正交各向異性介質(zhì)反射系數(shù)精確解

張雪瑩 孫鵬遠(yuǎn) 馬學(xué)軍 蘆 俊 李夢(mèng)琦

（①中國地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京100083；②東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心，河北涿州072751；③中國石化西北油田分公司勘探開發(fā)研究院，烏魯木齊830011；④中國地質(zhì)大學(xué)（北京）地球物理與信息技術(shù)學(xué)院，北京100083）

0 引言

中國陸相沉積巖大多具有薄互層特征，當(dāng)受到構(gòu)造運(yùn)動(dòng)的影響時(shí)，會(huì)發(fā)育垂向或近似垂向的高角度裂縫，呈現(xiàn)出典型的正交各向異性特征。作為一種重要的含油氣儲(chǔ)層，裂縫型儲(chǔ)層中發(fā)育的裂縫既可以作為油氣儲(chǔ)集空間，又可以作為滲流通道［1］。研究正交各向異性的AVO 響應(yīng)對(duì)裂縫型儲(chǔ)層的精細(xì)刻畫有重要意義。

裂縫儲(chǔ)層的各向異性是指含裂縫地層的彈性性質(zhì)在不同方向上具有差異，且與誘導(dǎo)裂縫的構(gòu)造應(yīng)力有關(guān)［2］。國外學(xué)者在各向異性領(lǐng)域的研究起步較早，Christoffel［3］提出用彈性張量描述介質(zhì)的各向異性，因此各向異性波動(dòng)方程稱為Christoffel方程。Crampin［4］首次發(fā)現(xiàn)各向異性介質(zhì)中的地震橫波分裂現(xiàn)象，并分析了地球上常見的各向異性介質(zhì)的種類與特征。在此基礎(chǔ)上，Hudson［5-6］推導(dǎo)了由于裂縫存在而產(chǎn)生的一階和二階擾動(dòng)量，給出了含定向裂縫介質(zhì)的彈性模量的計(jì)算方法，但只適用于高頻情況。Schoenberg等［7-8］在位移不連續(xù)和旋轉(zhuǎn)不變性的假設(shè)下，忽略裂縫的形狀與結(jié)構(gòu)，提出了線性滑移理論，并對(duì)多組裂縫尺度進(jìn)行了數(shù)值模擬。Thomsen［9］提出了弱各向異性理論，給出了表征弱各向異性VTI介質(zhì)的參數(shù)，并據(jù)此推導(dǎo)了相速度和群速度的近似表達(dá)式。當(dāng)介質(zhì)中存在與地層走向垂直的裂隙時(shí)，使用正交各向異性模型描述更合理。Tsvankin［10］基于Thomsen的TI介質(zhì)參數(shù)，分別在三個(gè)對(duì)稱面內(nèi)求解Christoffel方程，給出了正交各向異性介質(zhì)的參數(shù)化方法，并推導(dǎo)了弱正交各向異性介質(zhì)中qP波相速度近似表達(dá)式?；赥svankin提出的正交各向異性參數(shù)，Bakulin等［11-13］對(duì)兩種正交各向異性模型進(jìn)行了研究，分別在VTI背景下嵌入一組垂直裂縫和兩組相互垂直的裂縫，運(yùn)用Schoenberg的柔度建模理論構(gòu)建剛度系數(shù)矩陣。Rokhlin［14］基于Christoffel方程和邊界條件提出了一種計(jì)算一般各向異性介質(zhì)反射系數(shù)和透射系數(shù)的方法；Rüger［15-17］推導(dǎo)了弱各向異性介質(zhì)中反射系數(shù)近似公式，并運(yùn)用縱波方位AVO 檢測(cè)裂縫。

