劉鵬　盧象鵬　楊光偉

[摘? 要] 思維能力的培養(yǎng)是學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵之一. 數(shù)學方法論指導(dǎo)下的“深度”解題為學生開展數(shù)學探究活動提供了思路. 以一節(jié)不等式證明的解題教學為例討論在實施這種教學時需要關(guān)注的問題.

[關(guān)鍵詞] 思維能力;“深度”解題;數(shù)學方法論

思維能力的培養(yǎng)是學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵之一. 鄭毓信先生曾提到：在教學中不僅要關(guān)注學生“即興思維”能力的提高，還應(yīng)當更加重視如何能夠幫助他們逐步養(yǎng)成“長時間思考”的習慣和能力[1]. 學生數(shù)學思考的脈絡(luò)化是培養(yǎng)其思維能力的重要途徑，而在數(shù)學方法論指導(dǎo)下的解題探究教學則能為有脈絡(luò)地探索活動提供一定的借鑒意義.本文將從一個數(shù)學解題探究的教學案例出發(fā)，探析學生是如何在基于數(shù)學方法論的“深度”解題過程中，有脈絡(luò)地思考.

數(shù)學方法論背景下“深度”解題的內(nèi)涵與意義

1. 何謂“深度”解題？

“深度”解題教學是解題活動的教學，而解題活動是一種思維活動. 不僅是獲得答案的過程，更是思路探求的過程. 那么，怎樣的解題是有“深度”的？有“深度”的解題過程不應(yīng)該是對某一種解題技巧的靜態(tài)訓(xùn)練，而應(yīng)該是蘊含著數(shù)學思想方法的動態(tài)思考，數(shù)學方法論便是溝通二者的橋梁.

2. 如何“深度”解題？

實際課堂教學中，教師往往先教授學生解決問題的技能并讓其反復(fù)訓(xùn)練，學生熟練掌握后再告知方法中所蘊含的深刻數(shù)學思想. 從建構(gòu)主義的觀點出發(fā)，這一過程顛倒了學生圖式建構(gòu)的心理順序，學生在這一過程中并沒有經(jīng)歷思想方法在認知結(jié)構(gòu)內(nèi)部的建構(gòu)過程，它是由教師強加給學生的，因此這種思想方法并沒有轉(zhuǎn)化為學生的認知圖式.而思想方法作為數(shù)學教學的靈魂，數(shù)學解題教學也應(yīng)該在數(shù)學方法論的指引下，建立如下“深度”解題教學的一般過程（圖1）：

3. 為何要“深度”解題？

首先，解題教學是訓(xùn)練學生數(shù)學思維，培養(yǎng)問題意識、探究精神的最佳契機. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》也指出：數(shù)學課程要注重發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，學生學會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界[2]. 而解題教學作為數(shù)學課程一部分，引導(dǎo)學生進行“深度”探究就顯得尤為必要. 其次，“深度”解題能夠引導(dǎo)學生理解數(shù)學，深刻認識數(shù)學的本質(zhì)，總結(jié)大量的數(shù)學方法，揭示數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的規(guī)則，從數(shù)學的發(fā)展方式中把握數(shù)學內(nèi)在的本質(zhì)和規(guī)律.

一個數(shù)學解題探究的教學案例

1. 數(shù)學方法論搭建解題技能與數(shù)學思想的橋梁

宏觀的數(shù)學方法論，著眼于數(shù)學思想;微觀的數(shù)學方法論，立足于具體的解題技能，而這一理論更是搭建解題技能與數(shù)學思想的橋梁.基于“深度”解題教學的一般步驟，本案例從學生非常熟悉的一道練習題出發(fā)，進行深入探究.請看案例第一部分：

例題：α為銳角，求證：■+■≥25.

師：這是一道平時常見的題目，我們已經(jīng)做過很多次了.還記得怎么做嗎？

生1：這道題很簡單，在式子的左邊調(diào)整系數(shù)添上“1”，而cos2α+sin2α=1，展開后得出常數(shù)，再求■+■的最小值就可以了.

師：既然可以添上系數(shù)“1”，那么添上“2”“3”可以嗎？能不能想辦法添上“k”使它更具有一般性呢？

評析：以學生熟悉的習題為載體，基礎(chǔ)的數(shù)學方法為抓手. 面對此題，學生會主動思考“難道還有其他方法嗎？”在教師的引導(dǎo)下，激發(fā)學生的學習積極性，活躍課堂氣氛.

