平面角
- 基于問題驅(qū)動(dòng)的高中數(shù)學(xué)微課設(shè)計(jì)
——以“二面角及其平面角”為例
法對(duì)“二面角的平面角”進(jìn)行微課設(shè)計(jì)。2 教學(xué)分析2.1 教材分析“二面角及其平面角”是人教A版《數(shù)學(xué)》(必修2)第八章第6節(jié)第3課時(shí)內(nèi)容,二面角及其平面角的概念是立體幾何中的基礎(chǔ)概念也是重要概念,二面角的概念完善了空間角的概念。2.2 學(xué)情分析在學(xué)習(xí)“二面角”之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩條直線的垂直定義、兩條直線所成角的定義、直線與平面所成角的定義,以及異面直線所成的角的定義,至此,學(xué)生已經(jīng)具備了一定的空間想象力和概括能力,因此可以從這些已經(jīng)學(xué)過的角的定義出發(fā)進(jìn)
科技風(fēng) 2023年29期2023-10-24
- 錯(cuò)頜畸形中前牙覆頜與下頜角、下頜平面角及腭平面傾斜度相關(guān)性研究
、下頜角、下頜平面角、腭平面角傾斜度（PP-FH）的變化，探討之間的關(guān)系，為臨床正畸治療提供依據(jù)，現(xiàn)報(bào)告如下上。1 資料與方法1.1 一般資料將2019年1月-2022年12月我院口腔科診治的63例錯(cuò)頜畸形患者為研究對(duì)象，均納入研究組。納入標(biāo)準(zhǔn)：（1）恒牙列齊整，未出現(xiàn)牙齒缺失；（2）既往無口腔正畸、正頜治療情況；（3）18～30歲；（4）無嚴(yán)重顱面畸形；（5）對(duì)研究知情并同意。排除標(biāo)準(zhǔn)：（1）＜18歲；（2）合并牙周炎病史、口腔正畸治療史；（3）頜面畸形
中國醫(yī)療美容 2023年10期2023-10-22
- 談?wù)劧娼堑娜N求法
角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，關(guān)鍵是求其平面角的大小.在求二面角時(shí)，需先仔細(xì)審題，明確題目中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用三垂線定理、勾股定理、正余弦定理、夾角公式，根據(jù)二面角以及平面角的定義，作出并求出平面角，即可運(yùn)用直接法快速求得問題的答案.解答本題主要運(yùn)用了空間向量法.首先利用面面垂直的性質(zhì)定理得出OE ⊥ 平面ABCD ；然后找出兩兩垂直的三條直線，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)平面的法向量（即垂直于平面的直線的方向
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2023年6期2023-08-29
- 數(shù)字化背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與探究
解尋找二面角的平面角的本質(zhì)和合理性.在課堂上，加強(qiáng)信息技術(shù)對(duì)課堂效果的影響，以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的積極作用.【關(guān)鍵詞】 立體幾何；二面角；平面角1? 教學(xué)目標(biāo)與數(shù)字化相結(jié)合 借助多媒體或畫圖軟件，使學(xué)生獲取信息更加便捷，教學(xué)內(nèi)容更加直觀.教學(xué)網(wǎng)站的豐富資源，可以是輔助我們教學(xué)的資料.在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，我們可以考慮加入數(shù)字化的教學(xué)情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生的參與度，讓學(xué)生參與課堂.在這節(jié)課中，我們可以設(shè)計(jì)以下教學(xué)目標(biāo)：（1）通過幾個(gè)引例，使學(xué)生正確理解
數(shù)理天地(高中版) 2023年9期2023-05-22
- 求解二面角問題的兩個(gè)“妙招”
通常用二面角的平面角的大小來表示.運(yùn)用定義法求解二面角問題，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，并過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條直線，則這兩條直線所夾的角即為二面角的平面角.最后借助幾何知識(shí)，如線面垂直的性質(zhì)定理、正余弦定理、勾股定理等求得平面角的大小，即可求出二面角的大小.運(yùn)用定義法求解二面角問題，必須從圖形中找到突破口，即根據(jù)圖形的特點(diǎn)和二面角的平面角的定義，求作或確定二面角的平面角.再通過轉(zhuǎn)化，將空間中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)，借
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2023年1期2023-03-23
- 立體幾何中空間角的易錯(cuò)題剖析
的夾角與二面角平面角的關(guān)系致錯(cuò)例3(2023 屆吉林省長春市高三上學(xué)期11 月份一模)如圖5所示的幾何體是由棱臺(tái)ABC-A1B1C1和棱錐DAA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長為2 的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1。求二面角A1-BDC1的余弦值。圖5圖6錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中誤認(rèn)為兩平面法向量的夾角就等于二面角的平面角,實(shí)際上二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)。正解:前面同錯(cuò)解。由圖可
- 基于大概念背景下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與思考