國內(nèi)學(xué)者在各向異性領(lǐng)域的研究起步較晚，但是在正交各向異性方面的研究也有一些進(jìn)展，傅旦丹等［18］研究了偽譜法在正交各向異性介質(zhì)中的應(yīng)用，分析了偽譜法的穩(wěn)定性，并將Backus方法與Hudson理論結(jié)合，推出了周期性薄互層（PTL）與廣泛擴(kuò)容各向異性（EDA）組合的等效正交各向異性彈性常數(shù)的計(jì)算公式。張文生等［19］利用有限差分方法模擬正交各向異性介質(zhì)中地震波場(chǎng)；魏建新［20］應(yīng)用物理模擬方法研究了正交各向異性介質(zhì)的波場(chǎng)特征；李娜［21］基于Tsvankin的各向異性參數(shù)研究了正交各向異性介質(zhì)的相速度和群速度。許茜茹等［22］通過耦合S波射線理論和基于迭代的各向異性相速度與偏振矢量的高階近似解，得到了適用于正交各向異性介質(zhì)以qP波入射產(chǎn)生的二階反射、透射系數(shù)的計(jì)算公式。張繁昌等［23］針對(duì)兩組裂縫垂直的正交各向異性介質(zhì)，基于Schoenberg的柔度建模理論構(gòu)建剛度矩陣，推導(dǎo)了反射系數(shù)公式，并運(yùn)用Fourier級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)了裂縫方位。唐杰等［24］以兩組垂直裂縫的正交各向異性介質(zhì)為研究對(duì)象，研究了干燥和完全水飽和的地震波響應(yīng)特征。郭愷等［25］研究了正交各向異性介質(zhì)的多參數(shù)建模方法；單俊臻等［26］推導(dǎo)了一種新的PP 波HTI介質(zhì)反射系數(shù)一階擾動(dòng)公式，突破了傳統(tǒng)反射系數(shù)近似公式僅適用于小炮間距的局限。秦海旭等［27］將兩組裂縫垂直斜交的各向異性地層等效為單斜介質(zhì)，推導(dǎo)了qP波方程并進(jìn)行了正演模擬。

在上述研究中，基于波動(dòng)方程的正演模擬方法得到的正交各向異性的地震波場(chǎng)非常復(fù)雜，多種模式的波相互混雜，再加上難以完全消除的數(shù)值頻散與邊界效應(yīng)，無法用于定量分析正交各向異性介質(zhì)的AVO 響應(yīng)特征。另外，弱正交各向異性假設(shè)下的反射系數(shù)近似公式的精度沒有得到有效驗(yàn)證，無法適用于裂縫發(fā)育程度高或者VTI背景各向異性程度較強(qiáng)的地層。

針對(duì)上述問題，本文針對(duì)VTI背景介質(zhì)中發(fā)育的一組直立裂縫誘導(dǎo)的正交各向異性，采用Tsvankin提出的各向異性參數(shù)構(gòu)建剛度系數(shù)矩陣，再根據(jù)Christoffel方程求解出慢度矢量和偏振矢量，并結(jié)合彈性波傳播理論的邊界位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件，導(dǎo)出了計(jì)算精確反射系數(shù)和透射系數(shù)的方法。使用十二個(gè)各向異性模型分析背景VTI介質(zhì)各向異性強(qiáng)度和裂縫發(fā)育程度對(duì)正交各向異性介質(zhì)反射系數(shù)的影響。為了驗(yàn)證本文計(jì)算結(jié)果的正確性，與Rüger的反射系數(shù)近似公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

1 正交各向異性介質(zhì)彈性剛度矩陣

本文的正交各向異性介質(zhì)是指在VTI背景介質(zhì)中發(fā)育有一組垂直裂縫，如圖1的下層所示。

圖1中x1軸垂直于裂縫面，對(duì)稱面x2Ox3平行于裂縫面，x1Ox3垂直于裂縫面，x1Ox2平行于水平界面，θ 為入射波傳播方向與x3軸的夾角（入射角），φ 為入射平面與x1軸的夾角（方位角）。文中用上標(biāo)“U、L”分別代表上層介質(zhì)和下層介質(zhì)，下標(biāo)“1、2、3”對(duì)應(yīng)軸x1、x2、x3軸向。相速度傳播方向?yàn)椴ㄇ胺ㄏ?，慢度為相速度的倒?shù)。

