金屬陶瓷功能梯度板的模態(tài)頻率分析

劉 超,劉文光

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

高超音速飛行器再入大氣層時(shí)，由于強(qiáng)烈的氣動(dòng)加熱作用，機(jī)翼駐點(diǎn)處溫度可達(dá)10000 K以上，使得飛行器壁板容易出現(xiàn)屈曲和熱顫振等問(wèn)題，從而引發(fā)壁板萌生微裂紋、表層蒙皮材料脫落，危及飛行器的安全可靠性[1-2]。因此，采用復(fù)合材料設(shè)計(jì)熱防護(hù)系統(tǒng)以避免飛行器壁板的氣動(dòng)加熱和顫振失穩(wěn)，已經(jīng)受到學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注。

傳統(tǒng)的復(fù)合材料雖然具有耐熱、隔熱、輕質(zhì)等熱防護(hù)特性，但因內(nèi)部組分不連續(xù)、界面失配等問(wèn)題，氣動(dòng)加熱時(shí)易出現(xiàn)應(yīng)力集中和突變，影響結(jié)構(gòu)的安全穩(wěn)定性[3-4]。于是，有學(xué)者提出了功能梯度材料（functionally graded materials，F(xiàn)GMs）這一設(shè)計(jì)理念[5]。FGMs作為一種新型的非均質(zhì)復(fù)合材料，由兩種或多種不同材料組成，材料體積分布沿著某個(gè)方向連續(xù)變化，并具備傳統(tǒng)復(fù)合材料所沒(méi)有的優(yōu)勢(shì)，如降低界面應(yīng)力[6]、物理特性連續(xù)變化等。這些特性使得FGMs在超音速飛行器熱防護(hù)系統(tǒng)領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用前景。

氣動(dòng)加熱不僅導(dǎo)致熱防護(hù)系統(tǒng)表面溫度劇烈變化，而且溫度的變化會(huì)影響到熱防護(hù)系統(tǒng)的振動(dòng)特性。近幾十年來(lái)，很多學(xué)者以FGMs殼、梁和板為對(duì)象，研究了熱環(huán)境下FGMs結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性?；谌A剪切變形理論，曹洲等分析了熱環(huán)境下功能梯度夾層雙曲殼的自由振動(dòng)特性[7]。結(jié)合能量原理和薄殼理論，劉文光等建立了FGMs薄壁圓殼的模態(tài)方程，研究了不同熱環(huán)境下薄壁圓殼的模態(tài)頻率[8]。采用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)，陳金曉等討論了彈性邊界條件下FGMs圓柱殼尺寸、陶瓷體積分?jǐn)?shù)等對(duì)圓柱殼固有頻率的影響[9]。針對(duì)具有特定功能的石墨烯增強(qiáng)功能梯度納米復(fù)合梁，Shahrjerdi等探究了熱環(huán)境對(duì)梁振動(dòng)特性的影響[10]。以三階剪切變形理論為基礎(chǔ)，Zahedinejad研究了不同熱環(huán)境和不同邊界條件下功能梯度梁的自由振動(dòng)[11]。以薄板理論和Rayleigh-Ritz法為基礎(chǔ)，Chakraverty等推導(dǎo)了FGMs板的頻率方程，探索了熱環(huán)境對(duì)薄板振動(dòng)頻率的影響[12]。通過(guò)一階剪切變形理論，欒瑋荻推導(dǎo)了FGMs板的振動(dòng)方程，研究了熱環(huán)境對(duì)板自由振動(dòng)響應(yīng)的作用[13]。結(jié)合二階剪切變形理論和能量原理，Shahrjerdi等討論了不同熱環(huán)境下功能梯度板的自由振動(dòng)特性[14]。基于高階剪切變形理論，Parida等建立了含等參單元的FGMs板的有限元模型，討論了熱環(huán)境對(duì)功能梯度板自由振動(dòng)的影響[15]。通過(guò)推導(dǎo)功能梯度板的非線性振動(dòng)和屈曲運(yùn)動(dòng)方程，吳曉等求解了功能梯度板的非線性振動(dòng)近似解[16]。