生2：聽了生1的方法，思考片刻后，認為可以運用k解決. （學生上臺板書）

板書：■+■=■+■+kcos2α+ksin2α-k=■+kcos2α+■+ksin2α-k≥4■+6■-k.

等號當且僅當■=cos4α，■=sin4α時成立，即■=cos2α，■=sin2α，代入sin2α+cos2α=1，解得k=25，此時10■-k=25，故■+■的最小值為25.

師：大家認同生2的做法嗎？（學生思考后全部同意）實際上，這是待定系數(shù)法的運用. 但添加的內(nèi)容與生1大有不同，配湊上了“k”倍的“1”. 將一個涉及三角函數(shù)的不等式問題轉(zhuǎn)化為以k為變量的函數(shù)最值問題，最后只要通過等號成立的條件確定k的取值范圍即可.

評析：多數(shù)學生局限于單一的不等式知識模塊，認為這題只有生1的一種解法，而生2卻通過類比數(shù)學思想，聯(lián)想到待定系數(shù)法.這一環(huán)節(jié)立足于學生的最近發(fā)展區(qū)，由淺入深，由感性到理性，引導(dǎo)和幫助學生思考問題.數(shù)學思想與數(shù)學方法之間跨設(shè)的橋梁將這一看似平淡的解題課逐步引向了深度.

2. 數(shù)學方法論梳理解題過程中的思考脈絡(luò)

如何進行有“深度”的解題？學生能夠思考出第二種方法，已是本題教學的突破.然而，探究的腳步卻遠遠沒有停下. 請看案例的第二部分：

師：其實，這一題還可以將均值不等式法和待定系數(shù)法兩者結(jié)合起來.大家動手試一試！提示：同一個量用兩種方法進行表示，大家看看是哪一個量呢？

3：生2中出現(xiàn)了最值，想到設(shè)最值為S，用三角函數(shù)cos2α+sin2α=1表示同一個S，再求解不等式. （學生上臺板書）

板書：令S=■+■，得等量S=S·1=S（cos2α+sin2α），于是2S=S+S=■+■+S（cos2α+sin2α）=■+Scos2α+■+Ssin2α≥4■+6■=10■. 由2S≥10■，得S≥25.

師：非常好?。ㄕn堂氣氛頓時熱鬧了起來）這里依然體現(xiàn)了數(shù)學思想方法中的類比思想，還有化歸思想;也同時結(jié)合了均值不等式、待定系數(shù)法兩種不同方法. 可見，雖然這是一道簡單的作業(yè)例題，通過大家的不斷探究，發(fā)現(xiàn)可以用多種方法來解決問題.

評析：不少學生認為，一道數(shù)學問題的精妙解法只是“聰明人”一時靈光乍現(xiàn)的想法，可遇而不可求.這樣的認識無疑會打擊學生的探究精神.教師需要借助數(shù)學方法論，讓這一看似虛無縹緲的思維過程形成清晰明確的思考脈絡(luò)，使學生認識到再精妙的解法也是有路可尋的.

師：大家繼續(xù)看這一道題. 求證：■+■≥■. 以上方法都可以嗎？

生4：不等式左邊分母進行換元，之后的做法與前面一題一致.

師：不同的數(shù)學問題，不外乎是由條件和結(jié)論或所求目標構(gòu)成. 在不同的條件背后，卻蘊含著相同的數(shù)學本質(zhì). 而我們所追求的是從熟悉的方法中萌生出更巧妙的方法.

通過引導(dǎo)學生掌握證明例題的兩種方法后，以例題的有效變式作為支撐，繼續(xù)深入探究生3的方法. （學生獨立思考）

題目1：已知x，y是正實數(shù)，且■+■=1，求證：x+2y≥3+2■.

題目2：已知x，y是正實數(shù)，且x+y=2，求證：■+■≥2.

題目3：已知x，y是正實數(shù)，且x+2y=3，求證：■+■≥3.

