G(z-1)，故而在中低頻區(qū)域不難滿足，但在高頻區(qū)域獲得一個(gè)精確的系統(tǒng)模型G(z-1)卻十分具有挑戰(zhàn)性，故而Q濾波器需要設(shè)計(jì)為低通濾波器才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制器設(shè)計(jì)的前提。改進(jìn)的控制結(jié)構(gòu)實(shí)際上是設(shè)計(jì)了一個(gè)等效控制器Cnew(z-1)去替代之前的位置控制器C(z-1)。等效控制器Cnew(z-1)是一個(gè)Youla參數(shù)化的等效控制器，可以表示為

容易得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由式(4)可知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式可以表示為

在式(5)中1+C(z?1)G(z?1)z?m是閉環(huán)穩(wěn)定的，故而只需保證|A(z?1)|<1就可以滿足改進(jìn)的控制器的穩(wěn)定性要求，也就是說Q濾波器的設(shè)計(jì)必須滿足如下所示的關(guān)系式：

由上述分析易知，Q(z-1)需設(shè)計(jì)為一個(gè)帶寬小于以及的低通濾波器來滿足穩(wěn)定性要求[9]。

4 Q濾波器的參數(shù)化設(shè)計(jì)

在Q濾波器的設(shè)計(jì)階段，本文采用了一種新穎的設(shè)計(jì)方法。既然1?z?nQ(z?1)的最小化是等效控制器設(shè)計(jì)的最終目標(biāo)，那么本文假設(shè)K(z?1)=1?z?nQ(z?1)，1?z?nQ(z?1)的最小化就是K(z?1)的最小化，求得最小化后的K(z?1)再反向求出Q(z?1)，就可得到Q濾波器的形式。本研究旨在抑制控制系統(tǒng)中最為常見的、對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大的寬帶擾動(dòng)，考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定及其性能，本文并沒有把Q濾波器設(shè)計(jì)為傳統(tǒng)的帶阻濾波器去抑制寬帶擾動(dòng)，而是以一種新的設(shè)計(jì)思路去設(shè)計(jì)Q濾波器：寬帶擾動(dòng)可以看成是幾個(gè)或者多個(gè)擾動(dòng)中心點(diǎn)頻率十分接近的窄帶擾動(dòng)的集成，抑制寬帶擾動(dòng)就是要針對(duì)不同的窄帶擾動(dòng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的陷波濾波器，最后使這些濾波器同時(shí)作用對(duì)擾動(dòng)反向施力來達(dá)到抑制寬帶擾動(dòng)的目的。由上述分析可知，Q濾波器設(shè)計(jì)的第一步是要設(shè)計(jì)抑制窄帶擾動(dòng)的陷波濾波器。從抑制擾動(dòng)的初衷來看，在擾動(dòng)頻率wi處使得是最理想的設(shè)計(jì)結(jié)果，因?yàn)檫@就意味著該控制器可以將擾動(dòng)完全抑制掉。首先假設(shè)K(z?1)的形式為，明顯這種假設(shè)是非因果的，于是一種新穎的陷波濾波器被提出[8]，如下所示：

其中：ζ與η是兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，并且0<ζ<1，1<η。對(duì)式(7)分析可得：當(dāng)w

由Q(jw)=1?K(jw)可以得到Q(jw)，如式(8)所示：

對(duì)式(8)分析可得：當(dāng)w

易知0

圖3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.3 Experimental devices

其中m為抑制窄帶擾動(dòng)的濾波器的個(gè)數(shù)，由式(10)可知：

由于0

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文利用如圖3所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，主要包括光源(激光器)，一個(gè)壓電陶瓷反射鏡、三個(gè)反射鏡(反射鏡1、反射鏡2、反射鏡3)、一個(gè)位敏傳感器以及控制器和驅(qū)動(dòng)。其中反射鏡1不僅用作反射鏡，同時(shí)用來模擬擾動(dòng)。光線由激光器產(chǎn)生，經(jīng)壓電陶瓷反射鏡、反射鏡1、反射鏡2、反射鏡3反射后投到位敏傳感器，由位敏傳感器探測(cè)光斑的位置后進(jìn)行反饋，由此提供位置偏差信號(hào)給控制器。

為了更好地驗(yàn)證該方法抑制寬帶擾動(dòng)的有效性，我們將本實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)設(shè)定為一個(gè)保持固定不變的值，即R(z?1)=0，整個(gè)系統(tǒng)的采樣頻率為500 Hz，寬帶擾動(dòng)分布在5.5 Hz到9.5 Hz之間，其頻域如圖4所示。

根據(jù)該寬帶擾動(dòng)的頻譜圖，我們將寬帶擾動(dòng)視為擾動(dòng)中心頻率為6.5 Hz以及8.5 Hz的兩個(gè)窄帶擾動(dòng)，針對(duì)這兩個(gè)窄帶擾動(dòng)設(shè)計(jì)式(12)、式(13)所示的兩個(gè)陷波濾波器，同時(shí)作用抑制系統(tǒng)中存在的寬帶擾動(dòng)。

圖4 寬帶擾動(dòng)頻譜圖Fig.4 The spectrum of a wideband vibrations

由上述分析容易得到Q濾波器的表達(dá)式：

其伯德圖如圖5所示。圖6是分別采用傳統(tǒng)的比例-積分控制方法以及上述基于Youla參數(shù)化的改進(jìn)的寬帶擾動(dòng)抑制方法抑制擾動(dòng)后的對(duì)比結(jié)果圖。由圖 6可以看出改進(jìn)的寬帶振動(dòng)抑制方法較傳統(tǒng)的比例-積分控制方法抑制效果有了顯著的提升。

圖5 Q濾波器的伯德圖Fig.5 Bode response of Q-filter

圖6 不同控制器作用下的閉環(huán)誤差對(duì)比圖Fig.6 Spectra of closed-loop errors with different controllers

6 結(jié) 論

本文提出一種基于Youla參數(shù)化的寬帶擾動(dòng)抑制方法來提高系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力。通過控制器的結(jié)構(gòu)分析、Q濾波器的參數(shù)化設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)分析，證實(shí)了該方法的有效性及可行性。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在振動(dòng)頻率可以獲取的情況下，該方法較傳統(tǒng)的比例-積分控制方法對(duì)寬帶擾動(dòng)的抑制效果有明顯的提升。此外，該方法模型依賴程度低，并且只利用了一個(gè)位置傳感器去探測(cè)跟蹤誤差信號(hào)并進(jìn)行反饋，成本低、實(shí)施簡便，因此該方法可以應(yīng)用于多種需要進(jìn)行擾動(dòng)抑制的工程實(shí)際中。不過本實(shí)驗(yàn)中的擾動(dòng)信號(hào)為一個(gè)已獲取的信號(hào)，為了將本方法推廣到更多實(shí)際的工程項(xiàng)目中，下一步的工作重心我們將放在擾動(dòng)的在線識(shí)別以及Q濾波器參數(shù)的在線調(diào)節(jié)。