高考新動向 巧用分析法

束峰琛

(江蘇省新沂市第一中學(xué) 221400)

當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時(shí)，往往可以考慮采用分析法來處理，特別是一些含有根號、絕對值的等式或不等式等問題的證明時(shí)，?？紤]用分析法，其思路是逆向思維，必須從結(jié)論出發(fā)，倒著分析，尋找結(jié)論成立的充分條件．結(jié)合近年的高考真題，分析法的應(yīng)用往往出現(xiàn)在不等式、解析幾何以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)證明中，要加以重視．

一、不等式的證明

分析從待證的不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，通過通分處理，結(jié)合條件加以變形，進(jìn)而移項(xiàng)和配方，轉(zhuǎn)化為平方和的關(guān)系式，分析其成立的充分條件即可證明相應(yīng)的不等式成立．

證明因?yàn)閍，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1，

只需證a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0，

即證(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0，

由于a，b，c為正數(shù)，而(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0顯然成立，

點(diǎn)評利用分析法證明不等式成立問題時(shí)，其分析的關(guān)鍵就是對所要證明的不等式加以等價(jià)轉(zhuǎn)化，依據(jù)不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式等相關(guān)知識，綜合通分、移項(xiàng)、配方等方法通過邏輯推理的基本理論來證明對應(yīng)的不等式．

二、解析幾何的證明

例2(2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科第20題(2))設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A(2，0)，B(-2，0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．證明：∠ABM=∠ABN．

分析設(shè)出直線l的方程，與拋物線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到相應(yīng)的關(guān)系式，利用平面幾何方法進(jìn)行分析法證明，根據(jù)∠ABM=∠ABN的等價(jià)條件Rt△BFN∽Rt△BEM的轉(zhuǎn)化，利用相應(yīng)邊的比值的關(guān)系式的建立與轉(zhuǎn)化，進(jìn)行逆推分析，從而得以證明結(jié)論．

證明根據(jù)題意可設(shè)直線l：x=my+2(m∈R)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，不失一般性，設(shè)y1>0，y2<0，

消去參數(shù)x并整理可得y2-2my-4=0，

點(diǎn)評利用分析法證明解析幾何中的相關(guān)問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，抓住幾何證明的脈絡(luò)，利用平面幾何的相關(guān)性質(zhì)有條理地等價(jià)轉(zhuǎn)化，同時(shí)又要充分融合解析幾何的相關(guān)內(nèi)容，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化與證明的目的．

三、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的證明

分析結(jié)合條件所要證明的不等式，通過分析法處理，分別借助ex≥ex的證明與應(yīng)用，以及x-lnx-1≥0的證明來合理轉(zhuǎn)化，從而得以分析法解決，巧妙證明．

構(gòu)造g(x)=ex-ex，求導(dǎo)可得g′(x)=ex-e，則當(dāng)01時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn)，且最小值為g(1)=0，所以ex≥ex成立．

當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，

所以x=1是h(x)的最小值點(diǎn)，且最小值為h(1)=0，所以x-lnx-1≥0成立．

點(diǎn)評涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)證明問題，在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)，借助分析法的應(yīng)用，可以有效抓住結(jié)論，利用結(jié)論的合理轉(zhuǎn)化與條件的聯(lián)系，有效串聯(lián)，也是破解此類問題的思維過程中比較常見的證明方法．

分析法的實(shí)質(zhì)是從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件(可明顯成立的不等式(等式)、已知不等式(等式)、定義、定理或公理等)．應(yīng)用分析法證明問題時(shí)要嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)，要有較強(qiáng)的邏輯推理能力，證明過程中必須有必要的文字說明，同時(shí)下一步是上一步的充分條件，其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆．