2020年高考江蘇卷第12題的七種解法

蔡海濤 盧 妮

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

題目(2020年高考江蘇卷12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是____．

點(diǎn)評(píng)利用消元轉(zhuǎn)換消去x，把x2+y2化為只含有y一個(gè)變量的式子，再利用基本不等式求得求值.多元變量求最值問(wèn)題利用消元轉(zhuǎn)化是常規(guī)套路，利用基本不等式要注意“一定、二正、三等號(hào)”.

解法3 同解法2把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求a+b的最小值.

點(diǎn)評(píng)解法2基本思路同解法1，均是先利用消元轉(zhuǎn)化再利用基本不等式求得最值，區(qū)別之處是發(fā)現(xiàn)已知和要求的式子次數(shù)較高，先利用換元進(jìn)行降冪，使得運(yùn)算簡(jiǎn)化.解法3關(guān)鍵是注意到5ab+b2為定值，故進(jìn)行配湊再利用基本不等式得到一個(gè)關(guān)于a+b的不等關(guān)系，從而求得a+b的范圍.

點(diǎn)評(píng)首先把a(bǔ)+b看作一個(gè)整體t，再得到關(guān)于b的一元二次方程，利用判別式求得t的范圍.

點(diǎn)評(píng)考慮將式子a2+(2-5λ)ab+(1-λ)b2配成一個(gè)完全平方式，故令Δ=(2-5λ)2-4(1-λ)=0，求得λ的值，進(jìn)而得到(a+b)2的不等關(guān)系，求得范圍.

解法6 同解法2，5ab+b2=1，則(5a+1)b=1(a,b≥0).

點(diǎn)評(píng)雙變量問(wèn)題常常可以通過(guò)確定主元,看成一個(gè)函數(shù)關(guān)系來(lái)進(jìn)行處理.

多元變量最值問(wèn)題在近年各地高考中頻頻出現(xiàn)，其特殊的解析式結(jié)構(gòu)決定其具有知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、解題方法靈活多樣的特點(diǎn).通過(guò)以上高考題的多解分析,可總結(jié)方法一般是從數(shù)和形兩個(gè)角度著手進(jìn)行研究.從數(shù)的角度出發(fā)，常常是利用函數(shù)方程思想，進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化，結(jié)合換元簡(jiǎn)化，再利用基本不等式求得范圍；從形的角度出發(fā),常常是發(fā)現(xiàn)多元變量之間的關(guān)系，具有怎樣的幾何意義，再利用幾何特征判斷取得最值的位置，最后求得范圍.