環(huán)Z4+uZ4上負(fù)循環(huán)碼的Hamming距離

王艷萍,李 杰

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

隨著對環(huán)Z4的研究，編碼學(xué)者對環(huán)上循環(huán)碼、常循環(huán)碼進(jìn)行了大量的研究[1-5]。其中，負(fù)循環(huán)碼作為一類特殊的常循環(huán)碼，也被廣泛研究[6-8]。負(fù)循環(huán)碼在整個(gè)編碼與密碼領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，其性質(zhì)的探究顯得格外重要。近些年，鏈環(huán)上碼的研究相對成熟，非鏈環(huán)上碼的研究相對較少。本文將研究一類非鏈環(huán)上碼的一些性質(zhì)，主要通過對環(huán)Z4+uZ4負(fù)循環(huán)碼結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的研究，定義了環(huán)上撓碼和剩余碼的概念，通過負(fù)循環(huán)碼及其撓碼的關(guān)系，討論了該環(huán)上負(fù)循環(huán)碼的Hamming距離，為編碼與密碼學(xué)提供了理論參考。

1 預(yù)備知識

記R=Z4+uZ4={a+ub|a,b∈Z4,u2=0}，且R?Z4[u]/。環(huán)上的單位：1,3,1+u,1+2u,1+3u,3+u,3+2u,3+3u；其非單位：0,2,u,2u,2+u,2+2u,3u,2+3u。易知，該環(huán)不是主理想環(huán)，且有極大理想(2,u)。

定義1 在Rn上，有τ-1(c0,c1,…,cn-1)=(-cn-1,c0,…,cn-2)，對線性碼C有τ-1(C)=C，則碼C是R上的負(fù)循環(huán)碼。

下記S=Z4，Rn=R[x]/(xn+1)，Sn=S[x]/(xn+1)。?f(x)∈Rn，能唯一寫成f(x)=f1(x)+uf2(x),f1(x)、f2(x)∈Sn。如無特殊說明，本文所出現(xiàn)的R、S、Rn、Sn均為上述記法，且約定文中的n=2k。

引理1 在Rn中，假設(shè)m=2k,k∈N+，則有(x+1)m=xm+1+2xm/2。

引理2 在Rn中，若當(dāng)n=2k,k∈N+時(shí)，則Rn為局部環(huán)，且其極大理想為(u,x+1)。

證明 可定義映射Φ:Rn→Sn，有Φ(f(x))=f1(x)mod(u)，易證Φ為滿同態(tài)。由文獻(xiàn)[9]可知：Z4[x]/(x2k+1)是局部環(huán)，(x+1)為其極大理想。則有Φ-1((x+1))=(u,x+1)。又因(u,x+1)里包含Rn中的所有非單位，所以(u,x+1)是Rn唯一極大理想，即Rn是局部環(huán)。

引理3 在Rn中，(x+1)n=2xn/2，(x+1)為冪零元，冪零指數(shù)為2n。

證明 (x+1)n=xn+1+2xn/2，因xn=-1,(x+1)n=2xn/2，則(x+1)2n=0。下證，不?l<2n,有(x+1)l=0。設(shè)?n

2 環(huán)R上負(fù)循環(huán)碼的Hamming距離

引理4[10]記I為Rn上的理想。如果T是滿足下面式子的最小正整數(shù)。

u(x+1)T∈I=((x+1)s+u(x+1)th(x))

當(dāng)1≤s≤n-1,0≤t

當(dāng)n≤s≤2n-1,t

當(dāng)n≤s≤2n-1,t≥s-n,degh(x)≤n-t-1，h(x)∈Sn為單位時(shí)，則T=min{s,2n-s+t}；

u(x+1)T∈I=((x+1)s+2u(x+1)th(x))

當(dāng)n≤s≤2n-1,0≤t

u(x+1)T∈I=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)))

當(dāng)n≤s≤2n-1,0≤t

注1 假設(shè)T1為使得當(dāng)2u(x+1)T1∈I=((x+1)s+u(x+1)th(x))時(shí)對應(yīng)的最小值，在此不再具體討論。

為討論環(huán)R上負(fù)循環(huán)碼的Hamming距離，首先定義其撓碼與剩余碼。

由上述概念，可得：

(1)平凡理想

① 當(dāng)C=(0)時(shí)，則有Tor(C)=Res(C)=(0)；

② 當(dāng)C=(1)時(shí)，則有Tor(C)=Res(C)=(1)；

(2)主理想

① 當(dāng)C=(u(x+1)m),0≤m≤2n-1時(shí)，則有Tor(C)=((x+1)m),Res(C)=(0)；

③ 當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x))，n≤s≤2n-1,0≤t

④ 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)))，n≤s≤2n-1,0≤t

(3)非主理想

① 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)th(x),u(x+1)m),1≤s≤2n-1,0≤t

② 當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x),u(x+1)m)，n≤s≤2n-1,0≤t

③ 當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x),2u(x+1)m1)，n≤s≤2n-1,0≤t

④ 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)),u(x+1)m)，n≤s≤2n-1,0≤t

⑤ 當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)),2u(x+1)m1)，n≤s≤2n-1,0≤t

引理5 對R上負(fù)循環(huán)碼C(n=2k)，有dH(C)=dH(Tor(C))。

證明 因?yàn)閡Tor(C)?C，所以有dH(C)≤dH(uTor(C))=dH(Tor(C))。又?0≠c∈C，如果c(modu)=0，則?0≠c′∈Tor(C)，有c=uc′，所以WH(c)=WH(uc′)=WH(c′)≥dH(Tor(C))。如果c(modu)≠0，則c(modu)∈Res(C)?Tor(C)，所以WH(c)≥WH(c(modu))≥dH(Tor(C))。即證。

命題1[11]Z4上長為n=2k的負(fù)循環(huán)碼為碼C，則C=((x+1)i),0≤i≤2n,其Hamming距離：

由引理5、命題1及上述撓碼分析，可得本文重要定理。

定理1R上長為n的負(fù)循環(huán)碼C，有C的Hamming距離：

(1)當(dāng)C=(u(x+1)m),0≤m≤2n-1時(shí)，dH(C)=Δm；

(2)當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)th(x)),1≤s≤2n-1,1≤t

(3)當(dāng)C=((x+1)s+2u(x+1)th(x))，n≤s≤2n-1,0≤t

(4)當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)))，n≤s≤2n-1,0≤t

證明(1)因當(dāng)C=(u(x+1)m)時(shí)，有Tor(C)=((x+1)m),又dH(C)=dH(Tor(C))，由命題1可知dH(C)=Δm；

(2)當(dāng)C=((x+1)s+u(x+1)th(x))時(shí)，有Tor(C)=((x+1)T)其中

將T的值代入命題1，可得

同理可證結(jié)論(3)和結(jié)論(4)。

注2 對于非主理想的情形，易得dH(C)=Δm與dH(C)=Δm1。

3 結(jié) 語

本文主要通過定義R上的撓碼與剩余碼，來討論R上負(fù)循環(huán)碼的Hamming距離，為代數(shù)編碼與密碼學(xué)提供了理論基礎(chǔ)，后續(xù)將進(jìn)一步研究該環(huán)上常循環(huán)碼、對偶碼等性質(zhì)。