梯形波紋腹板鋼梁有限元優(yōu)化分析

羅洪光，張嬋韜，蔡誠秀

（湖南工程學院 建筑工程學院，湘潭411104）

1 概述

由于波紋腹板具備合理的受力性能，波紋腹板鋼梁得到廣泛應用［1-2］.

梯形波紋腹板構形及有關幾何參數(shù)如圖1所示.

圖1 梯形波紋腹板構形及幾何參數(shù)

由于存在“手風琴效應”，波紋腹板鋼梁剪力主要由腹板承擔，彎矩主要由翼緣承擔［3-4］.“手風琴效應”為計算帶來簡便，并被納入相關設計規(guī)范［2］.B.K?vesdi 等［5］指出可利用有限元方法精確計算波紋腹板鋼梁.羅洪光等［6］運用有限元對梯形波紋腹板鋼梁設計參數(shù)進行優(yōu)化分析.

本文擬針對常見的跨中集中荷載作用下的簡支梯形波紋腹板鋼梁，在彈性范圍內(nèi)運用通用有限元程序ANSYS［7］對鋼梁開展多個設計變量的優(yōu)化分析，并與平腹板鋼梁優(yōu)化對比，揭示梯形波紋腹板鋼梁承載特點，推進梯形波紋腹板鋼梁計算與設計.

2 有限元建模

本文計算首選梯形波紋腹板鋼梁試件設計變量為：hr=50 mm，d =50 mm，b=70 mm，腹板高度hw=500 mm，腹板厚度tw=3 mm，翼緣厚度tf=12 mm，翼緣寬度bf=250 mm.

圖2 所示梯形波紋腹板鋼梁跨中承受荷載2Fy作用，其幾何與荷載條件均為最不利情形［5］，［8］.圖2 所示的鋼梁計算模型如圖3 所示，在圖3 所示荷載條件下，本文計算取Fy=100 kN.

圖2 梯形波紋腹板鋼梁

圖3 梯形波紋腹板鋼梁計算模型

本文采用ANSYS 三維殼單元Shell93 進行建模，彈性模量E 取210 GPa，泊松比ν 取0.3.針對簡支鋼梁建模分析，支座及加載位置均對稱設置加勁肋.

3 有限元優(yōu)化

本文選擇梯形波紋腹板鋼梁的7 個幾何參數(shù)hr、b、d、tw、tf、bf和hw作為優(yōu)化設計變量.

設不考慮腹板的抗彎性能條件下的翼緣平均彎曲正應力為σ'x，σ'x大小與L 有關，為便于對比，在計算σ'x時，本文統(tǒng)一選取L=4 m.由于對稱性，本文采用半跨梁建模，支座端部位置處，腹板起始點位于翼緣中部，如圖2 所示.為了保證腹板板段的完整性，令實際半跨長度不小于2 m，且0.5L-2 m不大于0.5b 或0.5d.

在梯形波紋腹板鋼梁彈性抗彎強度計算中，需考慮翼緣橫向彎矩的影響［9］，翼緣最大橫向彎矩可采用式（1）進行計算.

式中，V 為計算截面剪力.

與My,max對應的最大正應力位于翼緣端部，則σ'x與（設二者為同號應力）疊加值σx相對較大.

本文選擇τxy、第一階屈曲系數(shù)k 以及σx作為狀態(tài)變量.

給設計變量定義一個合理的取值范圍有利于計算效率的提高［10］.本文設計變量hr上下限設為200 mm 和20 mm、設計變量d 和b 取值上下限均設為300 mm 和20 mm，設計變量tw取值下上限設為2 mm 和10 mm，tf取值下上限設為4 mm 和16 mm，bf取值下上限設為200 mm 和600 mm，hw取值下上限設為300 mm 和1500 mm.本文鋼梁采用Q235 鋼，為充分利用鋼梁抗剪和抗彎強度，狀態(tài)變量τxy和σx設定取值上限分別為125 MPa、215 MPa.考慮鋼梁的穩(wěn)定承載力不低于強度承載力的要求，狀態(tài)變量k 設定取值下限為1.

為實現(xiàn)計算的可對比性，本文將鋼梁單位長度體積2V/L 作為目標變量，其中V 為半跨鋼梁體積，不含加勁肋體積.

首先運行隨機搜索，可以刪除那些不合理的設計序列［11］.因此本文采用隨機搜索法對應命令“optype，grad”開展優(yōu)化計算，并運用“opsel，-1”刪除不可行設計，利用“opsel，n”命令選擇n 個較優(yōu)的可行設計，提高后續(xù)計算的運行效率.

