函數(shù)凹凸性在高考數(shù)學(xué)中的命題分析

紀(jì)定春

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068)

一、函數(shù)凹凸性及等價(jià)命題簡(jiǎn)介

定義設(shè)f是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù)λ∈(0,1)總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凸函數(shù).

反之，如果總有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凹函數(shù).

注意：為了便于識(shí)記，以下不妨將凸函數(shù)、凹函數(shù)分別稱為下凸函數(shù)和上凸函數(shù).

函數(shù)凹凸性的幾個(gè)等價(jià)命題：

(1)當(dāng)切線(一階導(dǎo)數(shù))在函數(shù)圖象上方時(shí)，函數(shù)是上凸函數(shù)，反之為下凸函數(shù)；

(2)當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，函數(shù)是上凸函數(shù)，反之為下凸函數(shù)；

(3)當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)小于等于零時(shí)，函數(shù)為上凸函數(shù)，反之為下凸函數(shù).這幾種描述方式都是等價(jià)的，只是所站的角度不同，可參見文[2].

二、函數(shù)凹凸性在高考數(shù)學(xué)試題中的命題分析

函數(shù)的凹凸性作為描述連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)的方法，不僅在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛而重要的應(yīng)用價(jià)值，而且是高考數(shù)學(xué)的命題熱點(diǎn).在刻畫函數(shù)的凹凸性時(shí)，可以利用一階、二階導(dǎo)數(shù)等，這就將函數(shù)的凹凸性與高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)聯(lián)系起來.近年來，為何以導(dǎo)數(shù)作為高考數(shù)學(xué)的壓軸題呢？有三點(diǎn)猜測(cè)：其一是導(dǎo)數(shù)本身蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，如分割思想、極限(逼近)思想、特殊與一般思想、局部與整體思想等；其二是導(dǎo)數(shù)是研究連續(xù)函數(shù)和離散變量的重要工具，如在連續(xù)函數(shù)中，求函數(shù)的最大值、最小值、極值、拐點(diǎn)等，在離散型變量中，如求數(shù)列通項(xiàng)、求和、求極限等.其三是高中導(dǎo)數(shù)與大學(xué)數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)交匯較多，可以為高考數(shù)學(xué)命題者提供更多的視角和切入點(diǎn).

例1(2018年高考理科全國(guó)卷Ⅰ第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是.

f(x)=2sinx+sin2x=sin(π-x)+sin(π-x)+sin2x

評(píng)注該試題在當(dāng)年高考中的得分率比較低，看似簡(jiǎn)單的試題，實(shí)則具有很強(qiáng)的“殺傷力”，很多考生過后反映，該題的運(yùn)算量太大了，在高考場(chǎng)上耽誤了太多時(shí)間.但這是高考數(shù)學(xué)中的一道優(yōu)秀試題，值得細(xì)細(xì)地去品味.其實(shí)，該試題的思路有很多，如導(dǎo)數(shù)法、換元法、均值不等式法等，或者是憑借不等式的取等條件，用已有的經(jīng)驗(yàn)去“先猜后證”.

例2 (2017年全國(guó)高考數(shù)學(xué)文科卷Ⅱ第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

圖1

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

所以，a的取值范圍為[1,+∞).

評(píng)注該方法是從函數(shù)的凹凸性來求解參數(shù)的范圍，當(dāng)然該試題的思路開闊，解決方法較多，如分類討論法、參數(shù)分離法、構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義法、洛必達(dá)法則、柯西中值定理、拉格朗日中值定理等.在高考數(shù)學(xué)考試中，可以借助導(dǎo)數(shù)為工具，畫出函數(shù)的大致圖象，然后再利用二階導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的凹凸性，這對(duì)求解切線的斜率問題是有幫助的.

例3 (2014年新課標(biāo)2理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，求b的最大值；

解析問題(1)和問題(3)解答略.對(duì)問題(2)，由題可知g(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0，即e2x-e-2x-4b(ex-e-x)>(4-8b)x.不妨設(shè)函數(shù)m(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)，則m′(x)=2e2x+2e-2x-4b(ex+e-x).注意到m′(0)=4-8b，且m(x)過點(diǎn)(0,0)，所以直線y=(4-8b)x恰好是函數(shù)m(x)在x=0處的切線.

