高超聲速滑翔飛行器滑翔段初始狀態(tài)的唯一性和最優(yōu)性分析*

孟繁卿，田康生

(1. 空軍預警學院 研究生大隊， 湖北 武漢 430019； 2. 空軍預警學院 預警情報系， 湖北 武漢 430019)

臨近空間高超聲速滑翔飛行器通常是指飛行馬赫數(shù)大于5、在距地面20～100 km的高度依靠空氣動力滑翔的一種飛行器。臨近空間高超聲速滑翔飛行器的顯著特點是飛行高度比彈道導彈低，飛行速度遠高于普通航空飛行器。因此高超聲速滑翔飛行器兼具彈道導彈的高速、航空飛行器的靈活機動的特點，被視為改變戰(zhàn)爭規(guī)則的“撒手锏”武器。高超聲速滑翔飛行器可多次變軌，其彈道大部分為滑翔段，而滑翔段的彈道特性除受控制律控制外，主要受滑翔段初始狀態(tài)影響。

文獻[1]針對平衡滑翔彈道對初始狀態(tài)精度要求高的特點，設計了基于預測校正的制導律，增強了平衡滑翔彈道對初始狀態(tài)的魯棒性。文獻[2]利用正則攝動的方法得出了高超聲速滑翔飛行器平穩(wěn)滑翔的解析解，分析了平穩(wěn)滑翔彈道的動態(tài)特性。文獻[3-5]以射程最大、能量最省、總氣動加熱最小等為優(yōu)化目標，分析了不同飛行器初始狀態(tài)以及飛行器升阻比等氣動參數(shù)對彈道的影響，指出飛行器彈道特性主要受飛行器初始狀態(tài)影響。文獻[6-7]利用高斯偽譜法，分別從燃料最省和航路規(guī)劃的角度對高超聲速飛行器的軌跡進行了優(yōu)化。文獻[8]利用物理規(guī)劃和遺傳算法，求解了射程最大、約束變量最小、彈道最穩(wěn)定的優(yōu)化彈道。文獻[9]利用模式搜索算法對高超聲速飛行器軌跡進行優(yōu)化，分析約束條件對飛行器軌跡和彈道的影響，為確定飛行器的初始狀態(tài)提供了參考。文獻[10-11]指出跳躍滑翔彈道的初始狀態(tài)決定了飛行器的飛行能力，用分段高斯偽譜法對多約束條件下的滑翔彈道進行了優(yōu)化。文獻[12]從雷達跟蹤精度的角度對跳躍滑翔彈道的突防性能進行了分析，得出了彈道的機動性能越強、飛行器的突防性能越優(yōu)的結論。文獻[13]利用正交試驗分析了初始狀態(tài)對跳躍滑翔彈道機動性能的影響，通過回歸分析估計了機動性能最優(yōu)時的滑翔段初始狀態(tài)。

以上文獻的研究主要集中于平衡滑翔彈道的彈道特性分析以及跳躍滑翔彈道的控制律優(yōu)化設計，尚缺乏滑翔段初始狀態(tài)對彈道特性影響規(guī)律的研究。因為高超聲速滑翔飛行器是一種無動力飛行器，滑翔段初始狀態(tài)對飛行器滑翔段的飛行能力和彈道特性至關重要，所以有必要研究滑翔段初始狀態(tài)對高超聲速滑翔飛行器彈道特性的影響規(guī)律。

1 高超聲速滑翔飛行器滑翔段運動模型

1.1 飛行器滑翔段運動方程

根據(jù)高超聲速滑翔飛行器在滑翔段的受力情況，建立速度和位置的四自由度運動方程，如式(1)所示。式中，V是飛行器飛行速度，γ是速度傾角，(x,z)是飛行器在縱向平面內(nèi)的位置坐標，m是飛行器質(zhì)量，g0是重力加速度常數(shù)，L是飛行器所受升力，D是飛行器所受阻力。

(1)