動(dòng)態(tài)表明，大多數(shù)研究采用理論推導(dǎo)和有限元建模的方法研究FGMs結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。理論推導(dǎo)方面，主要有分層彈性柔度線性模型、分段指數(shù)分層模型和線性分層模型等[17-18]，其思想是將FGMs沿梯度方向分成多層，每層材料內(nèi)部按照線性或者指數(shù)形式變化。有限元建模主要是均勻?qū)傩苑謱幽Ｐ蚚19-21]。均勻?qū)傩苑謱邮菍⒚繉硬牧蠀?shù)簡(jiǎn)化為常數(shù)，處理復(fù)雜問(wèn)題很方便，在工程應(yīng)用中較為廣泛。雖然有限元方法主要利用離散的Gauss積分，取單元內(nèi)部Gauss積分點(diǎn)處的實(shí)際材料屬性，可大大節(jié)約網(wǎng)格數(shù)量，但是編程難度較大，所以很少研究者直接采用有限元建模法來(lái)實(shí)現(xiàn)FGMs材料物理屬性的連續(xù)變化，鮮有研究者通過(guò)有限元方法來(lái)探究熱環(huán)境下FGMs結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。

本工作在探討熱環(huán)境對(duì)FGMs物理特性影響的基礎(chǔ)上，采用溫度控制的方法描述材料屬性并實(shí)現(xiàn)FGMs板的線性分層建模，探究材料陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、板的幾何尺寸和熱環(huán)境對(duì)FGMs板模態(tài)頻率的影響。

1 FGMs板的建模

1.1 FGMs板模型描述

以圖1所示的FGMs板為研究對(duì)象。假設(shè)板的幾何尺寸是a×b×h，板的上表面和下表面分別由純陶瓷和純金屬制成，中間部分的材料成分由純金屬向純陶瓷連續(xù)變化。FGMs材料屬性的這種連續(xù)性變化受到環(huán)境溫度和空間位置共同影響。

圖1 FGMs板模型Fig.1 FGMs plate model

建立圖1所示的（x，y，z）直角坐標(biāo)系，假設(shè)溫度梯度只沿厚度方向變化，基于混合率模型，F(xiàn)GMs在任意空間位置的有效材料屬性可表示為[22-24]：

式中：Γ（z，T）表示 FGMs的有效熱物理特性，如彈性模量E、泊松比ν、密度ρ和熱傳導(dǎo)系數(shù)β等；T是溫度值，表達(dá)式為T=T0+ ΔT（z），T0是環(huán)境溫度，ΔT（z）是沿z軸厚度方向的溫差；N是FGMs陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)，取值為 0 ≤N< ∞；Γc（T）和Γm（T）分別代表FGMs組分中陶瓷和金屬的熱物理特性，可由非線性函數(shù)表示[22-24]：

式中：αi（i= ?1，0，1，2，3）是材料溫敏特性參數(shù)，具體取值見(jiàn)表1所示。

表1 SUS304 和 Si3N4 溫敏特性系數(shù)[25]Table 1 Temperature-dependent coefficients of SUS304 and SiN[25]34

1.2 FGMs板的建模方法

利用溫度在有限元模型中隨空間位置連續(xù)變化的特點(diǎn)，可建立溫度值與實(shí)際材料物理屬性的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立層間材料特性無(wú)突變的連續(xù)模型。建模思路是：首先確定FGMs板沿梯度方向的分層數(shù)；然后計(jì)算特定空間位置的FGMs物理屬性和溫度值，并建立溫度與FGMs物理屬性之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；最后在載荷分析模塊對(duì)FGMs板模型整體施加基于空間位置變化的溫度場(chǎng)函數(shù)。在有限元運(yùn)算時(shí)，Gauss積分點(diǎn)處會(huì)自動(dòng)根據(jù)設(shè)置的溫度場(chǎng)函數(shù)獲取該積分點(diǎn)的實(shí)際溫度值，通過(guò)FGMs物理屬性和溫度間的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到Gauss積分點(diǎn)處的實(shí)際FGMs物理屬性。本工作中，采用一階單元進(jìn)行線性插值，Gauss積分點(diǎn)其他區(qū)域的FGMs物理屬性會(huì)根據(jù)積分點(diǎn)處的FGMs物理屬性進(jìn)行線性插值，實(shí)現(xiàn)FGMs物理屬性的連續(xù)變化，如圖2所示。