零階方法是通用的ANSYS 優(yōu)化方法，可以有效地處理絕大多數(shù)的工程問題［12］，本文采用零階方法進行優(yōu)化計算.同樣，在前一輪零階方法計算結果基礎上，利用“opsel，n”命令選擇n 個較優(yōu)的可行設計，提高后一輪零階方法計算的運行效率.

零階方法在多重優(yōu)化方法中較為關鍵，進行若干輪零階方法計算，可逐步逼近優(yōu)化值.因此，運用ANSYS 參數(shù)化設計語言APDL，預設循環(huán)次數(shù)和目標變量值，利用零階方法進行循環(huán)優(yōu)化計算，利于實現(xiàn)優(yōu)化目的.

隨著向最優(yōu)點的靠近，優(yōu)化進展變得較為緩慢［13］.一般情況下，后一輪零階方法計算得到新的較優(yōu)設計，隨著零階方法計算輪數(shù)的增加，后續(xù)零階方法較優(yōu)設計目標變量計算值變化較小.

此外，為了盡量獲取全局最優(yōu)解，當前后2 輪零階方法較優(yōu)設計目標變量計算值比較接近時，本文再運用掃描法對整個設計空間進行等步長的掃描.

本文運用“opsweep”命令指定控制點和評估點個數(shù)，并及時運用“opsel，-1”和“opsel，n”命令選擇合適的可行設計集，提高后續(xù)計算效率.

前一輪多重優(yōu)化結束后，再依次運用隨機搜索法、零階方法、掃描法開展新一輪的優(yōu)化計算過程，直至前后2 輪優(yōu)化目標變量接近為止.經(jīng)過上述若干輪多重優(yōu)化，目標變量2V/L 的迭代曲線如圖4所示，其中橫坐標為設計集序號，縱坐標為目標變量計算值.本文迭代曲線對應的設計集均為可行設計集.需指出的是，在圖4 基礎上，還存在進一步優(yōu)化的可能.但在實際工程結構優(yōu)化時，工程師追求的并不是一個精確的最優(yōu)解，往往只要有一個合理的精度便夠了［13］.考慮到優(yōu)化空間逐步變小以及計算耗時逐步增加，因此本文目的不是確定一個精確的最優(yōu)解，只是求得具有一定實際應用意義的相對較優(yōu)解.

圖4 梯形波紋腹板鋼梁目標變量2V/L的迭代曲線1

圖4 中相對較優(yōu)解對應的設計集序號為241，由于在優(yōu)化過程中，本文僅選擇若干較優(yōu)設計集作為后續(xù)優(yōu)化的基礎，因此圖4 設計集序號只包含部分較優(yōu)設計集的序號.圖4 相對較優(yōu)解對應的目標變量2V/L = 4125.5 mm2，優(yōu)化解對應的設計變量tw=2.0 mm，hr=25.7 mm，d =44.8 mm，b=90.1 mm，tf=5.3 mm，bf=218.6 mm，hw=846.1 mm，0.5L=2001.1 mm.優(yōu)化解對應的剪應力τxy和正應力σx分別 為88 MPa 和214 MPa. 跨 中σxy和σx' 之 比 約 為0.04，說明優(yōu)化后的鋼梁橫向彎矩對于抗彎強度的影響并不大.第一階屈曲系數(shù)k=1.00，如圖5 所示，對應的梯形波紋腹板鋼梁屈曲模式為整體屈曲.

圖5 梯形波紋腹板鋼梁最優(yōu)解一階屈曲z向變形圖

需指出的是，為盡可能反映實際優(yōu)化計算結果，上述鋼梁優(yōu)化解相關幾何參數(shù)保留小數(shù)點后一位數(shù)值，鋼材密度以7.85 t/m3進行計算（后文不作說明，均同）.圖5 相對較優(yōu)解對應的每米鋼梁自重約為32.4 kg，而鋼梁優(yōu)化前對應的每米自重約為61.1 kg.優(yōu)化后與優(yōu)化前相比，每米鋼梁材料用量減少約47%.

在求最優(yōu)設計時精度不必要求很高.目前還缺少切實可行判別全局最優(yōu)的方法，常用的辦法是讓迭代算法從幾個不同的初始設計出發(fā)，從中比較出全局最優(yōu)的解［13］.