正交各向異性介質(zhì)的彈性剛度系數(shù)矩陣為

Tsvankin［9］定義的正交各向異性介質(zhì)中三個(gè)不同的正交對(duì)稱面上的各向異性參數(shù)為

式中：VP0為沿著垂直方向（x3方向）傳播的P波速度；VS0為沿著垂直方向傳播且沿著x2方向偏振的S 波 速 度；ε（1，2）、γ（1，2）、δ（1，2，3）表 示 不 同 平 面 內(nèi) 的Thomsen型各向異性參數(shù)，其中上標(biāo)“1、2、3”分別代表x2Ox3、x1Ox3和x1Ox2平面［11］。

可根據(jù)以上Tsvankin的各向異性參數(shù)構(gòu)建彈性剛度系數(shù)矩陣，即

2 正交各向異性介質(zhì)彈性波反射／透射系數(shù)精確解

Christoffel方程是由波動(dòng)方程導(dǎo)出，用于研究地震波的慢度和偏振矢量等傳播特征［28］?；贑hristoffel方程及其變形，結(jié)合Snell定律求解出反射波和透射波的慢度矢量和偏振矢量，并根據(jù)邊界的位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件，求出反射系數(shù)和透射系數(shù)精確解。

2.1 入射P波的慢度矢量計(jì)算

一般均勻完全彈性各向異性介質(zhì)中地震波時(shí)間域Christoffel方程［3］為

即

式中：E 為單位矩陣；ρ為介質(zhì)的密度；P 為波的偏振矢量。

根據(jù)廣義虎克定律，可得

式中s1、s2、s3為慢度矢量的三個(gè)分量。

當(dāng)界面上、下介質(zhì)為正交各向異性或是更高對(duì)稱性的介質(zhì)時(shí)，假設(shè)入射波以圖1方式入射，則入射波波前的法向單位矢量為

式（4）兩邊同乘V2／ρ可得［29］

其展開形式為

此時(shí)求解式（8）就等價(jià)于相速度V（特征值）和偏振矢量P（特征向量）的求解問題。為滿足非零解條件，Christoffel矩陣的行列式值為零，即變成求解V2的一元三次方程

解式（11）可得入射波的相速度VP、VS1、VS2（VP＞VS1＞VS2），則入射P波的慢度為

2.2 反射波和透射波的慢度矢量計(jì)算

若用si表示不同波的慢度矢量（i＝0、1、…、6，分別代表入射P 波、反射P、S1、S2波、透射P、S1、S2波），則

根據(jù)Snell定律，對(duì)于所有的入射、反射和透射波，與界面平行的兩個(gè)慢度矢量的分量是相等的，即

式（4）的未知解是慢度矢量和偏振矢量，對(duì)于反射波和透射波慢度矢量的分量si3，為滿足非零解條件，則需求解方程

把上層介質(zhì)和下層介質(zhì)的參數(shù)以及已知的si1和si2代入式（16），可以解出上、下介質(zhì)中的六個(gè)si3。

2.3 反射波和透射波的偏振矢量計(jì)算

若用Pi表示偏振矢量（i＝0、1、…、6，分別代表入射P波、反射P、S1、S2波、透射P、S1、S2波），即

式（16）已求得慢度矢量，再結(jié)合偏振矢量的歸一化，對(duì)于上層介質(zhì)有

對(duì)于下層介質(zhì)有

運(yùn)用Zhou等［30］的方法求解式（18）和式（19），可得到反射波和透射波的偏振矢量。

對(duì)于求得的7個(gè)偏振矢量，需要通過其與相速度的關(guān)系進(jìn)行偏振矢量符號(hào)的校正。根據(jù)Chen［31］的校正方法，對(duì)于入射、反射和透射的P 波，若偏振矢量P 與慢度矢量s 的點(diǎn)乘大于0，則偏振矢量的符號(hào)為正；對(duì)于反射和透射的S波，入射面的法向量N 為慢度矢量s 與入射波波前法向矢量n 的叉乘，若偏振矢量P 與入射面法向量N 的點(diǎn)乘為正，則偏振矢量的符號(hào)為正。

