陳龍勝，王 琦，何國毅

(南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063)

切換系統(tǒng)是一種應用廣泛的特殊混雜系統(tǒng)，具有明確的工程背景和廣泛的應用前景.不確定非線性切換系統(tǒng)的控制和穩(wěn)定性問題是當前研究的熱點.近年來，學者們熱衷于利用通用逼近器和反演法解決含未知非線性函數(shù)的不確定非線性切換系統(tǒng)自適應控制問題，并采用共同Lyapunov函數(shù)和平均/最小駐留時間以及多Lyapunov函數(shù)法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.司文杰等[1-3]基于共同Lyapunov函數(shù)為一類非線性切換系統(tǒng)設計了自適應神經(jīng)網(wǎng)絡/模糊控制器.Zhai等[4-5]在滿足平均/最小駐留時間的前提下，為一類非線性切換系統(tǒng)設計了自適應模糊控制器.Long等[6-7]采用模糊系統(tǒng)逼近系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)，并基于多Lyapunov函數(shù)分析法為一類非線性切換系統(tǒng)設計了自適應切換控制器.但是，這些基于反演法的設計控制策略存在“微分爆炸”問題.Swaroop等[8]首次通過引入一階低通濾波器，即動態(tài)面控制(Dynamic Surface Control,DSC) 技術解決 “微分爆炸”問題.然后，一些針對非線性切換系統(tǒng)的DSC控制策略相繼被提出.Zhai等[9]利用模糊邏輯逼近系統(tǒng)的未知不確定非線性特性，并在滿足平均/最小駐留時間的前提下為一類非線性切換系統(tǒng)設計了自適應DSC控制器.Zhai等[10]基于共同Lyapunov函數(shù)為非線性切換系統(tǒng)設計了自適應模糊DSC控制器.盡管DSC控制技術已被應用于非線性切換系統(tǒng)，但大多數(shù)研究仍針對嚴反饋型非線性系統(tǒng)，目前關于非仿射純反饋非線性切換系統(tǒng)的DCS控制研究成果較少.

針對一類結構和參數(shù)均未知的非仿射純反饋非線性切換系統(tǒng)，設計在任意切換下的自適應跟蹤控制器.在控制器的設計中，利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(Radial Basis Function Neural Network,RBFNN)和Nussbaum函數(shù)處理未知非線性動態(tài)問題，且RBFNN采用單一自適應更新率.所設計的控制器既可以滿足系統(tǒng)非線性特性和控制方向未知以及系統(tǒng)切換的需求，又可以避免神經(jīng)網(wǎng)絡徑向基函數(shù)的大量運算.引入低通濾波器解決反演設計的“微分爆炸”問題，從而進一步減少計算負荷.此外，基于共同Lyapunov函數(shù)設計狀態(tài)反饋控制器并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，避免了切換發(fā)生時控制參數(shù)跳變和調(diào)節(jié)參數(shù)過多的問題.

1 問題描述及預備知識

1.1 問題描述

考慮如下非仿射純反饋非線性切換系統(tǒng)：

(1)

(2)

控制目標：在任意切換模式下，通過設計自適應控制器使得系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤期望軌跡yr(t)，且保證閉環(huán)系統(tǒng)所有的信號有界.為便于控制器設計，引入如下假設、定義和引理.

其中：i=1,2,…,n.

假設2[11]yr(t)光滑有界且具有二階連續(xù)有界導數(shù)，即存在常數(shù)B0>0使得

定義1[12]如果連續(xù)函數(shù)N(χ):R→R滿足

(3)

則稱N(χ)為Nussbaum函數(shù).本文采用的Nussbaum函數(shù)為N(χ)=χ2cosχ.

引理2[13]設V(·)和χj(·) (j=1,2,…,m)是定義在[0,tf)上的光滑函數(shù),且滿足?t∈[0,tf),V(t)≥0.N(χj)為一個光滑的Nussbaum函數(shù),對?t∈[0,tf),若存在

(4)

引理3[14]對于tf>0,若閉環(huán)系統(tǒng)的解在[0,tf)內(nèi)有界,則tf=∞.

