辛約化下旋轉臂上擺系統(tǒng)相對平衡點的計算

張振興

摘 要：研究了旋轉臂上擺系統(tǒng)的辛約化問題，給出了辛約化下的相對平衡點及對應的約化系統(tǒng)的平衡點。

關鍵詞：旋轉臂上擺系統(tǒng);辛約化;相對平衡點

一、背景介紹

旋轉臂上擺系統(tǒng)最初由[1]提出，它是一個帶有對稱的非線性的系統(tǒng)，并且其平衡點是非線性不穩(wěn)定的。關于這個問題的研究基本上是利用基于Lagrange力學的方法來研究其平衡點穩(wěn)定性問題和穩(wěn)定化問題，如[2]。由于Lagrange力學本身的特性，這些研究不能充分利用系統(tǒng)的對稱性。因此我們從Hamilton力學的角度出發(fā)，利用[3]中給出的辛約化理論，利用對稱性研究其約化問題。

本文利用正則辛點約化定理給出了旋轉臂上擺系統(tǒng)的約化系統(tǒng)并證明了該約化系統(tǒng)具有兩個或者四個（根據(jù)約化時所選取動量映射的正則值的不同而不同）平衡點。

二、旋轉臂上擺系統(tǒng)的模型

旋轉臂上擺系統(tǒng)由一個平面擺及一個繞一豎直支撐桿旋轉的旋轉臂組成，擺的懸點在旋轉臂的頂端，懸點處有一質量M。擺所在的平面與長為R的旋轉臂正交。假設整個系統(tǒng)只受到重力的作用，忽略摩擦力的作用（參見[1][2]）。

系統(tǒng)的位形空間為，我們用作為其上的局部坐標，其中第一個因子θ表示擺與垂直向上方向的夾角，而第二個因子φ表示旋轉臂與某個固定垂直平面的夾角，如圖所示。此外，我們用作為動量相空間的局部坐標。系統(tǒng)的Hamilton函數(shù) 為

其中，

1.旋轉臂上擺系統(tǒng)相對平衡點的穩(wěn)定化

旋轉臂上擺系統(tǒng)具有一個對稱性，也即關于豎直支撐桿的旋轉。我們希望能約化掉這個對稱性從而得到旋轉臂上擺系統(tǒng)的約化系統(tǒng)。

轉臂上擺系統(tǒng)的相空間上具有典則的辛形式。李群通過映射作用于Q上。我們有S1-作用是自由且恰當?shù)摹＿@一映射的余切提升為 。此作用也是自由恰當?shù)牟⑶胰菰S一個-等變的動量映射，其中是的李代數(shù)，是g的對偶。對任意的，由是交換群，。由正則辛點約化定理，我們有約化辛空間為，其中，其上的局部坐標可用給出，約化辛形式為。

另一方面，我們有旋轉臂上擺系統(tǒng)的Hamillton函數(shù)是上述S1-作用不變的。于是我們可以定義相關的約化Hamilton函數(shù)為，也即

下面我們來計算約化旋轉臂上擺系統(tǒng)的平衡點。計算可知約化系統(tǒng)的平衡點是如下方程組的解：

（1）

由上述第一個方程我們得到，代入第二個方

程，有.于是有θ=0，π或θi，i=1，2，其

中θi，i=1，2是方程

（2）

的根.注意到如果，則方程無解;若，方程有唯一解0;如果，則方程有兩個不同的解，記之為θ1和θ2。

（1）約化旋轉臂上擺系統(tǒng)的總有兩個平衡點為

.

（2）當時，約化系統(tǒng)有另外兩個平衡點和 ，其中θ1和θ2是方程（2）的解，

（3）相應的，旋轉臂上擺系統(tǒng)的相對平衡點分別為

，

以及當時存在的相對平衡點和，其中，是[0，2π]內任意常數(shù).

參考文獻：

[1] K.J.?str?m and K.Furuta，Swinging up a pendulum by energy control，IFAC 13（San Francisco），1996.

[2] A.M.Bloch，N.E.Leonard，and J.E.Marsden，Stabilization of the pendulum on a rotor arm by the method of controlled Lagrangians，Proc.IEEE Int.Conf.Robotics and Automation，Detroit，MI，1999，pp.500-505.

[3] R.Abraham and J.E.Marsden，F(xiàn)oundations of mechanics，second ed.，AddisonWesley，Reading，MA，1978.