旋轉(zhuǎn)矩陣在移動(dòng)機(jī)器人建模教學(xué)中的應(yīng)用

武星 鄒婷

摘? 要 移動(dòng)機(jī)器人因其可在較大工作空間完成特定作業(yè)任務(wù)而受到廣泛應(yīng)用。在其平面運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)過程中，很多教科書采用單位復(fù)數(shù)u（θ）≡ejθ作為剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的工具。然而，該算子難以明顯地反映出旋轉(zhuǎn)變換的幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的物理含義。為此，將三維旋轉(zhuǎn)矩陣簡(jiǎn)化到二維空間，并用于移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模教學(xué)過程。該教學(xué)思路符合多剛體系統(tǒng)建模和矩陣計(jì)算分析的整個(gè)理論框架和求解方案，有利于不同專業(yè)背景學(xué)生的理解和掌握。

關(guān)鍵詞 移動(dòng)機(jī)器人;平面運(yùn)動(dòng)學(xué);機(jī)器人建模;旋轉(zhuǎn)矩陣

中圖分類號(hào)：G642? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2020）08-0087-03

1 引言

近年來，隨著以“工業(yè)4.0”和“中國(guó)制造2025”為代表的第四次工業(yè)革命的興起，人工智能與機(jī)器人正發(fā)生不斷深入的有機(jī)融合，廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、服務(wù)業(yè)以及科研、教育領(lǐng)域。與固定于某一位置操作的工業(yè)機(jī)器人相比，移動(dòng)機(jī)器人能夠通過傳感器感知環(huán)境和自身狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)在有障礙物的環(huán)境中面向目標(biāo)的自主運(yùn)動(dòng)，并完成一定的作業(yè)功能[1]。移動(dòng)機(jī)構(gòu)決定了移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能力和特性，主要有輪式、履帶式、腿足式和蠕動(dòng)式等。輪式移動(dòng)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單可靠、能量利用率高、高速穩(wěn)定、易控性和操作性好、通過性和平順性好等優(yōu)點(diǎn)[2]。其中，差速輪式移動(dòng)機(jī)器人（Differential-driving Wheeled Mobile Robots， DWMR）的一個(gè)顯著優(yōu)勢(shì)是不需要額外的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，僅通過改變兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的行走速度即可操縱機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方向[3]，因此在機(jī)器人工程專業(yè)人才培養(yǎng)時(shí)成為一個(gè)典型的移動(dòng)機(jī)器人教學(xué)對(duì)象。

為了適應(yīng)“中國(guó)制造2025”制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略對(duì)智能制造高端技術(shù)人才的迫切需求，南京航空航天大學(xué)面向全校不同專業(yè)的學(xué)生適時(shí)開辦了“機(jī)器人科學(xué)導(dǎo)論”國(guó)際課程。來自不同專業(yè)背景的學(xué)生在“矩陣論”“理論力學(xué)”“機(jī)械原理”和“控制工程基礎(chǔ)”等領(lǐng)域知識(shí)方面具有較大差異。為了保證落實(shí)“寬口徑、重基礎(chǔ)”的智能制造復(fù)合型人才培養(yǎng)目標(biāo)，需要深入研究面向跨專業(yè)學(xué)生群體的移動(dòng)機(jī)器人建模教學(xué)方法。

2 教學(xué)現(xiàn)狀

移動(dòng)機(jī)器人作為機(jī)器人的一個(gè)分支，其教學(xué)方法仍可沿用工業(yè)機(jī)器人的多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)教學(xué)方法。對(duì)于僅在地面運(yùn)動(dòng)的輪式機(jī)器人，特別是在結(jié)構(gòu)化人工環(huán)境中運(yùn)行的場(chǎng)景，其運(yùn)動(dòng)過程可簡(jiǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)方式。在其平面運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)過程中，很多教科書[4-5]都采用了單位復(fù)數(shù)u（θ）≡ejθ的工具，其中j為虛部。并且，當(dāng)θ=θ（t）時(shí)，有：

進(jìn)一步地，還可表達(dá)為：

公式（1）說明的向量形式垂直于u（t）的向量形式。公式（2）和（3）說明自然分解為兩個(gè)正交分量，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分量分別垂直和平行于向量u（t）。

雖然u（θ）作為一個(gè)算子，通過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度，恰當(dāng)?shù)貙⒁粋€(gè)復(fù)數(shù)z=x+jy變換到另一個(gè)新的復(fù)數(shù)，然而在筆者看來，這個(gè)算子難以明顯地反映出旋轉(zhuǎn)變換的幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的物理含義。在教師給學(xué)生講解平面運(yùn)動(dòng)學(xué)的教學(xué)過程中，如果可引入二維旋轉(zhuǎn)變換矩陣，那么在實(shí)平面上采用復(fù)數(shù)表達(dá)這些點(diǎn)及其變換，則是一個(gè)本不需要的技巧。

