一元函數(shù)泰勒公式的計(jì)算方法

王江

摘要：在一元函數(shù)泰勒公式的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在對泰勒公式的產(chǎn)生背景、推導(dǎo)方法深入理解的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用泰勒公式解決實(shí)際問題的能力. 本文對泰勒公式的常用計(jì)算方法進(jìn)行了總結(jié).

關(guān)鍵詞：泰勒公式;數(shù)值計(jì)算

泰勒公式是在用簡單的初等函數(shù)（多項(xiàng)式函數(shù)）逼近復(fù)雜函數(shù)（特別是無理函數(shù)和初等超越函數(shù)）的背景下產(chǎn)生的，只要誤差滿足要求，多項(xiàng)式函數(shù)對復(fù)雜函數(shù)的性態(tài)和近似計(jì)算有著重要的實(shí)際應(yīng)用意義. 學(xué)生在學(xué)習(xí)了泰勒公式之后，碰到關(guān)于泰勒公式計(jì)算的問題不知如何入手，本文主要總結(jié)了4個關(guān)于泰勒公式的計(jì)算方法。

泰勒定理? 若函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對任一，有

上式稱為函數(shù)在展開的泰勒公式，其中稱為佩亞諾型余項(xiàng)，（介于到之間）稱為拉格朗日型余項(xiàng)。

1.直接法

利用直接導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解。

例1? 按的冪展開多項(xiàng)式。

解：因?yàn)?，，，，于?/p>

，，，，，所以

。

2.變量替換法

在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)用得較多的是泰勒公式在時的特殊情形（稱為麥克勞林公式），掌握常用的麥克勞林公式對解題有很大的幫助。常見的麥克勞林公式有：

由的泰勒公式可得與（為常數(shù)，為自然數(shù)）的泰勒公式，只需令或即可。

例2? 求下列函數(shù)含佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式。

（1）;（2）。

3.分解法

將所求函數(shù)分解成已知的泰勒公式進(jìn)行計(jì)算。

例3? 求函數(shù)含有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式。

解：因?yàn)?/p>

4.待定系數(shù)法

設(shè)，將其改寫為，若已知與的展開式且可展成泰勒公式，可設(shè)，將他們代入，整理后通過比較系數(shù)求得，，。

例4求的帶佩亞諾余項(xiàng)的三階麥克勞林公式。

泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)中的一個非常重要的工具，有著廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用泰勒公式計(jì)算實(shí)際問題，關(guān)鍵是對泰勒定理的本質(zhì)理解透徹，然后靈活運(yùn)用，熟能生巧。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王志平. 高等數(shù)學(xué) [M]. 上海：上海交通大學(xué)出版社，2012.

[2] 劉玉璉，傅沛仁等. 數(shù)學(xué)分析講義（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.