圖2 FGMs 板的分層建模方法Fig.2 Modeling principle of FGMs plate

如圖2所示，F(xiàn)GMs板沿厚度方向總共分為n + 2 層，其中 T1、T2…Tn + 1和 x1、x2…xn + 1分別表示Gauss積分點(diǎn)處的溫度值和位置?；谏鲜鼋７椒ǎ傻玫矫枋鰪椥阅Ａ縀、泊松比ν和密度ρ的線性函數(shù)：

式中：Ei、νi和ρi分別表示對(duì)應(yīng)積分點(diǎn)處與溫度相關(guān)聯(lián)的第i個(gè)Gauss積分點(diǎn)的彈性模量、泊松比和材料密度；z表示材料厚度方向的坐標(biāo)，i表示層數(shù)（0 < i < n + 2），zi表示第 i層的坐標(biāo)（zi-1< z < zi）；系數(shù) ai、bi、ci、di、ei和 fi的表達(dá)式如下：

2 熱環(huán)境對(duì) FGMs 彈性模量的影響

由于超音速飛行器在飛行時(shí)需要面臨復(fù)雜的熱環(huán)境，致使FGMs的物理屬性改變，進(jìn)而影響FGMs結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率。為便于分析，忽略溫度對(duì)FGMs的比熱和熱膨脹系數(shù)等參數(shù)的影響，下面僅考慮沿厚度方向一維分布的熱環(huán)境對(duì)FGMs彈性模量的影響。

2.1 熱環(huán)境的描述

假設(shè)作用在FGMs板底部和頂部的溫度分別為 Tb和 Tt，則上下表面溫差 ΔT = Tt?3 Tb。FGMs板沿厚度方向一維升高的均勻溫度場(chǎng)表示為：

線性溫度場(chǎng)表示為：

非線性溫度場(chǎng)下，沿厚度方向的溫升可由一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程解得，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程和溫升分布函數(shù)可分別表示為[26]：

式中：β（z）表示熱傳導(dǎo)系數(shù)；h表示FGMs板厚。

圖 3 描述了陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù) N = 1，ΔT = 500 K時(shí)三種溫升下沿厚度方向的溫度場(chǎng)分布規(guī)律。

圖3 三種溫升下沿厚度方向溫度場(chǎng)的分布Fig.3 Distribution of temperature field along thickness direction under three temperature rises

2.2 熱環(huán)境對(duì)彈性模量的影響

取環(huán)境溫度 T0= 300 K，溫度梯度值從 0 K 變化到 1100 K，陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù) N = 2，E0為室溫下SUS304的彈性模量，Ei為不同溫度下FGMs的彈性模量。

如圖4所示，不同熱環(huán)境對(duì)FGMs的彈性模量都有一定影響，這必定會(huì)影響FGMs板的剛度等，進(jìn)而影響板的模態(tài)頻率。

3 建模方法的驗(yàn)證和分層收斂性

3.1 建模方法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證建模方法的準(zhǔn)確性，假定FGMs板的長(zhǎng)寬比 a/b = 1、厚 h = 0.02 m，長(zhǎng) a = 0.2 m，陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N = 2。采用分層模型計(jì)算不同均勻熱環(huán)境下FGMs板的前6階模態(tài)頻率，并與文獻(xiàn)[25]、[27]和[28]的結(jié)果對(duì)比。

如圖5所示，第2、3階模態(tài)頻率為板的對(duì)稱模態(tài)，本模型求解的模態(tài)頻率值與文獻(xiàn)結(jié)果間的誤差在一定范圍內(nèi)，并與理論值大致吻合，證明了本工作建模方法的有效性。