當(dāng)x>0時(shí)，要使得e2x-e-2x-4b(ex-e-x)>(4-8b)x成立，則需要過原點(diǎn)的直線y=(4-8b)x始終在函數(shù)m(x)圖象的下方.如果能夠說明函數(shù)m(x)在x>0時(shí)為下凸函數(shù)，則問題解決.對(duì)m′(x)求導(dǎo)，可得

m″(x)=4e2x-4e-2x-4b(ex-e-x)=4(ex-e-x)(ex+e-x-b).

令m″(x)=0，則ex-e-x=0或ex+e-x-b=0.由ex-e-x=0，可得x=0.代入ex+e-x-b=0，可得b=2.此時(shí)，函數(shù)m(x)只有x=0這一個(gè)拐點(diǎn)，即函數(shù)凹凸性的連接點(diǎn).則現(xiàn)在需要對(duì)b進(jìn)行討論，當(dāng)b≤2時(shí)，易得x∈(-∞,0)時(shí)，有ex+e-x-b>0，ex-e-x<0，則m″(x)<0，于是m(x)在x∈(-∞,0)上是上凸函數(shù).同理，可以判斷函數(shù)m(x)在x∈(0,+∞)上是下凸函數(shù).對(duì)b>2，可判斷不成立.故要使m(x)>(4-8b)x，則需要b≤2.

評(píng)注該方法主要是關(guān)注函數(shù)m(x)在x=0處的切線，恰好是直線y=(4-8b)x的斜率，進(jìn)而想到使用函數(shù)的凹凸性來求參數(shù)的取值范圍.可見，高考導(dǎo)數(shù)中求參數(shù)最值問題，常常利用函數(shù)的凹凸性來作為命題點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

①求實(shí)數(shù)m的最大值；

②當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

例5 (2005年全國(guó)高考理科卷Ⅰ第22題)(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0

(2)設(shè)正數(shù)p1，p2，p3，…，p2n，滿足p1+p2+p3+…+p2n=1，求證：

p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

解析問題(1)解答略.問題(2)，可以用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法，這是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題，并且問題(1)的結(jié)論，可以為問題(2)作歸納奠基，則只需要說明歸納假設(shè)和歸納總結(jié)即可，但是解答過程比較繁瑣，現(xiàn)在用高等數(shù)學(xué)的方法來證明.

因?yàn)?0，所以函數(shù)g(x)在x∈(0,1)是下凸函數(shù).由詹森不等式，可知p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n

即p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

評(píng)注可見，從高等數(shù)學(xué)的視角出發(fā)，可以極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算量.只需要掌握函數(shù)凹凸性的兩個(gè)核心步驟即：求導(dǎo)判斷、放縮，然后就直接使用詹森不等式來證明，而詹森不等式，就是推廣了的函數(shù)凹凸性的不等式性質(zhì).因此，從本質(zhì)上講，依然是用函數(shù)的凹凸性.

三、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

要回歸教材.高中數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.然而，現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課堂，已經(jīng)脫離了數(shù)學(xué)教材，更多的是用導(dǎo)學(xué)案、輔導(dǎo)資料等來代替教材，通過短時(shí)間的知識(shí)講解，就進(jìn)入幾乎“瘋狂”的“刷題+評(píng)講”模式，然后在不斷的試錯(cuò)中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).在這種教學(xué)模式下，學(xué)生體會(huì)不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，感覺數(shù)學(xué)就像是無盡的深淵.2012年，新浪微博曾做過一項(xiàng)調(diào)查，有將近70%的人想讓數(shù)學(xué)“滾出高考”，可見大部分人曾經(jīng)被數(shù)學(xué)傷害過.這可能是“題海戰(zhàn)術(shù)”對(duì)他們的身心造成了傷害.其實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該回歸課本，將課本的知識(shí)點(diǎn)、習(xí)題、思考題等掌握好，然后再做適當(dāng)?shù)乃季S拓展題，這就足以應(yīng)對(duì)高考試題了.同時(shí)，也可以留更多的時(shí)間來鍛煉和提升學(xué)生的其它能力，如組織、管理、口才、演講等能力，促進(jìn)學(xué)生身心全面和諧的發(fā)展.