——以《平面與平面垂直的判定(一)》的教學(xué)片斷為例
的呢？能否類比平面角定義平面和平面所成角？今天我們就來學(xué)習(xí)兩個(gè)半平面所成的角和兩平面垂直的概念.設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)思路，通過展示生活中的圖片，引出后面的探究活動(dòng)，讓學(xué)生感受到所學(xué)知識(shí)是渾然一體的，知識(shí)結(jié)構(gòu)更完整更清晰，空間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)是連貫的、學(xué)習(xí)方法是相似的.2.2 關(guān)注過程 構(gòu)建定義(1)二面角的概念師：這三個(gè)圖片，是由我們的幾何圖形怎么演變過來的？利用門、書、電腦三個(gè)生活中的實(shí)例，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，并清晰展示出
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年1期2023-01-12
- 二面角的平面角的求法面面觀
中學(xué))二面角的平面角是立體幾何中的一個(gè)核心概念,也是高考的重點(diǎn)考查目標(biāo).因此厘清如何求解二面角的平面角,明晰求解二面角平面角的常用途徑與方法便顯得尤為重要.本文在歸納總結(jié)二面角的平面角問題求解的主要方法與解題步驟的基礎(chǔ)上,結(jié)合一道相關(guān)試題對(duì)每種方法進(jìn)行了具體分析應(yīng)用,以期在豐富與完善讀者解決此類問題的方法的同時(shí),培養(yǎng)結(jié)合題目條件靈活選擇方法的意識(shí),提升解決問題的能力.1 二面角平面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的
高中數(shù)理化 2022年23期2023-01-07
- 立體幾何中二面角問題的解法例析
助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據(jù)題設(shè)找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系，這是正確求解的關(guān)鍵之一；②將待求的兩個(gè)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)及每個(gè)面的法向量表示出來；③計(jì)算向量的坐標(biāo)，并利用向量的夾角公式計(jì)算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個(gè)法向量的夾角之間的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角[1].圖1例1直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，已知AA1=4,AB=2,∠BAD=60°，BC,B
中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期2022-12-04
- 怎樣求解二面角問題
大小往往是用其平面角的大小來表示，因此在求二面角的大小時(shí)，通常要用到二面角的平面角的定義：過二面角的棱上的一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角.然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.例1.解答本題主要運(yùn)用了定義法，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角B-PC-A的棱PC上任取一點(diǎn)D，過D分別作DE⊥PC，DF⊥PC，從而確定了二面角B-PC-A的平面角∠EDF，再根據(jù)余弦定理求得cos∠EDF的值.二、垂
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2022年9期2022-11-27
- 立體幾何中二面角問題的解法例析
助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據(jù)題設(shè)找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系，這是正確求解的關(guān)鍵之一；②將待求的兩個(gè)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)及每個(gè)面的法向量表示出來；③計(jì)算向量的坐標(biāo)，并利用向量的夾角公式計(jì)算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個(gè)法向量的夾角之間的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角[1].圖1例1直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，已知AA1=4,AB=2,∠BAD=60°，BC,B
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年21期2022-11-22
- 學(xué)習(xí)要抓住本質(zhì)
——以立體幾何距離和角的統(tǒng)一性為例
的距離從兩平行平面角度看是統(tǒng)一的，大小是唯一的，且點(diǎn)、線、面的各種距離，是相應(yīng)點(diǎn)、線、面上各取任意一點(diǎn)的連線段長度的最小值.立體幾何中有關(guān)點(diǎn)、線、面定義了7種距離，即點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、兩平行線、兩異面直線、直線與平面、兩平行平面之間的距離.如圖1，平面α和平面β為分別經(jīng)過對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B(垂足)，或直線a、直線b且和直線AB垂直的兩平行平面，則從平行平面α和平面β的角度看，7種距離可以統(tǒng)一為平行平面α和β的距離，或兩平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一平面的距離，即距離值不會(huì)