引理4(楊氏不等式)[11]對任意的(a,b)∈R2，如果實數(shù)γ,c,d且滿足h>0,c>1,d>1,(c-1)(d-1)=1，那么

(5)

1.2 RBFNN

RBFNN在控制器的設計過程中被廣泛用于逼近系統(tǒng)的未知非線性函數(shù).設存在連續(xù)函數(shù)F(Z):Rp→R，在緊集ΩZ∈Rp和任意值ε>0的條件下，有神經(jīng)網(wǎng)絡?Tψ(Z)使得Sup|F(Z)-?Tψ(Z)|≤ε，其中?∈R為神經(jīng)網(wǎng)絡的權值，>0為神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層節(jié)點數(shù).Z∈Rp為神經(jīng)網(wǎng)絡輸入，ψ(Z)=為徑向基函數(shù).基于神經(jīng)網(wǎng)絡的任意逼近原理，F(xiàn)(Z)可被逼近為

F(Z)=?*Tψ(Z)+ε(Z)

(6)

式中：ε(Z)為逼近誤差；?*為理想權值向量，且

(7)

2 控制器設計及穩(wěn)定性分析

基于RBFNN和Nussbaum函數(shù)為系統(tǒng)設計自適應反演切換控制器，并基于共同Lyapunov函數(shù)分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2.1 控制器設計

根據(jù)式(2)和RBFNN可進一步將系統(tǒng)(1)描述為

(8)

(9)

式中：i=1,2,…,n；b>0為待設計的參數(shù).

為進行反演設計，通常需定義如下的坐標變換

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：i=1,2,…,n-1；μi>0為時間常數(shù).

根據(jù)定義的坐標變換，可為系統(tǒng)(1)設計如下控制律

(14)

式中：i=1,2,…,n-1；κi>0,γi>0為設計常數(shù).其參數(shù)調(diào)節(jié)律為

(15)

式中：i=1,2,…,n；π>0,λ>0為設計常數(shù).

2.2 穩(wěn)定性分析

為了對由控制律和參數(shù)調(diào)節(jié)律組成的閉環(huán)系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，提出如下定理.

定理考慮系統(tǒng)(1)，在滿足假設1和2的前提下，采用控制律式(14)和參數(shù)調(diào)節(jié)律式 (15)，則可保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致有界，且通過調(diào)整控制器參數(shù)使跟蹤誤差可收斂到原點的一個較小鄰域.

(16)

根據(jù)式(8)、(10)和 (11)可得

(17)

選取Lyapunov函數(shù)

(18)

則其對時間的導數(shù)為

(19)

將式(10)～(11)和 (14)～(17)代入式(19)可得

(20)

根據(jù)楊氏不等式、式(9)和假設2可得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：

(i=2,…,n-1);

式(27)兩邊同乘eC t可得

(28)

式(28)兩邊在[0,t]內(nèi)的積分為

(29)

則有

(30)

根據(jù)式(18)和 (30)進一步可得

(31)

3 仿真試驗

考慮如下的結構和參數(shù)均未知的非仿射純反饋非線性切換系統(tǒng)

(32)

圖1 切換信號Fig.1 Switching signal

由圖2可知，系統(tǒng)的實際輸出能夠很好地跟蹤期望軌跡.由圖3可知，系統(tǒng)的跟蹤誤差能夠很快地收斂到原點的一個較小鄰域.由圖4可知，所有的自適應參數(shù)最終均能夠較快地收斂到常值附近.仿真結果表明：該控制器具有良好的跟蹤性能和穩(wěn)定性.

圖2 系統(tǒng)輸出與期望軌跡Fig.2 System output and desired trajectory

圖3 跟蹤誤差曲線Fig.3 Tracking error

圖4 參數(shù)自適應更新率Fig.4 Update laws of parameters

4 結語

非線性切換系統(tǒng)是控制理論和工程領域的研究熱點.針對一類更具代表性的結構和參數(shù)均未知的非仿射純反饋非線性切換系統(tǒng)，利用中值定理將其等價轉化為類似嚴反饋形式的非線性系統(tǒng).在此基礎上，利用RBFNN在線逼近系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)，并利用Nussbaum 增益技術和低通濾波器分別解決系統(tǒng)控制增益未知的問題和反演設計的“微分爆炸”問題.最后，基于共同Lyapunov函數(shù)為系統(tǒng)設計狀態(tài)反饋控制器.所設計的控制器不依賴系統(tǒng)的具體模型，避免了切換發(fā)生時控制參數(shù)跳變和調(diào)節(jié)參數(shù)過多的問題，減少了計算負荷.