圖4 熱環(huán)境對(duì)彈性模量的影響 （a）均勻溫度場(chǎng)；（b）線性溫度場(chǎng)；（c）非線性溫度場(chǎng)Fig.4 Effects of thermal environment on Young ’s modulus （a） uniform temperature field； （b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖5 均勻溫升下 FGMs 板前 6 階模態(tài)頻率對(duì)比Fig.5 Comparisons of the first six modal frequencies for FGMs plate subjected to uniform temperature rise

3.2 分層的收斂性

雖然線性分層模型無(wú)需對(duì)FGMs板進(jìn)行實(shí)體分割，但需對(duì)FGMs梯度方向進(jìn)行取點(diǎn)分層，因此存在分層數(shù)的收斂性問(wèn)題。采用與3.1節(jié)相同的FGMs板模型，將層數(shù)設(shè)置在2層到50層不等，分別計(jì)算FGMs板的模態(tài)頻率。對(duì)模型施加均勻溫度場(chǎng)，定義 T0= 300 K，ΔT = 0 K。如圖6所示，不同階模態(tài)頻率隨分層數(shù)的變化趨勢(shì)大致相似，當(dāng)分層數(shù)大于10時(shí)，模態(tài)頻率值已經(jīng)收斂。因此，本工作將FGMs板沿梯度方向分為20層。

4 FGMs板的模態(tài)頻率分析

假設(shè) FGMs板的環(huán)境溫度 T0= 300 K，板的幾何尺寸 a × b × h = 0.5 m × 0.625 m × 0.05 m，板的四邊底部完全固支。建模時(shí)，將FGMs板沿厚度分20層，全部采用C3D8R單元，單元數(shù)為77280。通過(guò)Python編程建立FGMs板的參數(shù)化有限元模型，分別計(jì)算陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、板的長(zhǎng)寬比和熱環(huán)境對(duì)FGMs板模態(tài)頻率的影響。

圖6 模態(tài)頻率的收斂性Fig.6 Convergence of modal frequencies

圖 7 為 ΔT= 300 K 時(shí)，不同熱環(huán)境下 FGMs板模態(tài)頻率與板長(zhǎng)寬比、陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N之間的關(guān)系。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：同一長(zhǎng)寬比時(shí)，F(xiàn)GMs板模態(tài)頻率隨N的增大逐漸減??；當(dāng)N小于2時(shí)，模態(tài)頻率變化更為明顯；相同N時(shí)，長(zhǎng)寬比增大會(huì)增加使模態(tài)頻率下降率。

圖8展示了N= 5時(shí)，不同熱環(huán)境下FGMs板的模態(tài)頻率與板長(zhǎng)寬比和溫度梯度的關(guān)系。結(jié)果表明：同一長(zhǎng)寬比時(shí)，F(xiàn)GMs板的模態(tài)頻率隨著溫度梯度增加而逐漸減??；均勻溫度場(chǎng)的溫升對(duì)模態(tài)頻率的影響最為明顯；線性溫度場(chǎng)溫升對(duì)模態(tài)頻率的影響最小；非線性溫度場(chǎng)下，當(dāng)溫度梯度在300~400 K時(shí)，模態(tài)頻率的下降率最大，隨后趨于平穩(wěn)。

分析表明，長(zhǎng)寬比等于1.6時(shí)，F(xiàn)GMs板的固有頻率變化較大。圖9研究了長(zhǎng)寬比等于1.6時(shí)不同熱環(huán)境下溫度梯度和體積分?jǐn)?shù)指數(shù)與模態(tài)頻率的關(guān)系。結(jié)果表明：N不變時(shí)，模態(tài)頻率隨溫度梯度的增大逐漸減??；溫度梯度不變時(shí)，模態(tài)頻率下降率隨體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的增大逐漸減??；除均勻溫度場(chǎng)外，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N相比溫度梯度ΔT對(duì)模態(tài)頻率的影響更為明顯。

