換一個(gè)視角看向量法求二面角問題的新思路

付宏祥

(甘肅省定西市安定區(qū)東方紅中學(xué) 743000)

二面角的求解是高考命題中常出現(xiàn)的問題．空間向量的引入，利用平面的法向量的夾角來度量二面角的大小，對二面角的大小求解帶來了很大的方便，不失為一個(gè)好方法．但兩個(gè)法向量均指向二面角的內(nèi)部或外部，則法向量的夾角等于二面角的平面角的補(bǔ)角；兩個(gè)法向量中一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部，則法向量的夾角等于二面角的平面角，需在寫出二面角的平面角的大小前做出判斷后進(jìn)行準(zhǔn)確回答．當(dāng)二面角接近直角或不宜觀察時(shí)，要判斷二面角的大小范圍就有一定的難度了．

我們能不能在求解二面角的平面角大小時(shí)避免判斷直接將問題解決呢？實(shí)質(zhì)上只需回歸二面角的平面角定義，分別在兩半平面內(nèi)尋找從棱出發(fā)垂直棱的向量m、n(如圖1)，則兩向量m、n的夾角即為所求二面角的平面角．向量m、n的得到可以借助共線向量基本定理，即向量共線的充要條件：對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb來求解向量，使得問題完美解決．下面結(jié)合2018、2019年北京卷理科兩道高考試題談?wù)剢栴}解決的具體過程．

(1)求證：AC⊥平面BEF；

(2)求二面角B-CD-C1的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BCD相交．

解析(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)镃C1⊥平面ABC，所以四邊形A1ACC1為矩形．

又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，所以AC⊥EF．

因?yàn)锳B=BC，所以AC⊥BE．

因?yàn)镋F∩BE=E，所以AC⊥平面BEF．

(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．

又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC．因?yàn)锽E?平面ABC，所以EF⊥BE．如圖3建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz．

(3)略．

注：該題第(2)問利用法向量求二面角B-CD-C1的余弦值時(shí)，需結(jié)合實(shí)際判斷該二面角為鈍角，才能準(zhǔn)確表達(dá)出二面角的余弦值，但若采用在二面角半平面內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)南蛄考饶芎喕\(yùn)算，又能準(zhǔn)確表示二面角的大小，避免了運(yùn)用平面法向量求解二面角的大小時(shí)判斷二面角的環(huán)節(jié)，使得問題快速準(zhǔn)確的解決．

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

解析(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．

又因?yàn)锳D⊥CD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．

(2)過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如圖5建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(2,-1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

(3)略．

注：該題第(2)問利用法向量求二面角F-AE-P的余弦值時(shí)，需結(jié)合實(shí)際判斷該二面角為銳角，才能準(zhǔn)確表達(dá)出二面角的余弦值，但是若結(jié)合空間向量的加法、減法及數(shù)乘等基本運(yùn)算尋找垂直于棱的向量，即可靈活、簡練、準(zhǔn)確地解決問題．

在高考立體幾何試題中，有關(guān)二面角的計(jì)算問題屢屢出現(xiàn)，仔細(xì)品味空間角的解法既可從幾何角度解決，又可從向量角度解決，問題解決形式多樣、靈活多變，對我們理解立體幾何問題有很大幫助．大多數(shù)二面角的求解能從實(shí)際出發(fā)，找出從棱出發(fā)分別在各自半平面內(nèi)的垂直于棱的向量，此兩向量的夾角即為所求二面角的平面角，用向量的夾角計(jì)算出二面角的大小，對問題的解決快捷高效、準(zhǔn)確明了，不失為計(jì)算二面角大小的一種好方法，值得大家借鑒．