2.4 反射系數(shù)和透射系數(shù)的求解

根據(jù)彈性波傳播理論，當(dāng)入射P 波入射到界面時(shí)，應(yīng)滿足邊界的位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件。根據(jù)Rokhlin［14］給出的邊界條件可以導(dǎo)出反射系數(shù)和透射系數(shù)計(jì)算公式，即

式中

3 模型分析

為了分析不同類型各向異性參數(shù)對(duì)反射系數(shù)的影響，先將正交各向異性分別退化到用單組裂縫弱度參數(shù)描述的HTI介質(zhì)和用Thomsen參數(shù)描述的VTI介質(zhì)。然后，分兩種情況進(jìn)行數(shù)值分析：①固定裂縫弱度參數(shù)不變，變化背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)；②固定背景VTI各向異性參數(shù)不變，變化裂縫弱度參數(shù)。

為了驗(yàn)證本文中正交各向異性反射系數(shù)計(jì)算方法的有效性，將計(jì)算結(jié)果與Rüger在正交各向異性介質(zhì)中x1Ox3與x2Ox3面的PP波近似反射系數(shù)進(jìn)行對(duì)比；再將退化的HTI和VTI介質(zhì)的反射系數(shù)與Rüger近似公式所得到的反射系數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

3.1 正交各向異性參數(shù)與VTI各向異性參數(shù)和裂縫弱度參數(shù)的關(guān)系

Bakulin等［12］給出了正交各向異性參數(shù)與背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)以及裂縫弱度參數(shù)的關(guān)系為式中：下標(biāo)“b”表示VTI背景介質(zhì)；g＝V2S0／V2P0；ZN、ZV和ZH是無量綱參數(shù)，分別表示裂縫的法向弱度、垂直切向弱度以及水平切向弱度［32］。

3.2 P波從低阻抗介質(zhì)入射到高阻抗介質(zhì)

假設(shè)模型的上層為低阻抗各向同性介質(zhì)，下層為高阻抗的正交各向異性介質(zhì)。根據(jù)式（3），剛度系數(shù)矩陣可以用P 波垂直速度VP0、S 波垂直速度VS0、密度ρ以及各向異性參數(shù)表示。

模型上層介質(zhì)參數(shù)為：VP0＝3150m／s，VS0＝1615m／s，ρ＝2322kg／m3，ε（1）＝ε（2）＝γ（1）＝γ（2）＝δ（1）＝δ（2）＝δ（3）＝0。

模型下層介質(zhì)參數(shù)為：VP0＝3310m／s，VS0＝1697m／s，ρ＝2351kg／m3，其各向異性參數(shù)如表1或表2所示。

3.2.1 裂縫弱度參數(shù)固定不變，變化背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)

首先，固定三個(gè)裂縫弱度參數(shù)不變，改變背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)，分析其對(duì)反射系數(shù)的影響。表1 參數(shù)由式（23）計(jì)算得到，裂縫弱度參數(shù)ZN、ZV和ZH分別為0.215、0.120、0.090；VTI各向異性參數(shù)由弱變強(qiáng)：模型A1的背景為各向同性介質(zhì)，εb＝0、γb＝0、δb＝0，此時(shí)正交各向異性介質(zhì)退化為HTI介質(zhì)；模型A2 的背景為弱各向異性VTI介質(zhì)，εb＝0.1、γb＝0.12、δb＝0.07；模型A3的背景為強(qiáng)各向異性VTI介質(zhì)，εb＝0.3、γb＝0.25、δb＝0.15。

固定θ＝20°，φ 從0°變化到90°時(shí)模型A1、A2、A3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2曲線如圖2所示。可以看出：