其中升力、阻力的計算可由式(2)求得。ρ為大氣密度，如式(3)所示，在此采用指數(shù)模型計算飛行器所在飛行高度的大氣密度，ρ0=1.225 kg/m3為海平面大氣密度常數(shù)，ξ=8434 m為高度常數(shù)；S是飛行器的參考面積；CL和CD為飛行器升力系數(shù)、阻力系數(shù)[14]。

(2)

(3)

1.2 滑翔段彈道控制參數(shù)模型

1.2.1 縱向平衡滑翔彈道控制參數(shù)模型

飛行器縱向平衡滑翔時，在縱向平面內(nèi)受力平衡，速度傾角變化率為零(如式(4)所示)，又因為飛行器在縱向平面內(nèi)的主要控制參數(shù)是攻角α，所以令飛行器攻角保持不變、同時滿足速度傾角變化率為零的限制條件[8]，即可實現(xiàn)臨近空間高超聲速滑翔飛行器的縱向平衡滑翔。

(4)

1.2.2 縱向跳躍滑翔彈道控制參數(shù)模型

控制臨近空間高超聲速滑翔飛行器在縱向平面內(nèi)跳躍運動的主要參數(shù)是攻角α，縱向跳躍滑翔彈道控制參數(shù)模型即攻角α參數(shù)模型[15]，如式(5)所示。

(5)

式中，αmax為最大飛行攻角，αKmax為最大升阻比攻角，V1和V2分別為攻角參數(shù)變化的兩個臨界速度。

2 縱向平衡滑翔初始狀態(tài)唯一性分析

2.1 飛行器狀態(tài)解析解

由平衡滑翔條件，將式(2)代入式(4)整理可得：

(6)

所以可推導出飛行器速度表達式為：

(7)

將式(3)代入式(7)整理可得：

(8)

式(8)對z求微分可得：

(9)

將式(8)代入式(9)可得：

(10)

將式(1)代入式(10)可得：

(11)

由式(10)和式(11)可得：

(12)

將式(2)、式(7)代入式(12)整理可得：

(13)

由式(13)可得飛行器速度V的解析式：

(14)

由式(7)和式(14)可得：

(15)

由式(3)和式(15)可得：

(16)

2.2 初始狀態(tài)唯一性分析

令V=f(γ)，對式(14)求導可得：

(17)

由式(17)可知f′(γ)>0，所以f(γ)為γ上的單調(diào)遞增函數(shù)。因為f(γ)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f-1(V)一定存在，且和f(γ)單調(diào)性一致。

(18)

由f-1(V)與f(γ)單調(diào)性一致可得，γ>f-1(Vmin)，當取Vmin=1700 m/s時，可得f-1(Vmin)=-2.084°，又因為文獻[15]已經(jīng)證明γ為負的小量，所以可將γ的取值范圍縮小為γ∈(-2.084°,0°)。

令z=g(γ)，C1=ρ0ξSCL，C2=ρ0ξSCD，對式(16)求導并整理可得：

(19)

令h(γ)=C1sinγ+C2cosγ可得：

(20)

將C1、C2代入式(20)可得：

(21)

由文獻[15]可知5°≤α≤25°，所以可得：

(22)

因為γ∈(-2.084°,0°)，所以可得h(γ)>0。將式(20)代入式(19)可得：

(23)

由式(23)可知g′(γ)<0，所以g(γ)為γ上的單調(diào)遞減函數(shù)。又因為f(γ)為γ上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以對初始狀態(tài)(V0,γ0,z0)，只要確定三個初始量中的一個量，其余兩個也唯一確定。當飛行器滑翔段初始狀態(tài)(V0,γ0,z0)滿足解析式(14)和式(16)時，飛行器才會以平衡滑翔彈道滑翔，否則只能以近似平衡滑翔彈道滑翔，或產(chǎn)生大幅度震蕩以跳躍滑翔彈道滑翔。