3 旋轉(zhuǎn)矩陣

在大多數(shù)高校，機(jī)器人專業(yè)課程一般開設(shè)于大三下學(xué)期或大四上學(xué)期。為了便于學(xué)生理解移動(dòng)機(jī)器人的平面運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過程，教師可首先回顧大學(xué)“理論力學(xué)”中的剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。當(dāng)描述某剛體B在三維空間中的方位時(shí)，設(shè)置一直角坐標(biāo)系{B}與此剛體固連。用坐標(biāo)系{B}的三個(gè)單位主向量xB、yB、zB相對(duì)于慣性坐標(biāo)系{A}的方向余弦組成的3×3階矩陣表示剛體B相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的方位[6]：

其中，稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，上標(biāo)A代表參考坐標(biāo)系{A}，下標(biāo)B代表與剛體B固連的坐標(biāo)系。由于矩陣的三個(gè)列向量、、都是單位向量，且兩兩相互垂直，滿足以下正交條件：

其次，教師將移動(dòng)機(jī)器人作為建模對(duì)象引入教學(xué)過程中。當(dāng)輪式機(jī)器人在地面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，建立如圖1所示的三維運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。其中，x軸指向移動(dòng)機(jī)器人的前進(jìn)運(yùn)動(dòng)方向，y軸指向移動(dòng)機(jī)器人的側(cè)向，z軸垂直于地面向上。定義移動(dòng)機(jī)器人繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度的運(yùn)動(dòng)為偏航運(yùn)動(dòng)，繞y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角度的運(yùn)動(dòng)為俯仰運(yùn)動(dòng)，繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ角度的運(yùn)動(dòng)為翻滾運(yùn)動(dòng)，則偏航運(yùn)動(dòng)、俯仰運(yùn)動(dòng)和翻滾運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

最后，如果輪式機(jī)器人運(yùn)行在地面足夠平坦的結(jié)構(gòu)化環(huán)境中，則可將其運(yùn)動(dòng)過程簡(jiǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)方式，沿z軸的垂直運(yùn)動(dòng)以及俯仰運(yùn)動(dòng)和翻滾運(yùn)動(dòng)可忽略。因此，三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)可簡(jiǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)學(xué)。相應(yīng)地，偏航運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為在平面內(nèi)繞z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的二維旋轉(zhuǎn)矩陣：

正如Bottena等所指出[7]，二維旋轉(zhuǎn)矩陣Q2還可表示為：

Q2=cosα12+sinαE2? ? ? ? ? ? （11）

其中，12為二階單位矩陣，E2為：

并且，E2可視為在平面內(nèi)繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的二維旋轉(zhuǎn)矩陣，即E2=Q2（90°）。

由式（10）和（12）可知，輪式機(jī)器人在平面內(nèi)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二維旋轉(zhuǎn)矩陣在數(shù)學(xué)形式上非常簡(jiǎn)單，在物理意義上十分明確，在幾何圖示時(shí)易于表達(dá)。這種對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣從三維到二維的降維處理，使得輪式機(jī)器人建模教學(xué)對(duì)學(xué)生的背景知識(shí)要求不高，僅需要二維的剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)和基本的矩陣論概念，有利于學(xué)生深入理解和熟練掌握作為建模工具的二維旋轉(zhuǎn)矩陣。

4 機(jī)器人教學(xué)應(yīng)用

為了進(jìn)一步說明二維旋轉(zhuǎn)矩陣在平面運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用，本文以DWMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模為例進(jìn)行詳細(xì)分析。在差速驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)中，兩個(gè)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)輪同軸安裝于尾軸的兩側(cè)，一個(gè)萬向隨動(dòng)輪自由鉸接在移動(dòng)機(jī)器人底盤前端的中心線上。為了方便運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和多剛體建模，DWMR的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖表示為由多個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接的機(jī)械剛體系統(tǒng)，如圖2所示。DWMR底盤由一個(gè)T型剛體表示，兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪通過穿過點(diǎn)O1和O2的旋轉(zhuǎn)軸活動(dòng)連接于底盤。一個(gè)萬向輪支架通過垂直轉(zhuǎn)向軸連接于底盤P點(diǎn)。萬向隨動(dòng)輪通過一個(gè)穿過點(diǎn)O3的水平轉(zhuǎn)軸安裝于萬向輪支架上。