（1）PP波反射系數(shù)的方位各向異性較弱；從模型A1到模型A3，VTI各向異性的增強(qiáng)導(dǎo)致RPP增大，模型A2比模型A1增大了40%，模型A3比模型A1增大了86%。

（2）反射系數(shù)RPS1方位各向異性很強(qiáng)，且隨方位角增大而減??；從模型A1到模型A3，VTI各向異性的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS1減小，最大時(shí)模型A2比模型A1減小了33%，模型A3比模型A1減小了83%；

（3）反射系數(shù)RPS2也具有很強(qiáng)的方位各向異性，曲線變化趨勢(shì)與RPS1沿著方位呈大體鏡像關(guān)系，但是量值上有差異；從模型A1到模型A3，VTI各向異性的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS2減小，最大時(shí)模型A2 比模型A1減小了30%，模型A3比模型A1減小了70%。

表1 裂縫弱度參數(shù)不變、背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)變化時(shí)的正交各向異性參數(shù)

固定φ＝60°，模型A1、A2、A3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ的變化曲線如圖3所示。由圖可知：

（1）小入射角時(shí)（θ＜10°），反射系數(shù)RPP受背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)的影響不大。但是，隨著θ的增大，模型A1 的RPP隨θ 增大而減小，且在θ≈35°時(shí)發(fā)生極性轉(zhuǎn)變；從模型A1到模型A3，VTI各向異性增強(qiáng)導(dǎo)致大入射角的RPP增大。

（2）隨著θ的增大，反射系數(shù)RPS1在θ＜30°時(shí)都呈增大的趨勢(shì)，而在30°～45°范圍內(nèi)模型A2、A3開始減小，模型A3在θ≈35°出現(xiàn)了極性轉(zhuǎn)變；從模型A1到模型A3，VTI各向異性參數(shù)的增大導(dǎo)致RPS1減小，在θ＝30°時(shí)模型A2比模型A1減小了50%，模型A3比模型A1減小了75%。

（3）隨著θ的增大，反射系數(shù)RPS2與RPS1變化趨勢(shì)一致；從模型A1到模型A3，VTI各向異性系數(shù)的增大導(dǎo)致RPS2減小，在θ＝30°時(shí)模型A2 比模型A1減小了37.5%，模型A3比模型A1減小了75%。

φ 在0°～90°內(nèi)變化、θ在臨界角范圍以內(nèi)，P波由各向同性介質(zhì)入射到正交各向異性模型A1、A2和A3時(shí)的反射系數(shù)RPP、RPS1和RPS2的等值線圖分別如圖4、圖5、圖6所示，可以看出：

（1）隨著VTI背景各向異性程度的增強(qiáng)，RPP等值線曲率變化不大，只在反射系數(shù)的量值上有整體增大，且靠近臨界角時(shí)增加幅度最大。

（2）RPS1和RPS2隨方位變化的程度遠(yuǎn)大于RPP，都有隨著背景介質(zhì)VTI各向異性強(qiáng)度增強(qiáng)而減小的趨勢(shì)，且等值線曲率變化也較大。

由于背景介質(zhì)中插入的裂縫弱度值不大，裂縫誘導(dǎo)的HTI各向異性屬于弱各向異性。針對(duì)此類正交各向異性介質(zhì)的AVO 分析，單純的PP波對(duì)裂縫的發(fā)育以及背景介質(zhì)的VTI各向異性程度的敏感度遠(yuǎn)小于PS1波和PS2波。

圖3 φ＝60°時(shí)模型A1、A2和A3的R PP（a）、R PS1（b）、R PS2（c）隨θ的變化曲線

圖4 入射P波由各向同性到各向異性模型A1（a）、A2（b）、A3（c）反射系數(shù)R PP等值線圖

圖5 入射P波由各向同性到各向異性模型A1（a）、A2（b）、A3（c）反射系數(shù)R PS1等值線圖

圖6 入射P波由各向同性到各向異性模型A1（a）、A2（b）、A3（c）反射系數(shù)R PS2等值線圖

3.2.2 背景介質(zhì)VTI各向異性系數(shù)固定不變，變化裂縫弱度參數(shù)