師：首先，很容易發(fā)現(xiàn)題目1可以用柯西不等式完成，那么題目2和題目3也可以嗎？其次，如果運用生3的方法，又會有怎樣的發(fā)現(xiàn)？接下來大家思考5分鐘，然后小組討論，談?wù)劯髯缘淖C明思路.

生5：我們小組發(fā)現(xiàn)，以上三個題目用生3的方法都可以證明.比如題目1，給我們的條件是■+■=1，和cos2α+sin2α=1有些不同，但是我們類比生3的方法，用待定系數(shù)法設(shè)出S=x+2y，又將S=S■+■表示，整個式子進行化簡，得到2S=S+S=x+2y+S■+■=x+S■+2y+S■，運用均值不等式可以得到2S≥2■+2■，解得S≥3+2■.

分析：奧蘇泊爾曾指出相比于宏觀上位的認知結(jié)構(gòu)，下位而具體的技能方法更難進行水平遷移. 教師進行解題教學時如果就題論題，學生即便掌握了這一方法也很難做到舉一反三，在面對變式時仍將束手無策. 首先，教師必須以宏觀的數(shù)學方法論作為指引，將具體的技能教學上升到宏觀的思想方法教學，以此加強具體方法的可遷移性. 其次，教師要理解教學，對教學規(guī)律認識深刻，對教學問題要敏銳，看教學是否能引發(fā)學生的思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學生良好的學習習慣和方法.

師：首先，對于你們組討論的結(jié)果表示肯定. 將不同的數(shù)學方法巧妙地結(jié)合在了一起.老師補充一點，這里還滲透了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，同一個量用不同方法來表示. 其次，大家也很好地模仿了生3的證明過程，你就會發(fā)現(xiàn)其實這一題并不難了. 那么，對于題目2和題目3，你們是怎么想的？（小組討論后，生7和生8兩位學生上臺板書）

師：這兩位同學都完成得非常好！大家把掌聲送給他們！雖然題目2和題目3所給的條件等式不同，所證的不等式次數(shù)也不同，證明的方法卻是一樣的. 那么，我們是不是可以猜想它的一般情況呢？接下來讓我們嘗試對該類題型作出歸納.

分析：對母題進行推廣，學生通過對掌握的待定系數(shù)法進行遷移使用來重新體會化歸和類比歸納的思想，此時的思想是由學生在解題過程中由內(nèi)向外生長出來的，因此學生在這個解題過程中經(jīng)歷了化歸和類比歸納思想的建構(gòu)過程.使得這一堂解題教學簡約而不失內(nèi)涵，有序而又靈活.

3. 數(shù)學方法論升華解題結(jié)果的價值取向

一堂解題教學課中，學生關(guān)注的是解題結(jié)果的生成. 其實，獲得答案的本質(zhì)也是發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的過程. 基于數(shù)學方法論的引導(dǎo)，學生能夠揭示數(shù)學知識本質(zhì)，并在其探究過程中滲透數(shù)學精神的同時，強調(diào)育人價值. 請看案例的第三部分：

題目4：（師提出）已知x，y是正實數(shù)，且x+λy=n，求■+■的最小值.

師：這一題是將條件和結(jié)論一般化.還可以用這一種方法來證明嗎？大家思考5分鐘，小組討論.

課堂上一片寂靜，許多學生對此題沒有思路.

師：大家能做到哪一步？

生9：設(shè)■+■=S，然后1=■■+■，x+λy=n，之后就做不下去了.

師：非常好！你做到這一步非常關(guān)鍵！接下來的證明由老師完成吧?。◣煱鍟?/p>

板書：設(shè)■+■=S，■=1，得等量S=S■，于是

（1+n）·S=S+n·S=■+■+n·S■=■+■+■+■≥（n+1）■+（n+1）■=（n+1）（λ+1）■.

由（1+n）·S≥（n+1）（λ+1）■，得S≥（λ+1）■=■，即■+■≥■. 故最小值為■.

師：不難看出，將所論的具體數(shù)學問題，放在一般的狀態(tài)下進行思考，使得這一種新方法更具有一般性.從一個復(fù)雜的數(shù)學問題，聯(lián)想到與之相近的知識或類似的問題，并發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 比如這道證明題，我們也是通過解決幾個具體的題目后才能夠解決.

