基于幾何直觀的初中代數(shù)教學(xué)設(shè)計研究

李海英

摘 要：直觀想象是《新課標(biāo)》中所提出的六大核心素養(yǎng)之一?！缎抡n標(biāo)》給出的定義是：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。以幾何直觀作為解決代數(shù)問題的手段，促進(jìn)學(xué)生對于代數(shù)知識的理解程度，增加學(xué)生的直觀想象力，因此本文將探討其在初中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 幾何直觀 代數(shù)教學(xué)

一、幾何直觀在代數(shù)中的表現(xiàn)形式

1.方形圖（切割補充法）

切割補充法即利用現(xiàn)有圖形對其進(jìn)行切割補充成為我們熟知的圖形，這樣就可以便于計算和理解。任何一個數(shù)學(xué)概念、公式及其定理都能找到一個原型。在《從面積到乘法公式》這一節(jié)中，教材利用了這一方法對乘法公式進(jìn)行了直觀的分析和推理。培養(yǎng)學(xué)生能夠采用割補的方法，豐富學(xué)生的想象力和空間構(gòu)造能力。

例如：a2-b2=（a+b）（a-b）這一個式子中，學(xué)生可以畫一個邊長為a的正方形，再取其中邊長為b的正方形。可以觀察到，大的正方形有兩條邊變成了a-b，可以割下一個長寬為（a-b）和b的小長方形，補到剩下的大長方形上，這樣就很明顯的能夠觀察到圖形的變化，式子之間的關(guān)系也顯而易見了。

2.數(shù)軸設(shè)計法

數(shù)軸是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一個手段，在建立數(shù)軸時，數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可。數(shù)軸可以描述相反數(shù)、絕對值，在遇到這類方程時，可以利用數(shù)軸把式子用它表示出來。利用這樣的幾何直觀來解決復(fù)雜的方程式，會讓問題簡單化，學(xué)生更容易理解和解決問題。例如求|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x-5|的最小值，則在數(shù)軸上找到1、-2、3、5幾個值。求1、-2、3、5之間距離之和最小的值，我們可以發(fā)現(xiàn)從-2到5之間的距離是定值7，從1到3之間是定值2，此時它們之間的距離之和最小，所以3≥x≥1時有最小值，最小值是9。

3.函數(shù)圖像

函數(shù)圖像是初中數(shù)學(xué)最核心部分[1]，有很多同學(xué)因為函數(shù)的難懂會對數(shù)學(xué)失去信心，所以函數(shù)圖像的表示和應(yīng)用就至關(guān)重要了。借助函數(shù)圖像，學(xué)生可以更加深入了解到函數(shù)的表達(dá)和解決方法，而不再是“聞面不識人”的現(xiàn)象。例如一次函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)圖形就是直線，二次函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)圖像就是曲線，反比例函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)圖像就是雙曲線。用一個例子來表示，已知點（1，y1）（-2，y2）（1/3，y3）在函數(shù)y=1/x上，比y1，y2，y3的大小。這個例子有兩種思路，一種是普通的數(shù)值代入，把每一個橫坐標(biāo)代入到式子里面進(jìn)行計算，另一種是函數(shù)圖像表示，畫出原式的函數(shù)圖像，把橫坐標(biāo)標(biāo)在圖像上，這樣可以直觀地看到三個未知數(shù)的大小比較情況。讓學(xué)生能夠在自己的腦中形成一個可視化的圖形，把函數(shù)問題圖形化，讓復(fù)雜的問題簡單化。