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2022年10期2022-09-22
- 解答二面角問題的兩種路徑
角叫做二面角的平面角.一般地，二面角的大小可用其平面角的大小來表示.因此，解答二面角問題的關(guān)鍵在于找到二面角的平面角，求得該平面角的大小.下面介紹兩種求解二面角問題的路徑.一、運(yùn)用向量法有些問題中二面角的平面角不易找到或求得，此時(shí)，我們可根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)、位置建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，即可求得二面角的大小.一般地，二面角與兩個(gè)法向量的夾角或補(bǔ)角相等.例1.如圖1，已知在四面體
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年2期2022-04-09
- 解答二面角問題的三種途徑
件確定二面角的平面角，然后運(yùn)用平面幾何知識(shí)和立體幾何知識(shí)求得平面角的大小或其余弦值.常用的方法有定義法、射影面積法、垂面法、三垂線法等.本文重點(diǎn)談一談三種常見的解題途徑：作三垂線、利用定義法、采用射影面積法.一、作三垂線運(yùn)用三垂線法求二面角的大小，主要是根據(jù)三垂線定理作二面角的平面角，并根據(jù)其中的垂直關(guān)系和勾股定理求得平面角的大小.運(yùn)用三垂線法求解二面角問題，要先在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)選取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A 向另一個(gè)半平面作垂線AB；再由垂足 B 向二面角的棱
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年12期2022-03-09
- 怎樣求解二面角問題
的大小通常由其平面角的大小決定，因此求二面角的大小，往往要求得其平面角的大小.這就需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面中分別作垂直于棱的直線，根據(jù)勾股定理或正余弦定理求得這兩條垂線之間的夾角，即二面角的平面角的大小，就能知曉二面角的大小.在運(yùn)用定義法求二面角時(shí)，要重點(diǎn)尋找題目中的垂直關(guān)系，以便快速求作二面角的平面角.例1.如圖1所示，在三棱錐 S -ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ABC =90°，SA =AB ，S
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2022年12期2022-03-09
- 求二面角的方法
角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小時(shí)，我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義來求解.首先在二面角的棱上選取一點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則兩條垂線的夾角，即為二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例題：解：利用定義法求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角.在作圖的過程中要充分利用題目條件中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形三線合一的性質(zhì)、菱形或正方形的對(duì)角線相互垂直、直角三角形中勾股定理
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年9期2021-11-19
- 求二面角大小的兩種思路
先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即為二面角的大小.求二面角的大小一般有兩種思路，即采用定義法和向量法.下面我們結(jié)合一道典型例題來探討求二面角大小的兩種思路.例題：已知圓O的直徑AB的長為2，上半圓弧有一點(diǎn)C，∠COB=60°，點(diǎn)P是弧AC上的點(diǎn)，點(diǎn)D是下半圓弧的中點(diǎn).現(xiàn)以AB為折痕，使下半圓所在平面垂直于上半圓所在平面，連接PO，PD，PC，CD，如圖1所示.當(dāng)三棱錐P-COD體積最大時(shí)，求二面角D-PC-O的余弦值
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年7期2021-11-10
- 解答二面角問題的兩種途徑
常根據(jù)二面角的平面角的定義來添加輔助線，構(gòu)造三垂線，利用三垂線定理來解題.如圖1所示，已知平面α、平面β和線段l，假設(shè)α-l-β為銳二面角，過平面α內(nèi)一點(diǎn)P作一條垂直于面β的垂線PA交平面β于A點(diǎn)，過點(diǎn)A作線段l的垂線AB交線段l于B點(diǎn)，連接P、B就可以得到一個(gè)直角三角形PAB，根據(jù)三垂線定理可知，線段PB⊥l，那么∠PAB就是銳二面角α-l-β的平面角.通過解直角三角形PAB，便可求得∠PAB的大小.例1.已知一個(gè)棱長都等于4的正三棱柱ABC-A1B1C
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年7期2021-11-10
- 三面角內(nèi)面角的大小及變化規(guī)律的研究
