B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界的新估計式

周 平

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)與工程學(xué)院，云南 文山 663099)

線性互補(bǔ)問題LCP(A,q)是數(shù)值計算與運(yùn)籌學(xué)之間相互交叉的研究領(lǐng)域之一，其在力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、控制論等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用的一類優(yōu)化問題，如:接觸力學(xué)問題、流體彈性動態(tài)潤滑問題、空間價格問題、交通平衡問題、對策論模型及最優(yōu)控制問題等[1-5]。對于給定的n階矩陣A=(aij)∈Rn×n，n維實向量q∈Rn，LCP(A,q)的模型是指尋找解x*∈Rn，使其滿足

Ax+q≥0，(Ax+q)Tx=0，x≥0。

(1)

(2)

其中

2016年，李朝遷等[9]給出比(2)式更好的結(jié)果：

(3)

其中

2018年，王峰等[11]獲得如下估計式：

(4)

其中

本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討了LCP(A,q)中A是B-矩陣時的誤差界,給出其上界的一個新估計式，理論分析和數(shù)值例子均表明，新估計式改進(jìn)了現(xiàn)有的一些結(jié)果。

1 符號、定義和引理

為了便于后文的探討，先給出如下記號：

記N={1,2,…,n}]，Rn×n是全體n×n階實矩陣構(gòu)成的集合。設(shè)A=(aij)∈Rn×n，對任意的i、j、k∈N，j≠i，令

引理1[15]設(shè)A=(aij)∈Rn×n為嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣，則

‖A-1‖

引理2[8]若γ>0,η≥0，則對任意的x∈[0,1]，有

2 主要結(jié)果

定理1 如果A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣，令A(yù)=B++C，且B+=(bij)形同式(1)，那么

(5)

證明 設(shè)AD=I-D+DA，則

AD=I-D+D(B++C)=(I-D+DB+)+DC，

對任意的i、j、k∈N且j≠i，應(yīng)用引理2和引理3得

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

且有

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

故由式(13)-式(17)得

接下來，對定理1和式(3)進(jìn)行比較。

定理2 如果A=(aij)∈Rn×n是B-矩陣，令A(yù)=B++C，且B+=(bij)如(1)式定義，那么

(18)

證明 應(yīng)用定理1證明中的式(6)-式(12),文獻(xiàn)[15]中的定理2的證明以及B+的概念，知

則j

進(jìn)而

所以

又注意到

綜上所證知式(18)成立。本文給出的估計式和文獻(xiàn)[11]中給出的結(jié)果不便于從理論上進(jìn)行比較，但可從下面的數(shù)值例子進(jìn)一步驗證文中給出的定理1比文獻(xiàn)[11]中的估計式好，提高了估計的精確度。

3 數(shù)值例子

顯然，根據(jù)定理2的證明以及此例子可知，文中定理1給出的估計式優(yōu)于文獻(xiàn)[7,9,11]給出的結(jié)果，是對矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)內(nèi)容的一個有益的補(bǔ)充。