由式（23）可知，當(dāng)固定背景VTI介質(zhì)的三個(gè)各向異性參數(shù)不變（εb＝0.1，γb＝0.12，δb＝0.07，與表1中模型A2的背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)取值相同）時(shí)，改變?nèi)齻€(gè)裂縫弱度值會(huì)影響HTI各向異性的強(qiáng)弱，弱度越大則HTI各向異性越強(qiáng)。表2為下層高阻抗介質(zhì)的背景VTI各向異性參數(shù)固定不變、變化裂縫弱度參數(shù)計(jì)算的正交各向異性參數(shù)值。模型B1的裂縫弱度參數(shù)ZN＝ZV＝ZH＝0，此時(shí)正交各向異性介質(zhì)退化為VTI各向異性介質(zhì)；模型B2的裂縫弱度參數(shù)ZN＝0.215、ZV＝0.120、ZH＝0.090，呈弱HTI各向異性，等同于表1中的模型A2；模型B3的裂縫弱度參數(shù)ZN＝0.215、ZV＝0.120、ZH＝0.090，裂縫發(fā)育程度較高，HTI各向異性也較強(qiáng)。

固定θ＝20°，φ 在0°～90°變化時(shí)模型B1、B2、B3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2曲線如圖7所示。由圖7可知：

（1）裂縫的發(fā)育會(huì)導(dǎo)致PP 波的反射系數(shù)變小，模型B2比模型B1減小了32%，模型B3比模型B1減小了64%；即使在裂縫弱度較強(qiáng)的情況下，PP 波的反射系數(shù)的方位各向異性也是比較微弱的。

表2 背景VTI各向異性參數(shù)不變、裂縫弱度參數(shù)變化時(shí)的正交各向異性參數(shù)

圖7 θ＝20°時(shí)模型B1、B2和B3的反射系數(shù)R PP（a）、R PS1（b）、R PS2（c）隨φ 的變化曲線

（2）反射系數(shù)RPS1受φ 的影響較大，在φ＝0°時(shí)，即平行裂縫面時(shí)，RPS1最大；在φ＝90°時(shí)，即垂直裂縫面時(shí)，RPS1為0；從模型B1到模型B3，裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS1增大，最大時(shí)模型B2比模型B1增加了300%，模型B3 比模型B1 增加了600%。當(dāng)裂縫不發(fā)育時(shí)（模型B1），RPS1不存在方位各向異性，等同于PSV 波的反射系數(shù)。

（3）反射系數(shù)RPS2在φ＝0°時(shí)最小，φ＝90°時(shí)最大；從模型B1 到模型B3，裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS2增加，最大時(shí)模型B3比模型B2增加了100%。

固定φ＝60°時(shí)，模型B1、B2、B3 的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ 的 變 化 曲 線 如 圖8 所 示，由 圖可知：

（1）θ 在0°～45°（臨界角以內(nèi)）范圍內(nèi)，反射系數(shù)RPP在θ＜5°時(shí)無明顯差別，隨著θ增大，RPP表現(xiàn)不同，裂縫弱度越大，RPP減小越快；最大時(shí)模型B2比模型B1減小了75%，模型B3比模型B1減小了

100%。

（2）隨著θ增大，RPS1在θ＜25°時(shí)都呈增大的趨勢(shì)，而在25°～45°范圍內(nèi)模型B1、B2 開始減小，模型B1在θ≈30°出現(xiàn)了極性轉(zhuǎn)變；從模型B1到模型B3，裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS1增大，θ＝25°時(shí)模型B2比模型B1增大了100%，模型B3比模型B1增大了300%。

（3）隨著θ 增大，當(dāng)裂縫發(fā)育時(shí)，RPS2都呈負(fù)極性方向增大的趨勢(shì)，在θ＝0°時(shí)最小，在θ＝45°時(shí)最大；從模型B1 到模型B3，裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS2增大，最大時(shí)模型B3比模型B2增大了100%。