總認(rèn)為二面角的平面角大于相對(duì)的面角,并認(rèn)為面角是單向變化的,解題上也是往往束手無策,本文試圖通過三面角余弦定理與函數(shù)的思想解決這一系列問題.三面角余弦定理如圖1,由射線PA,PB,PC構(gòu)成的三面角P?ABC中,∠APC=α,∠BPC=β,∠APB=γ,二面角A?PC?B的大小為θ,則cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ.(證明可見參考文獻(xiàn)[1])圖1問題一.當(dāng)θ 變化時(shí),研究γ 與θ 的大小關(guān)系題目1如圖2,已知ΔABC,D是AB的中點(diǎn),沿
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年13期2021-08-11
- 實(shí)驗(yàn)為主、信息化為輔的立體幾何教學(xué)探索
——以“平面與平面所成的角”為例
破“二面角及其平面角”的概念這一教學(xué)重點(diǎn)，化解“二面角及其平面角”的確定這一教學(xué)難點(diǎn)。1.實(shí)驗(yàn)一：初識(shí)二面角大小任務(wù)一：折出二面角。在 4 張彩色小卡紙上各畫出一條線，沿著這條線將卡紙對(duì)折，然后打開進(jìn)行觀察。任務(wù)二：給二面角排排隊(duì)。請(qǐng)按你的理解給這些二面角模型排排隊(duì)，并說出這樣排的理由。提問：這個(gè)大小你是怎么看出來的？此時(shí)眼睛的視線和二面角的棱呈現(xiàn)什么位置關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)驗(yàn)一的兩個(gè)任務(wù)，讓學(xué)生在潛意識(shí)中感受二面角的平面角及其大小，并通過及時(shí)提問，幫助
數(shù)學(xué)大世界 2021年12期2021-06-05
- 創(chuàng)新引領(lǐng)，聚集二面角的求法
夾角與二面角的平面角之間的關(guān)系來求解，稱為向量法。向量法思維要求較低，但對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高。新高考則更關(guān)注考查同學(xué)們的邏輯思維能力和邏輯推理能力，對(duì)二面角的求法提出了新的要求，即會(huì)用幾何法求二面角的大小，突出了對(duì)同學(xué)們思維的靈活性和策略選擇的要求。在此新的背景下，本文通過對(duì)幾個(gè)例題的解析，提供多維度探究二面角的幾種求法，為2021屆高三數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)備考提供一個(gè)參考。一，幾何法幾何法一般要求添加一些輔助線，對(duì)同學(xué)們的邏輯推理能力和空間想象能力要求較高，它
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2021年2期2021-03-01
- 求空間角的三種思路
角等于空間角的平面角還是其補(bǔ)角，進(jìn)而得到正確的結(jié)果.三、借助垂面法求空間角垂面法是借助垂面與平面之間的垂直關(guān)系來解題的方法.我們知道，以二面角的公共直線上的任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.運(yùn)用垂面法求解空間角問題，需根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征找到或作出與兩平面之間的交線的垂面，便可根據(jù)二面角的平面角的定義確定所求二面角的平面角，再在垂面中借助平面幾何知識(shí)，如正余弦定理、勾股定理、三角形的性質(zhì)等求出二
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2021年10期2021-02-22
- 創(chuàng)新引領(lǐng)，聚焦二面角的求法
夾角與二面角的平面角之間的關(guān)系來求解，稱為向量法。向量法思維要求較低，但對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高。新高考則更關(guān)注考查同學(xué)們的邏輯思維能力和邏輯推理能力，對(duì)二面角的求法提出了新的要求，即會(huì)用幾何法求二面角的大小，突出了對(duì)同學(xué)們思維的靈活性和策略選擇的要求。在此新的背景下，本文通過對(duì)幾個(gè)例題的解析，提供多維度探究二面角的幾種求法，為2021屆高三數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)備考提供一個(gè)參考。一、幾何法幾何法一般要求添加一些輔助線，對(duì)同學(xué)們的邏輯推理能力和空間想象能力要求較高，它
- 換一個(gè)視角看向量法求二面角問題的新思路
角等于二面角的平面角的補(bǔ)角；兩個(gè)法向量中一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部，則法向量的夾角等于二面角的平面角，需在寫出二面角的平面角的大小前做出判斷后進(jìn)行準(zhǔn)確回答．當(dāng)二面角接近直角或不宜觀察時(shí)，要判斷二面角的大小范圍就有一定的難度了．我們能不能在求解二面角的平面角大小時(shí)避免判斷直接將問題解決呢？實(shí)質(zhì)上只需回歸二面角的平面角定義，分別在兩半平面內(nèi)尋找從棱出發(fā)垂直棱的向量m、n(如圖1)，則兩向量m、n的夾角即為所求二面角的平面角．向量m、n的得到可
數(shù)理化解題研究 2020年28期2020-10-19
- “平面與平面垂直的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析
計(jì)探究二面角的平面角的做法的合理性;二是通過動(dòng)手操作探究發(fā)現(xiàn)面面垂直的判定定理。【關(guān)鍵詞】二面角;平面角;面面垂直;直觀想象;邏輯推理;數(shù)學(xué)抽象一、教學(xué)內(nèi)容及其解析本課時(shí)選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章第三節(jié)的第二課時(shí)，是空間垂直關(guān)系的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的考查熱點(diǎn)，是“類比”“轉(zhuǎn)化”思想的又一重要體現(xiàn)。二、教學(xué)目標(biāo)及其解析1.理解二面角和二面角的平面角的定義;掌握平面與平面垂直的判定定理;能應(yīng)用判定
