潘文歆
摘要:通過圖像加密可以保證圖像信息的安全存儲和傳輸,本文對彩色圖像首先進行小波變換,使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來對圖像對應(yīng)的低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進行隨機分塊和對矩陣元素的位置進行移動與置亂,獲得對應(yīng)的加密矩陣,之后對加密矩陣使用小波逆變換,就生成了原彩色圖像的加密圖像。實驗結(jié)果說明,這種方法的密鑰空間大,密鑰的敏感度較高,可以獲得較大的加密強度。
關(guān)鍵詞:彩色圖像;三維混沌系統(tǒng);加密算法;小波變換;Arnold變換
中圖分類號:TP309.7 文獻標識碼:A 文章編號:1007-9416(2020)08-0123-03
0 引言
隨著圖像和多媒體信息的廣泛使用,保障圖像信息的安全存儲和傳輸已經(jīng)成為人們關(guān)注的一個重要方面,對此的一種有效方法是對圖像進行加密操作[1-3]。在對圖像做加密時,可以針對圖像的像素直接進行加密操作,也可以先對圖像進行一些變換例如小波變換,在此基礎(chǔ)上再進行加密操作[4]。
小波變換是把圖像的像素矩陣變換到頻域,然后對頻域的數(shù)據(jù)進行處理,來實現(xiàn)對圖像的處理,其特點是可以對圖像信號的局部細節(jié)信息進行細致分析。離散小波變換的定義如下:
設(shè),a0是大于0的常數(shù),離散小波為 ,這里j, kZ。對一個給定的函數(shù)f(t),它對應(yīng)的離散小波變換為:。
當信號f(t)取離散值f(k) 時,這時它的離散二進小波變換為:。
離散小波逆變換為:。
把一副圖像進行小波分解后,該圖像就變成了四個不同的部分:LL、LH、HL和HH,其中LL為圖像的近似部分即低頻部分,LH為水平方向上圖像的近似部分,HL為垂直方向上圖像的近似部分,HH為對角方向上圖像的近似部分,除了LL之外,LH,HL和HH都對應(yīng)于圖像的細節(jié)部分。
對經(jīng)過小波變換的一副彩色圖像,本文首先使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來對低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進行隨機分塊,然后對這些矩陣元素的位置進行移動和置亂,來實現(xiàn)對彩色圖像的加密。
1 混沌映射
由混沌映射或混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的序列具有對初值和參數(shù)的敏感性、隨機性、遍歷性等一些獨特的性質(zhì)。當輸入的初始參數(shù)值發(fā)生微小變化時,就會引起輸出序列的值有很大的不同,差異較大;若混沌序列迭代次數(shù)越多,其序列在一定范圍內(nèi)能遍歷趨近無窮的狀態(tài)數(shù)[5-6]。本文使用如下的三維混沌系統(tǒng),它的定義如下:
其中當λ=35,β=3和j=28時,系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。把該系統(tǒng)進行時域離散化之后,得到的三個輸出序列{xn},{yn}和{zn}都是無規(guī)律分布的混沌序列。在本文中將使用這三種混沌序列來進行彩色圖像的加密。
2 加密的過程與步驟
對給定的一幅大小為N×N圖像,可以進行多種數(shù)字化處理,并獲得一個二維離散的數(shù)字矩陣。在這種矩陣中的每個元素就代表了圖像的相關(guān)信息。如果把該矩陣中元素的位置進行移動和置亂,就可以得到一個與原圖像相比混亂無章的圖像,從而可以實現(xiàn)對圖像的加密。對元素的位置的移動和置亂,本文使用Arnold變換,該變換的數(shù)學表達式如下:
這里(x,y)和(x′,y′)分別表示一個元素在變換前和變換后的位置坐標,mod表示求余運算,它是保證與圖像對應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣在進行Arnold變換后仍然落在原先的圖像區(qū)域內(nèi)。Arnold變換的參數(shù)a,b,c和d需要滿足如下條件:|ad-bc|=1。例如,a=2,b=5,c=1,d=3。如果對一幅圖像進行多次Arnold變換,而且每一次都對參數(shù)a,b,c和d選取不同值時,就可以達到較滿意的效果。
對Arnold變換的參數(shù)值的選取,我們采用的方法如下:對參數(shù)a,b和c的值,分別從三維混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列{xn},{yn}和{zn}中選取,由于這種混沌序列的值是實數(shù),因此在選取之后需要對它們進行取絕對值和取整運算,然后再作為參數(shù)a,b和c的值。在確定了這三個參數(shù)a,b和c的值之后,通過使用表達式 |ad-bc|=1,來求出參數(shù)d的值。
對一副彩色圖像,加密的過程為:首先對原圖像進行小波變換,得到它的頻率系數(shù)矩陣;其次,對頻率系數(shù)矩陣的子矩陣進行Arnold變換,以對這些子矩陣進行置亂,實現(xiàn)對它們的加密,并由此獲得加密矩陣;第三,對加密矩陣使用小波逆變換,就生成了原彩色圖像的加密圖像。具體的算法實現(xiàn)步驟如下。
第1步:對一副給定的大小為N×N彩色圖像,通過小波變換,得到它的頻率系數(shù)矩陣。
第2步:從圖像對應(yīng)的頻率系數(shù)矩陣中提取出低頻子帶系數(shù)矩陣LL和高頻子帶系數(shù)矩陣HL、LH和HH。