φ 在0°～90°內(nèi)變化、θ在臨界角范圍以內(nèi)，P波由各向同性介質(zhì)入射到正交各向異性模型B1、B2和B3時(shí)的反射系數(shù)RPP、RPS1和RPS2的等值線圖分別如圖9、圖10、圖11所示，可以看出：隨著裂縫弱度的增強(qiáng)，RPP在正極性方向減小，RPS1和RPS2在負(fù)極性方向增大。總體上，即使裂縫誘導(dǎo)的HTI各向異性較強(qiáng)，RPP的方位各向異性也比較弱，其對(duì)于裂縫發(fā)育的敏感度遠(yuǎn)小于RPS1和RPS2。

圖8 φ＝60°時(shí)模型B1、B2和B3的反射系數(shù)R PP（a）、R PS1（b）、R PS2（c）隨θ的變化曲線

圖9 入射P波由各向同性到各向異性模型B1（a）、B2（b）和B3（c）的反射系數(shù)R PP等值線圖

圖10 入射P波由各向同性到各向異性模型B1（a）、B2（b）和B3（c）的反射系數(shù)R PS1等值線圖

圖11 入射P波由各向同性到各向異性模型B1（a）、B2（b）和B3（c）的反射系數(shù)R PS2等值線圖

3.3 P波從高阻抗介質(zhì)入射到低阻抗介質(zhì)

為了進(jìn)一步探討界面上、下阻抗對(duì)反射系數(shù)的影響，將A、B系列模型的上、下層介質(zhì)的縱橫波速度和密度交換，下層的各向異性參數(shù)保持不變，可得模型C1、C2、C3（表1，裂縫弱度不變，VTI各向異性強(qiáng)度變化）和模型D1、D2、D3（表2，裂縫弱度變化，VTI各向異性參數(shù)不變）。

固定θ＝20°，模型C1、C2、C3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2的隨φ 的變化曲線如圖12所示；固定φ＝60°，模型C1、C2、C3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ的變化曲線如圖13所示。對(duì)比圖12、圖13與圖2、圖3可知，與下層介質(zhì)為高阻抗介質(zhì)的情況相反，當(dāng)下層介質(zhì)為低阻抗介質(zhì)時(shí)，背景介質(zhì)的VTI各向異性強(qiáng)度越強(qiáng)，則PP 波的反射系數(shù)在負(fù)極性方向越小，而PS1波與PS2波在正極性方向越大。

固定θ＝20°，模型D1、D2、D3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨φ 的變化曲線如圖14 所示；固定φ＝60°，模型D1、D2、D3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ的變化曲線如圖15所示。對(duì)比圖14、圖15與圖7、圖8可知，裂縫的發(fā)育會(huì)導(dǎo)致PP 波的反射系數(shù)在負(fù)極性方向變大，而PS1波和PS2波的反射系數(shù)則在正極性方向變小，與下層介質(zhì)為高阻抗介質(zhì)的情況相反。

無論是從低阻抗介質(zhì)入射，還是高阻抗介質(zhì)入射，PP波反射系數(shù)的方位各向異性都遠(yuǎn)小于PS1波和PS2波。

3.4 與Rüger近似反射系數(shù)公式的對(duì)比

為了驗(yàn)證本文反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果的正確性，與Rüger近似公式計(jì)算的正交各向異性反射系數(shù)、HTI介質(zhì)反射系數(shù)和VTI介質(zhì)反射系數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

圖12 θ＝20°時(shí)模型C1、C2和C3的反射系數(shù)R PP（a）、R PS1（b）、R PS2（c）隨φ 的變化曲線

圖13 φ＝60°時(shí)模型C1、C2和C3的反射系數(shù)R PP（a）、R PS1（b）、R PS2（c）隨θ的變化曲線

圖14 θ＝20°時(shí)模型D1、D2和D3的反射系數(shù)R PP（a）、R PS1（b）、R PS2（c）隨φ 的變化曲線

圖15 φ＝60°時(shí)模型D1、D2和D3的反射系數(shù)R PP（a）、R PS1（b）、R PS2（c）隨θ的變化曲線

3.4.1 正交各向異性介質(zhì)