文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐 2020年10期2020-10-12
- 怎樣求二面角
要求其二面角的平面角的大小即可，常見的方法有定義法、三垂線定理法和空間向量法。一、定義法二面角的平面角：過二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角，在運(yùn)用定義法求二面角時(shí)，我們可以結(jié)合題意作出二面角的平面角，然后運(yùn)用解三角形的知識(shí)來求得其平面角的大小。
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2020年7期2020-09-10
- 例談解答立體幾何二面角問題的兩種方法
小是指二面角的平面角大小，因此在求解二面角問題時(shí)，我們可以利用二面角的平面角的定義“過二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角”來解題在運(yùn)用定義法解題時(shí)，我們要首先找出二面角的棱，然后作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造出二面角的平面角，最后利用平面幾何知識(shí)求出平面角的大小。
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2020年6期2020-09-10
- 關(guān)于二面角的非正式會(huì)談
何法求二面角的平面角”，數(shù)學(xué)老師利用晚自修時(shí)間幫他倆補(bǔ)習(xí)．師：二面角是空間角，它的大小可以用它的平面角來度量，因此求二面角的大小也就是求二面角的平面角的大小.一般地，我們約定二面角的大小范圍是思考什么是二面角的平面角？以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角就叫做二面角的平面角．例1 （蘇教版《必修2》習(xí)題）如圖1，在正方體中，求二面角的正切值．求二面角的關(guān)鍵 是找到二面角的平面角.根據(jù)定義，需要在棱上找一點(diǎn)，并
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2020年6期2020-07-17
- “二面角及其度量”的教學(xué)新設(shè)計(jì)*
能力差、作不出平面角；(2)不理解二面角的大小為什么要用其平面角的大小來度量,更不清楚為什么二面角能用二面角的平面角進(jìn)行度量? 為了解決這些問題,我們給出了基于探究活動(dòng)的教學(xué)新設(shè)計(jì).授課課題《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(A 版)》必修2(人教版),第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.2 節(jié)二面角及其度量,第一課時(shí).教材分析二面角是在學(xué)習(xí)了直線與直線所成的角、直線與平面所成的角之后,我們將領(lǐng)會(huì)的另一種“角”的概念,用它可以去描述兩個(gè)平面相交時(shí)的位置
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2019年13期2019-08-07
- 如何解決二面角的相關(guān)問題
所成的二面角的平面角，現(xiàn)在讓我們看看在解題中怎樣解決這類問題。關(guān)鍵詞：二面角 平面角 ⊥（垂直）在求兩個(gè)平面所成的二面角時(shí)，我們習(xí)慣性的的立馬在腦子里就想著找到二面角的平面，結(jié)越陷越深，時(shí)間浪費(fèi)很多，猛然回頭才發(fā)現(xiàn)原來是這樣。例如，如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.（1）求二面角A?PD?C的平面角的度數(shù)；（2）求二面角B?PA?D的平面角的度數(shù)；（3）求二面角B?PA?C的平面角的度數(shù).分析：于我的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)（1）題就想怎樣在
學(xué)校教育研究 2019年4期2019-06-11
- 例談如何結(jié)合圖形判定二面角的平面角
榮芬求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)之一.解題時(shí)可以先求兩個(gè)平面的法向量所成的角，由于一個(gè)平面的法向量不唯一，長度不等且有兩個(gè)方向，二面角的平面角范圍是0≤θ≤π.二面角的大小與其兩個(gè)面的法向量所成的角是“相等”還是“互補(bǔ)”成為難點(diǎn)和關(guān)鍵，本文擬給出一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷方法.先來分析一下二面角與兩個(gè)法向量n1，n2所成角的關(guān)系，以便突破上述難點(diǎn)：已知二面角α-l-β，在二面角內(nèi)任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，則l⊥
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2018年11期2018-12-27
- 運(yùn)用不同解法，開拓思維深度*
——以二面角的平面角常見解法為例
成尋求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一，解決二面角問題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，可使空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.下面結(jié)合實(shí)例，就初學(xué)二面角的平面角時(shí)常見的求解策略加以剖析.一、定義法根據(jù)二面角的平面角的定義，在棱l上取一點(diǎn)A，分別在兩個(gè)半平面α，β內(nèi)作AB⊥l，AC⊥l，則∠BAC即為二面角α-l-β的平面角.例1 在四面體ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求以BC為棱、以平面BCD和平面BCA