以溫度梯度為800 K和 300 K時(shí)FGMs板的模態(tài)頻率為參考，定義模態(tài)頻率下降率η：

圖7 陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和長(zhǎng)寬比對(duì)模態(tài)頻率的影響 （a）均勻溫度場(chǎng)；（b）線性溫度場(chǎng)；（c）非線性溫度場(chǎng)Fig.7 Effects of volume fraction index and aspect ratio on the modal frequencies （ a） uniform temperature field； （ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖8 溫度梯度和長(zhǎng)寬比對(duì)模態(tài)頻率的影響 （a）均勻溫度場(chǎng)；（b）線性溫度場(chǎng)；（c）非線性溫度場(chǎng)Fig.8 Effects of temperature gradient and aspect ratio on the modal frequencies （ a） uniform temperature field； （ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖9 陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和溫度梯度對(duì)模態(tài)頻率的影響 （a）均勻溫度場(chǎng)；（b）線性溫度場(chǎng)；（c）非線性溫度場(chǎng)Fig.9 Effects of volume fraction index and temperature gradient on the modal frequencies （ a） uniform temperature field；（b）linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖10研究了長(zhǎng)寬比等于1.6時(shí)不同熱環(huán)境下FGMs板的前三階模態(tài)頻率與陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N的關(guān)系。結(jié)果表明：均勻溫度場(chǎng)下FGMs板的前三階模態(tài)頻率的下降率約等于線性和非線性溫度場(chǎng)下模態(tài)頻率下降率的4倍，即均勻溫度場(chǎng)對(duì)模態(tài)頻率十分敏感；均勻溫度場(chǎng)下，模態(tài)階次越高模態(tài)頻率下降率越大，且N對(duì)高階模態(tài)的影響更大；而在線性和非線性溫度場(chǎng)下，模態(tài)階次越大，模態(tài)頻率下降率越小，N對(duì)第一階模態(tài)的影響最大；均勻溫度場(chǎng)下，當(dāng)N小于2時(shí)，模態(tài)頻率下降率隨N增大急劇增大；而線性和非線性溫度場(chǎng)下，隨著N的逐漸增大，模態(tài)頻率下降率近似呈現(xiàn)一次遞增的趨勢(shì)，對(duì)模態(tài)頻率的影響也越來(lái)越大。

圖10 熱環(huán)境對(duì)模態(tài)下降率的影響 （a）均勻溫度場(chǎng)；（b）線性溫度場(chǎng)；（c）非線性溫度場(chǎng)Fig.10 Effects of thermal environment on the decrease ratio of modal frequencies （ a） uniform temperature field； （ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

5 結(jié)論

（1）基于溫度控制的FGMs線性分層建模方法相對(duì)于傳統(tǒng)的均勻?qū)傩苑謱咏Ｋ枷?，更符合功能梯度材料沿厚度連續(xù)分布的建模思想，而且建模更加便捷、高效。

（2）熱環(huán)境對(duì)FGMs物理屬性的影響明顯，在利用FGMs設(shè)計(jì)飛行器壁板時(shí)必須考慮熱環(huán)境對(duì)FGMs物理特性的作用。

（3）FGMs板的幾何尺寸不變時(shí)，增大陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N會(huì)減小FGMs板的模態(tài)頻率；當(dāng)陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N小于2時(shí)，模態(tài)頻率變化十分明顯；在利用FGMs設(shè)計(jì)飛行器壁板時(shí)，建議陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N大于2。

（4）FGMs體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N不變時(shí)，增大板的長(zhǎng)寬比有利于提高板的模態(tài)頻率下降率；長(zhǎng)寬比不變時(shí)，對(duì)模態(tài)頻率影響最大的是均勻溫升，最小的是線性溫升；溫度梯度在300~400 K時(shí)，非線性溫升對(duì)模態(tài)頻率的影響較大。

（5）溫度梯度在300~800 K時(shí)，均勻溫度場(chǎng)對(duì)模態(tài)頻率下降率的影響近似于4倍的線性溫度場(chǎng)和非線性溫度對(duì)模態(tài)頻率下降率的影響，而且均勻溫度場(chǎng)對(duì)高階模態(tài)的影響最大，而線性和非線性溫度場(chǎng)對(duì)一階模態(tài)的影響更大。