二、引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像思考代數(shù)問題

對于初中學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)，教師如何引導(dǎo)學(xué)生通過圖像來表示，又該如何讓學(xué)生發(fā)揮空間想象力思考代數(shù)問題，值得思考和探究。教師不僅僅要教會學(xué)生如何做，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生主動去想，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，更多的讓學(xué)生去思考和想象[2]。首先，教師應(yīng)該從例題入手，在課堂上，以教材上的例題為示范，給學(xué)生展示幾何直觀的表達(dá)方式，讓學(xué)生能夠了解其中的變化和思路，再讓學(xué)生去做。讓學(xué)生自己去體會如何經(jīng)過圖形化的處理讓代數(shù)問題變?yōu)閳D形問題的過程。其次，要學(xué)會讓學(xué)生自主地去思考和轉(zhuǎn)化，在做一些課后題時，可以讓學(xué)生把圖形畫出來，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，能夠動手畫出來再去想，這樣的思考方式能夠讓學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣，在遇到難題時也能夠迎刃而解。最后就是圖形和代數(shù)的銜接，在實際學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生能夠解決代數(shù)問題，也能夠把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題去解決，但是卻不了解二者之間的關(guān)系，面對難度更大的題時，就很容易出錯。這樣的情況就需要教師在轉(zhuǎn)化的過程中對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓其能夠?qū)?yīng)問題與圖形連接起來，看到這樣的式子就能想到這樣的圖形。進(jìn)而就可以養(yǎng)成一種幾何直觀的思維方式。

例如常見的函數(shù)問題，兩個一次函數(shù)相交于一點，問如果要使y1>y2，x的取值范圍是多少。這樣的題目經(jīng)常可以看到，但也經(jīng)常有學(xué)生做錯。如果把這樣的一個問題以幾何直觀的方式表達(dá)出來，一切就顯得非常容易了。只需要把兩個一次函數(shù)對應(yīng)的圖像畫出來，標(biāo)出交點，觀察在交點前后，兩個一次函數(shù)中y的大小變化即可看出。

三、重視實踐操作，重構(gòu)幾何模型

在學(xué)習(xí)代數(shù)的過程中，常常會發(fā)現(xiàn)，如果一個代數(shù)問題，直接對其進(jìn)行處理，則會變得更加復(fù)雜和難以求解[3]。但是如果我們能夠掌握上述的幾種幾何直觀的方法，用實踐的方法，在原有的圖形基礎(chǔ)上進(jìn)行變化，這樣通常會使那些看似難以處理的代數(shù)問題變得更加簡單了。例如在研究立體圖形的表面積時，例如圓柱、圓錐、圓臺這樣側(cè)面為曲面的立體圖形，直接求解很難得到答案，通常我們會把它展開變成一個平面圖形，這樣就可以得到一個更為熟悉的圖形。以圓柱為例，最后只需要求兩個圓和一個矩形的面積就好了。矩形的長，就是圓的周長，矩形的高就是圓柱的高。

幾何直觀不是一蹴而就的，它需要學(xué)生能夠一次次的探索和發(fā)現(xiàn)，通過自己的實踐來找到最好的解題方法。把那些看起來很抽象的、毫無規(guī)律的代數(shù)問題變換成簡單的圖形問題，并從中尋找最快最簡便的方式來解決。也許只是畫一條輔助線，也許只是建立一個坐標(biāo)軸，也許只是把不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形，但其中所蘊含的是極其巧妙的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生多去思考、多去實踐，才能夠把更多的問題解決掉。不能讓學(xué)生覺得建構(gòu)幾何直觀模型是浪費時間，教師應(yīng)當(dāng)在其中引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生再次遇到數(shù)學(xué)難題時能夠不慌不亂，會設(shè)計、會思考、會動手、會動腦。

參考文獻(xiàn)

[1]惠群.幾何直觀在初中代數(shù)中的表現(xiàn)形式及教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)之友，2014，（16）.

[2]孫露薇.中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的幾何直觀——從化歸的視角來看[J].課程教學(xué)研究，2015，（10）.

[3]徐世白.從整體出發(fā)認(rèn)識教材，從認(rèn)知出發(fā)設(shè)計教學(xué)—以“對數(shù)運算”的幾種教學(xué)設(shè)計為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015，（9）.