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年23期2018-12-15
- 二面角求解的七種方法
地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時(shí)存在計(jì)算障礙.常見基本題型包括：(1)求二面角的大小；(2)已知二面角的大小，求其它量；(3)求二面角的取值范圍.其實(shí)求二面角的方法很多，本文討論七種二面角的求解方法.一、定義法求二面角我們知道，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角.本定義實(shí)際上為解題提供了
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年5期2017-12-14
- 二面角相關(guān)問題的解法
基于對(duì)二面角的平面角定義理解后的熟練運(yùn)用。已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4,E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上,且不與點(diǎn)C重合。設(shè)二面角CAF-E的大小為θ,求tanθ的最小值。解析:如圖1,過E作EN⊥AC于點(diǎn)N,過N作MN⊥AF于點(diǎn)M,連接ME。易知EN⊥側(cè)面A1C,根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF,所以∠EMN是二面角C-AF-E的平面角,即∠EMN=θ。設(shè)∠FAC=α,則0°＜a≤45°,在Rt△CNE中,NE=EC·sin60°=3。在
- 求二面角的平面角的一種新方法
是作出二面角的平面角，構(gòu)造的輔助線有時(shí)很難找；而坐標(biāo)法求二面角寫起來比較繁瑣。本文用“等體積法”求二面角的平面角，擴(kuò)大“等體積法”適用范圍，至此，等體積法可用于求點(diǎn)到面的距離、線面角、面面角。關(guān)鍵詞：等體積法 二面角中圖分類號(hào)：O123.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）09-0024-02在文[1]中給出求二面角的常用的九種方法，作為傳統(tǒng)法求二面角的平面角，筆者認(rèn)為可以多加一種，等體積法求二面角的平面角。1 等體積法求二面角的平
讀與寫·教育教學(xué)版 2017年9期2017-09-06
- 二面角的向量求法初探
易確定二面角的平面角，而利用向量來求解二面角問題卻比較簡(jiǎn)便。向量方法求的二面角平面角的大小通常有兩種方法。一、是根據(jù)二面角的平面角的定義首先我們一起回顧一下二面角的平面角的定義：在棱上找一點(diǎn)O，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線AO，BO，則∠AOB為二面角的平面角。而根據(jù)二面角的平面角的定義利用向量求解二面角的方法原理是：如圖1，若AB、CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就等于向量[AB]與[CD]的夾角的大小
速讀·下旬 2017年7期2017-08-03
- 由一道高考題探究二面角的解法
，找到二面角的平面角，再用解三角形的知識(shí)，求出平面角的大小.如圖1，通常先確定二面角的棱，再在棱上確定一點(diǎn)，找棱的垂面，從而找到平面角.圖1（2）代數(shù)法.如圖2，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量，求二面角的余弦值.圖2（3）代數(shù)幾何法.如圖3，通過幾何法，找到棱的垂線，再由代數(shù)法，求出兩條垂線（或者向量）所成的角.圖3二、解法展示例題（2013年全國卷理19）如圖4，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年9期2017-05-12
- 向量法求二面角中法向量方向的控制
角大小和二面角平面角的大小之間是相等還是互補(bǔ)，實(shí)際解決問題時(shí)往往是對(duì)二面角大小進(jìn)行“預(yù)判”之后，再進(jìn)行計(jì)算，這種憑著經(jīng)驗(yàn)的做法難免會(huì)有差錯(cuò)，下面我們通過控制法向量的方向，使所求得的法向量夾角大小即為二面角平面角的大小.一、向量法求二面角的原理如圖1所示，P是二面角棱上任意一點(diǎn)，過P作PA和PB分別垂直棱l，則∠APB即為二面角的平面角，法向量n1和n2的夾角大小等于二面角平面角的補(bǔ)角，如圖2所示法向量n1和n2的夾角大小等于二面角平角的大小.圖1圖2顯然，
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2017年8期2017-04-29
- 例談截距法求解空間法向量
角叫做二面角的平面角.求二面角的平面角，一般有以下幾種方法：1.三垂線法，已知二面角的其中一個(gè)面上的點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線，利用三垂線定理或其逆定理求出二面角的平面角.2.向量法，通過建立空間坐標(biāo)系求兩個(gè)平面法向量的夾角（可能是所求角的補(bǔ)角）.3.垂面法，利用二面角的平面角所在的平面與棱垂直，在已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)半平面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面，該平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角.4.射影法，不需要畫出平面角，直接利用面積射影公式求解.一、截距法介紹
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年5期2017-03-23
- 小議空間角的計(jì)算