第3步:使用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生一個正整數(shù)m,其方式如下:首先使用混沌系統(tǒng)(1)產(chǎn)生三個混沌序列{xn},{yn}和{zn},然后從這三個序列中分別隨機選取一個值出來,并把所選出的這三個值取絕對值然后再相加,之后取整,就作為m的值。
第4步:對矩陣LL、HL、LH和HH,把每個矩陣分塊成多個即2m個子矩陣。
第5步:對上一步中所獲得的矩陣LL、HL、LH和HH的每個子矩陣,使用Arnold變換對它們進行置亂,以實現(xiàn)對它們的加密,把使用的加密密匙分別記為KeyLL,KeyHL,KeyLH和KeyHH,該加密密匙即是在Arnold變換中的參數(shù)a,b,c和d,它們是根據(jù)混沌系統(tǒng)(1)所產(chǎn)生的混沌序列來進行選取的。
第6步:把在第5步中所得到的每個經(jīng)加密的子矩陣組合起來,就構(gòu)成了LL、HL、LH和HH的加密矩陣。
第7步:對LL、HL、LH和HH的加密矩陣使用小波逆變換,就生成了原彩色圖像的加密圖像。
在算法的第5步中,由混沌系統(tǒng)(1)所產(chǎn)生的值需要進行取整操作,才能作為參數(shù)a,b,c和d的值,并且滿足 |ad-bc|=1。同時,對每一個子矩陣都設(shè)計對應(yīng)的不相同的密匙KeyLL,KeyHL,KeyLH和KeyHH,以進一步提高加密的強度。
對算法的加密圖像進行解密,解密的過程是算法的逆過程,其步驟如下:首先分別從加密圖像中提取出LL、HL、LH和HH的加密矩陣,然后使用加密的密匙KeyLL,KeyHL,KeyLH和KeyHH,以及進行Arnold逆變換,來獲得矩陣LL、HL、LH和HH的每個子矩陣,之后把這些子矩陣組合起來,得到圖像的四個子帶系數(shù)矩陣LL、HL、LH和HH,使用這四個子帶系數(shù)矩陣和小波逆變換即小波重構(gòu)來得到原彩色圖像。
3 實驗結(jié)果
我們通過MATLAB編程對算法進行了實現(xiàn),并對一些彩色圖像進行了實驗,所使用的微型計算機的處理器和內(nèi)存分別為2.80GHz和8GB。圖1是對彩色lena圖像的實驗結(jié)果,圖1(a)是原圖像,圖1(b)是使用算法進行加密后的圖像,圖1(c)是對圖1(b)做解密之后還原的圖像。圖2(a)和圖3(a)分別是House圖像和Horse圖像,圖2(b)和圖3(b)是采用算法對原圖像進行加密后的圖像,圖2(c)和圖3(c)是對圖2(b)和圖3(b)進行解密之后還原的圖像。
如上的這些實驗結(jié)果表明,本文設(shè)計的算法具有較高的加密強度,可以取得良好的加密效果。由于在對彩色圖像的加密過程中對原始圖像進行了分塊,對各個子圖像所對應(yīng)的矩陣LL、HL、LH和HH采用了不同的多個密匙進行置亂,使圖像的各方向相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)達到很小,接近于0,從而大大增加了加密的強度。
由于上文算法是同時對四個矩陣LL、HL、LH和HH進行操作和加密處理,這就避免了常規(guī)方法中只對矩陣LL進行加密處理所帶來的加密強度不高的問題,因此本文的算法也具有較強的抗攻擊能力。此外,在采用混沌系統(tǒng)的圖像加密的早期研究中,人們主要使用低維混沌系統(tǒng),由于這種混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡單而且參數(shù)較少,導致了相應(yīng)加密算法的密鑰空間比較小并且容易被攻破。本文對彩色圖像的加密采用的三維混沌系統(tǒng),由于具有較大的參數(shù)空間和較復(fù)雜的結(jié)構(gòu),因此可以使得加密算法的密鑰空間得到擴大,從而可以進一步提高密鑰的敏感度。
4 結(jié)語
對彩色圖像的加密,本文對圖像先進行小波變換,然后使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來對低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進行隨機分塊和對矩陣元素的位置進行移動和置亂,這種方法由于采用了具有較大的參數(shù)空間和較復(fù)雜結(jié)構(gòu)的三維混沌系統(tǒng),從而可以提高密鑰的敏感度并增大加密的強度。
參考文獻
[1] Abdullah Alghafis,F(xiàn)aiza Firdousi,Majid Khan.An efficient image encryption scheme based on chaotic and deoxyribonucleic acid sequencing[J].Mathematics and Computers in Simulation,2020,177:441-466.
[2] Ali Mansouri,Xingyuan Wang.A novel one-dimensional sine powered chaotic map and its application in a new image encryption scheme[J].Information Sciences,2020,520:46-62.
[3] 胡春杰,嵇海祥,牛智星,等.基于改進Arnold映射二次置亂的圖像加密算法[J].計算機與數(shù)字工程,2019,47(7):1783-1787.
[4] 陳娜,毋江波.基于離散小波變換的離散正交S變換域圖像加密算法[J].光學技術(shù),2019,45(3):348-354.
[5] 李付鵬,劉敬彪,王光義,等.基于混沌集的圖像加密算法[J].電子與信息學報,2020,42(4):981-987.
[6] 馬聰,李國東.基于L-K雙混沌系統(tǒng)的彩色位級圖像加密算法[J].計算機應(yīng)用與軟件,2020,37(3):322-326.