對(duì)于P波入射，Rüger［17］僅推導(dǎo)了正交各向異性介質(zhì)RPP在x1Ox3和x2Ox3面的近似反射系數(shù)公式。將模型A2的參數(shù)代入到其公式計(jì)算反射系數(shù)曲線，并與本文的反射系數(shù)精確解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（圖16）。在x1Ox3面，兩條曲線變化趨勢(shì)一致，當(dāng)θ在0°～20°范圍內(nèi)時(shí)近乎重合（圖16a）；在x2Ox3面，兩條曲線變化趨勢(shì)亦一致，當(dāng)θ 在0°～25°范圍內(nèi)時(shí)近乎重合（圖16b）。

3.4.2 退化到HTI介質(zhì)

依據(jù)式（23）可以將正交各向異性介質(zhì)退化到HTI介質(zhì)。將模型A1代入Rüger［17］的HTI介質(zhì)反射系數(shù)近似公式計(jì)算反射系數(shù)曲線，并與本文的反射系數(shù)精確解對(duì)比（圖17）。由圖17 可以看出RPP、RPS1和RPS2的Rüger近似解與本文精確解變化趨勢(shì)一致；RPS2在0°～20°范圍內(nèi)近乎重合。

3.4.3 退化到VTI介質(zhì)

依據(jù)式（23）可以將正交各向異性介質(zhì)退化到VTI介質(zhì)。將模型B1 參數(shù)代入Rüger的VTI介質(zhì)反射系數(shù)近似公式，并與本文的反射系數(shù)精確解對(duì)比（圖18）。從圖18可以看出，RPP和RPS的近似解與精確解變化趨勢(shì)一致，RPP在0°～25°范圍內(nèi)完全重合，RPS在0°～15°內(nèi)近乎重合。

圖16 正交各向異性介質(zhì)Rüger近似公式與本文方法計(jì)算的反射系數(shù)曲線對(duì)比

圖17 HTI介質(zhì)Rüger近似公式與本文方法計(jì)算的反射系數(shù)曲線對(duì)比

圖18 VTI介質(zhì)Rüger近似公式與本文方法計(jì)算的反射系數(shù)曲線對(duì)比

由以上分析可知，本文反射系數(shù)精確解與Rüger近似公式在中、小角度范圍內(nèi)近乎重合，整體趨勢(shì)一致。因此，本文反射系數(shù)精確解計(jì)算方法正確。

4 結(jié)論

針對(duì)互層背景中發(fā)育一組裂縫的正交各向異性介質(zhì)模型，本文基于Christoffel方程及彈性界面的位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件，推導(dǎo)了反射系數(shù)和透射系數(shù)精確求解方法，建立了正交各向異性參數(shù)與背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)系數(shù)和裂縫參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。通過與Rüger反射系數(shù)近似公式計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了本文計(jì)算結(jié)果的正確性。理論模型計(jì)算結(jié)果表明：

（1）當(dāng)P 波從低阻抗介質(zhì)入射至高阻抗介質(zhì)時(shí)，背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)的變大會(huì)導(dǎo)致PP波反射系數(shù)增大、PS1 波和PS2 波的反射系數(shù)減??；而裂縫弱度的增強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致PP 波反射系數(shù)的減小及PS1波和PS2波的反射系數(shù)的增大。

（2）當(dāng)從高阻抗介質(zhì)入射至低阻抗介質(zhì)時(shí)，背景介質(zhì)VTI各向異性系數(shù)的變大會(huì)導(dǎo)致PP波反射系數(shù)減小、PS1波和PS2波的反射系數(shù)增大；而裂縫弱度的增強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致PP 波反射系數(shù)的增大、PS1 波和PS2波的反射系數(shù)的減小。

（3）PP 波反射系數(shù)的方位各向異性要遠(yuǎn)小于PS1波與PS2波。