鍵詞：線面角；平面角；解三角形鏈計(jì)算空間角的問題，是高考常見類型之一，出題人往往會(huì)以這三種形式來命題的：（1）異面直線所成的角；（2）線面角；（3）二面角。對(duì)于這三種類型，不管是那類，都是通過轉(zhuǎn)化的思想最終化成相交直線所成的角。盡管如此，但對(duì)于每一種類型還是有自己獨(dú)到之處的，為了確保考場(chǎng)上萬一無失，下面我們分別將其探討一下。一、異面直線所成的角解決異面直線所成的角，須平移異面直線，使其轉(zhuǎn)化為相交二直線的夾角問題，其方法有三：1、直接法。設(shè)異面直線a、b所成
未來英才 2016年20期2017-01-03
- 一題一課 舉一反三*——關(guān)注“核心素養(yǎng)”的高考專題復(fù)習(xí)課
回顧了二面角的平面角、二面角的平面角的常見作法、求二面角的基本方法等知識(shí)點(diǎn)，通過一個(gè)數(shù)學(xué)模型的不斷變化，梳理了知識(shí)之間的聯(lián)系，形成了知識(shí)系統(tǒng).2.1 二面角的平面角的概念復(fù)習(xí)設(shè)問1 二面角的大小通過二面角的平面角來刻畫，這是立體幾何問題平面化的策略，那么，什么是二面角的平面角呢？通過如下的問題來回答：1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D1所示的正方體中，找出二面角A1-AB-D的平面角.圖1 圖22)如圖2，換成求二面角D1-AB-D的平面角呢？3)如圖3，再換成二面角D1-AC
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2016年12期2016-12-12
- 下頜平面角影響種植體應(yīng)力分布的有限元分析
植學(xué)專欄·下頜平面角影響種植體應(yīng)力分布的有限元分析邢維斌1鄭淑賢2楊適宜11.天津市公安醫(yī)院口腔科；2.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300042目的 通過在不同下頜平面角角度下對(duì)下頜第一磨牙種植體的力學(xué)特性進(jìn)行有限元分析，得出下頜平面角角度對(duì)種植體受力的影響規(guī)律，為臨床種植提供理論參考。方法 采集3種不同下頜平面角（低角、均角、高角）CT數(shù)據(jù)，建立種植復(fù)合體有限元模型，設(shè)計(jì)正交實(shí)驗(yàn)方案，記錄數(shù)據(jù)，分析處理，得出有限元分析結(jié)果。結(jié)果 最優(yōu)參數(shù)組合為：低角，4
華西口腔醫(yī)學(xué)雜志 2016年5期2016-11-04
- 解析2016年全國高考數(shù)學(xué)理科I卷第18題
C-BE-F的平面角即為60?，C點(diǎn)的位置是可以確定的.下面談?wù)劦诙☆}的做法.一、向量法解一由（1）知∠DFE=∠CEF=60?，因?yàn)锳B//EF，AB??平面EFDC，EF?平面EFDC，所以AB//平面ABCD，AB?平面ABCD，因?yàn)槊鍭BCD∩面EFDC= CD，所以AB//CD，所以CD//EF，所以四邊形EFDC為等腰梯形.圖2 其實(shí)用向量法除了用平面法向量法之外，也可以用棱法向量法.解二如圖3，分別作AG⊥BC，垂足為G，作EH⊥BC，垂足
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2016年17期2016-10-25
- 一道立體幾何調(diào)研題的多角度思考
M-AN-P的平面角.圖2圖3圖4圖5圖6方案五：由圖6可得評(píng)注：前三種解法，是常見的求二面角的平面角的方法，后三種解法均是靈活利用向量的性質(zhì)，避開了構(gòu)作二面角的難點(diǎn)，不失為求二面角平面角的思想方法，教學(xué)中可適時(shí)進(jìn)行滲透.一題多解并不是教學(xué)追求的終極目標(biāo)，但是在一題多解的過程中能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，使得知識(shí)點(diǎn)相互貫通、融匯，最終達(dá)到提高的目的.
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2016年8期2016-08-26
- 向量在解決立體幾何二面角問題中的應(yīng)用
助線作二面角的平面角的麻煩，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，事實(shí)上向量在解決立體幾何求二面角問題時(shí)有它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)?！娟P(guān)鍵詞】二面角；向量；法向量；方向向量；空間直角坐標(biāo)系；立體幾何；平面角二面角是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第二章2.3.2小結(jié)的內(nèi)容，概念的本身“從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角”很容易理解，但二面角的大小用它的平面角來度量，去求解二面角的平面角卻并不容易，用立體幾何方法求二面角是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，如果用傳統(tǒng)的方法去做題，需要按“做-證-求”三
都市家教·下半月 2016年3期2016-05-30
- 如何使用平面角單位符號(hào)“°”“'”“″”
?如何使用平面角單位符號(hào)“°”“'”“″”平面角的非SI單位度、［角］分、［角］秒是我國的法定計(jì)量單位，其符號(hào)“°”“'”“″”是法定符號(hào)。由于它們的特殊性，使用時(shí)應(yīng)注意以下幾條。(1)不是字母符號(hào)，須置于右上標(biāo)，表示量值時(shí)數(shù)值與符號(hào)間不留間隙，如30°。(2)表示一個(gè)平面角的量值時(shí)，可同時(shí)使用2或3個(gè)單位，例如α=25°20'，β= 18°15'30″。(3)與其他單位構(gòu)成組合單位時(shí)，符號(hào)上需加圓括號(hào)，如10 (°) /min。(4)書寫平面角的量值范圍
綜合智慧能源 2016年1期2016-02-03
- 銳角還是鈍角