本文改變首選梯形波紋腹板鋼梁設計變量參數(shù)，選擇以下新的設計變量：hr=100 mm、d=200 mm、b=200 mm、hw=1000 mm、tf=10 mm、tw=6 mm、bf=400 mm.對新初始設計條件下的鋼梁進行優(yōu)化，目標變量2V/L 的迭代曲線如圖6 所示，相對較優(yōu)解對應的設計集序號為244，對應的目標變量2V/L =4340.1 mm2，0.5L=2032.2 mm，第一階屈曲系數(shù)k=1.02，類似于如圖5 所示對應的屈曲模式仍為整體屈曲.優(yōu)化解鋼梁每米自重約為34.1 kg，與首選設計變量對應的優(yōu)化解每米鋼梁自重32.4 kg 相比，偏差約為5%，二者比較接近.因此通過對比，可取每米鋼梁自重32.4 kg 對應的設計集作為本文梯形波紋腹板鋼梁相對較優(yōu)解.

圖6 梯形波紋腹板鋼梁目標變量2V/L的迭代曲線2

在鋼梁相對較優(yōu)解基礎上，對有關幾何參數(shù)取整，得到比較符合實際生產(chǎn)情況的設計變量：tw=2 mm，hr=25 mm，d=45 mm，b=90 mm，tf=6 mm，bf=220 mm，hw=850 mm.鋼梁自重約為35.0 kg/m，與優(yōu)化前自重61.1 kg/m 相比，每米鋼梁材料用量減少約43%.0.5L=2002.5 mm，第一階屈曲系數(shù)k=1.15，對應的屈曲模式為整體屈曲.τxy和σx分別為88 MPa 和185 MPa.跨中σyx和σ'x之比約為0.04.

對于平腹板鋼梁，選擇幾何參數(shù)tw、tf、bf和hw作為設計變量，設計變量初始值為：tw=6 mm、tf=10 mm、bf=400 mm 和hw=1000 mm.設計變量相應的上下限與梯形波紋腹板鋼梁相同，狀態(tài)變量、目標變量均同于梯形波紋腹板鋼梁.按上述多重優(yōu)化得目標變量2V/L 的迭代曲線如圖7 所示.

圖7 平腹板鋼梁目標變量2V/L的迭代曲線

圖7 中相對較優(yōu)解對應的設計集序號為82，平腹板鋼梁較優(yōu)解自重約為44.4 kg/m，與優(yōu)化前鋼梁自重110.8 kg/m 相比，每米鋼梁材料用量減少約66%.平腹板鋼梁較優(yōu)解主要幾何參數(shù)為：hw=424.5 mm、tw=4.1 mm、tf=7.8 mm、bf=250.0 mm、0.5L=2000.0 mm，剪應力τxy和正應力σx分別為100 MPa 和211 MPa，第一階屈曲系數(shù)k=1.00，對應的屈曲模式如圖8 所示，表現(xiàn)為整體屈曲.

圖8 平腹板鋼梁最優(yōu)解一階屈曲z向變形圖

經(jīng)過優(yōu)化，梯形波紋腹板鋼梁與平腹板鋼梁的τxy、σx均接近于強度上限值，第一階屈曲系數(shù)均接近于1，這表明優(yōu)化后的鋼梁抗彎、抗剪以及屈曲承載力均比較相近.與優(yōu)化前對比，優(yōu)化后鋼梁自重下降顯著，符合優(yōu)化目標.

就本文所選取的鋼梁優(yōu)化而言，與梯形波紋腹板鋼梁優(yōu)化解相比，平腹板鋼梁優(yōu)化解每米自重增加約37%，自重增加的主要因素在于板件厚度較大，其中平腹板鋼梁優(yōu)化解腹板厚度約為梯形波紋腹板鋼梁優(yōu)化解腹板厚度的2 倍.腹板厚度與鋼梁抗剪強度與腹板局部屈曲有關，這反映出與平腹板鋼梁相比，梯形波紋腹板鋼梁在腹板抗剪承載力方面具有一定程度的優(yōu)勢.另一方面，與梯形波紋腹板鋼梁優(yōu)化解相比，平腹板鋼梁優(yōu)化解梁高約為前者的50%，這主要是由于梯形波紋腹板鋼梁存在“手風琴”效應，腹板抗彎性能忽略不計的原因，從該角度而言，平腹板鋼梁在抗彎性能方面具有一定的優(yōu)勢.本文兩類鋼梁優(yōu)化解的對比展現(xiàn)了兩類鋼梁在抗剪和抗彎性能方面的主要特點.

4 結語

針對梯形波紋腹板鋼梁彈性計算，本文采用ANSYS 多重優(yōu)化方法對鋼梁開展多變量優(yōu)化分析，得到相應的優(yōu)化解.本文對梯形波紋腹板鋼梁與平腹板鋼梁進行了優(yōu)化對比，體現(xiàn)了兩類鋼梁主要承載性能特點.本文方法可為梯形波紋腹板鋼梁初步設計提供參考.