分析：傳統(tǒng)意義上的解題，把“題”作為考察的對象，把“解”作為研究目的.在很多情況下，對“題”的關(guān)心，對“解”的追求，遠遠超過對“解題”本身的注意. 案例的前兩部分只是告訴了我們在精明的數(shù)學成果的背后，應(yīng)用了什么樣的數(shù)學方法，得到了什么數(shù)學結(jié)論. 而案例的第三部分揭示了怎樣應(yīng)用數(shù)學方法，如何發(fā)現(xiàn)更一般的數(shù)學結(jié)論. 達到了“既見樹木又見森林”的目的. 潛移默化地滲透了各種數(shù)學思想以及方法.

4. 課堂小結(jié)

師：經(jīng)過這節(jié)課探究學習，大家有什么收獲？

生10：以例題證明作為切入點，引導(dǎo)我們通過待定系數(shù)法和均值不等式兩種方法的融合以及函數(shù)、等價轉(zhuǎn)化、化歸和類比歸納等數(shù)學思想來多角度看一道證明題. 并在此基礎(chǔ)上，引申出了3個題目，最后形成一般化的推廣.

師：這節(jié)課大家的思維很活躍，在大家的合作下，一連串的問題都解決了. 本文以一道常規(guī)的不等式證明題為例，進行探究，運用從特殊到一般、轉(zhuǎn)化等一些基本思想方法，反復(fù)強調(diào)轉(zhuǎn)化與化歸、類比歸納等數(shù)學思想方法的重要性. 題目從易到難，層層遞進. 希望大家在今后的學習中，能夠靈活運用這些數(shù)學方法，細細體會其中的數(shù)學思想！

基于數(shù)學方法論的“深度”解題過程中的兩個注意點

1. 以數(shù)學知識體系和蘊含的方法論分析為基石

人的思維依賴于必要的知識和經(jīng)驗，數(shù)學知識正是數(shù)學解題思維活動的出發(fā)點與憑借. 豐富的知識并加以優(yōu)化的結(jié)構(gòu)能夠為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件. 例如，若能熟練掌握待定系數(shù)法和均值不等式等基礎(chǔ)知識的體系，深刻理解其數(shù)學本質(zhì)，便能有對如上例題的“再創(chuàng)造”. 此外，數(shù)學知識體系的完善還要以其背后所蘊含的方法論作為基礎(chǔ). 知識體系是靜態(tài)的、枯燥的，方法論讓它活了起來、動了起來，由靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的方法. 具體地說，學生雖然掌握了知識體系，熟悉基本的邏輯規(guī)則和常用的解題方法，卻找不到體系與實踐的聯(lián)系. 相反，若以方法論為腳手架，卻能夠起到會一題、通一類、達一片的教學效果.

2. 以數(shù)學思維作靈魂引領(lǐng)學生探究

數(shù)學是鍛煉思維的體操，高質(zhì)量的數(shù)學學習以數(shù)學思維作為首要基礎(chǔ). 通過對解題過程的探究分析形成一般意義的數(shù)學思維框架顯得極為重要. 本案例中，學生通過一個簡單的例題和熟悉的證法，發(fā)現(xiàn)了新的證法，并解決了一系列由例題引出的變式，加以推廣，足以體現(xiàn)數(shù)學思想方法在解題探索中的價值.由此可見，教師要充分發(fā)揮學生的主體性，引導(dǎo)學生形成由上述常規(guī)數(shù)學思維所組成的思維框架. 這將有助于學生舉一反三、觸類旁通，同時也使得學生思維本身不斷向更高層次發(fā)展[3].

總之，如何培養(yǎng)學生的思維能力是數(shù)學教育界關(guān)注的問題. 以數(shù)學方法論指引數(shù)學解題不是增設(shè)一門學習課，而是要求教師在每堂數(shù)學課中滲透數(shù)學思想方法以幫助學生形成解題的思考脈絡(luò)，養(yǎng)成長時間思考的能力和習慣. 這一過程不是一蹴而就的，需要教師時刻關(guān)注.

參考文獻：

[1]? 鄭毓信. 數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J]. 數(shù)學教育學報，2016，25（03）.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 戴經(jīng)緯，唐恒鈞. 基于數(shù)學方法論的問題鏈——學生有脈絡(luò)地探索[J]. 中國數(shù)學教育，2018（20）.