榮芬求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)之一.解題時(shí)可以先求兩個(gè)平面的法向量所成的角，由于一個(gè)平面的法向量不唯一，長度不等且有兩個(gè)方向，二面角的平面角范圍是O≤θ≤π.二面角的大小與其兩個(gè)面的法向量所成的角是“相等”還是“互補(bǔ)”成為難點(diǎn)和關(guān)鍵，本文擬給出一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷方法.先來分析一下二面角與兩法向量nl，n2所成角的關(guān)系，以便突破上述難點(diǎn)：已知二面角a-ι-β，在二面角內(nèi)任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥a，PB⊥β，垂足分別為A，B，則ι⊥上
新高考·高二數(shù)學(xué) 2015年12期2016-01-24
- 以一道高考題為例談求二面角大小的四種思路
求二面角的（平面角）大小是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，本文以2014年浙江省高考數(shù)學(xué)理科試卷第20題（全卷共22題）的第（2）小題為例，從不同視角談求二面角大小的四種思路，供參考！試題如圖1，在四棱錐A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.求二面角B—AD—E的大小.草稿先在草稿紙上重新畫出題設(shè)示意圖，然后按題意標(biāo)出五條棱的已知長度2、2、1、1、2和兩個(gè)直角記號(hào)（如圖1），接著按實(shí)際比例和角
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2015年2期2015-04-07
- 臨床醫(yī)學(xué)論文中“°”與“度”的正確使用
“°”是物理量平面角的法定單位“度”的符號(hào)?！啊恪迸c以阿拉伯?dāng)?shù)字表示的數(shù)值連用表達(dá)的是平面角的量值，如15°。而在醫(yī)學(xué)論文中，像“Ⅰ°燒傷”，由羅馬數(shù)字和“°”組合在一起，表示的是疾病的嚴(yán)重程度。由于病情的輕重程度并不是平面角，理所當(dāng)然地不能用平面角的單位符號(hào)“°”來表示。在醫(yī)學(xué)論文中，應(yīng)當(dāng)使用漢語里用以表示程度的量詞“度”來表達(dá)。例如“Ⅰ度燒傷”、“扁桃體Ⅲ度腫大”、“Ⅱ度宮頸糜爛”、“Ⅰ度腎功能損害”、“Ⅱ度惡心 ”、“Ⅲ度中性粒細(xì)胞減少”以及“Ⅱ度貧
貴州醫(yī)科大學(xué)學(xué)報(bào) 2015年3期2015-03-20
- 空間兩直線平面角與其投影角變化關(guān)系的探討
?？臻g兩直線的平面角的投影不同于直線段，它可能大于或等于或小于角度本身，它們的內(nèi)在關(guān)系比較復(fù)雜，再加上空間位置變化多端，給角度投影的理解和應(yīng)用帶來很大困惑?？臻g角度的投影分為線面型和線線型，本文所討論的問題主要針對(duì)空間兩相交直線的線型。在工程制圖的教學(xué)中，沒有給出解決任意平面角的圖解問題，空間兩直線的夾角是工程實(shí)際中經(jīng)常碰到的問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)平面角與其投影之間的關(guān)系理解不夠深刻。筆者在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，應(yīng)用三射線定理，分類討論了它們之間的變化規(guī)
華北科技學(xué)院學(xué)報(bào) 2014年4期2014-03-19
- 例談?dòng)霉椒ㄌ幚砹字械慕菃栴}
，都必須作出其平面角后再求解.有時(shí)由于已知的線面位置關(guān)系比較隱晦，所求平面角無法作出，使得解題夭折.為此，本文將利用三面角余弦定理推導(dǎo)出求上述三類空間角的公式，運(yùn)用這些公式，可避開求作平面角的困難，簡(jiǎn)捷地求出要求的平面角.一、用公式法處理二面角的平面角三面角余弦定理：若記三面角O-ABC中的∠AOC=α,∠BOC=β,∠AOB=γ，二面角A-OC-B=θ，則cosθ=cosγ-cosαcosβsinαsinβ.證明：在OC上取點(diǎn)C′，過C′作A′C′⊥OC
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年5期2008-12-10
- 一道競(jìng)賽題引發(fā)的有用結(jié)論
A-PB-C的平面角的余弦值為().A.17 B.-17C.12 D.-12由此題可以引發(fā)一個(gè)有用的立體幾何結(jié)論，即定理：從一個(gè)點(diǎn)P出發(fā)，引三條射線PA，PB，PC，若PA，PB所成的角為α，PC，PB的所成角為β，PA，PC的所成角為γ，記二面角A-PB-C的平面角為θ，則玞osθ=玞osγ-玞osα玞osβ玸inα玸inβ.注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/div>
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年2期2008-12-10
- 加強(qiáng)幾何課程的教學(xué) 提高解空間幾何問題的能力
關(guān)系與二面角的平面角計(jì)算，兩者看不上有什么本質(zhì)上聯(lián)系，且考生被前一個(gè)圖形過于簡(jiǎn)單，輔助線不知如何添設(shè)，而后一個(gè)圖形線條太多，理不清頭緒而難于切入求解.這正說明我們的學(xué)生空間幾何概念的薄弱.他們看不出圖形和條件之間的依存關(guān)系和相互轉(zhuǎn)換關(guān)系.實(shí)際上，只要將圖1，圖2置于兩個(gè)正方體內(nèi)，則要求證的線面關(guān)系和二面角的計(jì)算則會(huì)一清二楚了.請(qǐng)看圖3和圖4.圖1實(shí)為圖3正方體的一部分，要證AD⊥BC，只要連PD，由BC⊥PD，BC⊥AP，即知BC⊥平面APD，∴BC⊥AD中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年9期2008-12-09
- 加強(qiáng)幾何課程的教學(xué) 提高解空間幾何問題的能力