2.3 仿真校驗與分析

2.3.1 仿真設置

以美國洛克希德·馬丁公司開發(fā)的高超聲速通用氣動飛行器CAV-H為例，對平衡滑翔彈道滑翔段初始狀態(tài)分析進行驗證。CAV-H飛行器質(zhì)量為907.2 kg，參考面積為0.483 9 m2。取目標點位置(2×106m，-100 m)，αKmax=12°，x0=0 m。由式(14)和式(16)確定飛行器在45 km高度的平衡滑翔初始狀態(tài)V0=3563 m/s，γ0=-0.247 2°，z0=-45 000 m。

為分析縱向平衡滑翔時滑翔段初始狀態(tài)中各變量對彈道特性的影響，利用單因素敏感性分析方法對平衡滑翔彈道滑翔段的初始狀態(tài)進行敏感性分析。如表1所示，設計了三組仿真實驗進行對比：①保持(V0,γ0)不變，改變初始高度z0；②保持(γ0,z0)不變，改變初始速度V0；③保持(V0,z0)不變，改變初始速度傾角γ0。

表1 彈道0和三組對比彈道的滑翔段初始狀態(tài)

2.3.2 彈道軌跡分析

圖1是彈道0和三組對比彈道的彈道軌跡仿真。對比圖1(a)、圖1(b)、圖1(c)可知，當初始高度、初始速度傾角偏離初始狀態(tài)真值時，相應彈道都會圍繞平衡滑翔彈道上下小幅度跳躍，跳躍幅度越來越小、逐漸收斂于平衡滑翔彈道，且圖1(c)中三個彈道的波動幅度小于圖1(a)中三個彈道的波動幅度。當初始速度偏離平衡滑翔初始速度真值時，第二組三個彈道在平衡滑翔彈道上方跳躍，且與平衡滑翔彈道的偏差越來越大。從三組對比仿真可知，初始速度偏離平衡滑翔初始速度真值對平衡滑翔彈道軌跡影響最大，初始速度傾角偏離平衡滑翔初始速度傾角真值對平衡滑翔彈道軌跡影響最小。

(a) 彈道0和第一組彈道的彈道軌跡仿真圖

2.3.3 飛行速度誤差分析

圖2是三組對比仿真彈道的飛行速度與彈道0飛行速度的誤差曲線圖。對比圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)可知，第二組三個彈道的初始速

(a) 彈道0和第一組彈道的飛行速度誤差

度偏離平衡滑翔初始速度真值時，相應彈道的速度誤差最大，同時飛行過程中，速度誤差曲線降低的趨勢并不明顯。第三組三個彈道的初始速度傾角偏離平衡滑翔初始速度傾角真值時，對彈道的速度誤差影響最小，雖然第三組的速度誤差曲線呈現(xiàn)收斂于非零值的趨勢，但其速度誤差數(shù)值在三組對比仿真中最小。

2.3.4 速度傾角誤差分析

圖3是三組對比仿真彈道的速度傾角與彈道0速度傾角的誤差曲線圖。對比圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)可知，第二組三個彈道的初始速度偏離平衡滑翔初始速度真值時，相應彈道的速度傾角誤差介于第一組和第三組之間，但第二組三個彈道的速度傾角誤差曲線呈現(xiàn)發(fā)散、不斷變大的趨勢。第三組三個彈道的初始速度傾角偏離平衡滑翔初始速度傾角真值時，對彈道的速度傾角誤差影響最小，其速度傾角誤差曲線呈現(xiàn)不斷下降的趨勢，且速度傾角誤差數(shù)值最小。

(a) 彈道0和第一組彈道的速度傾角誤差

2.3.5 飛行高度誤差分析

圖4是三組對比仿真彈道的飛行高度與彈道0飛行高度的誤差曲線圖。對比圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)可知，第二組三個彈道的初始速度偏離平衡滑翔初始速度真值時，相應彈道的高度誤差與第一組大致相當，均高于第三組，但第二組三個彈道的高度誤差曲線振蕩發(fā)散、誤差數(shù)值不斷變大。第三組三個彈道的初始速度傾角偏離平衡滑翔初始速度傾角真值時，其高度誤差曲線振蕩收斂，彈道高度誤差數(shù)值在三組對比仿真中最小，對彈道高度誤差影響最小。

(a) 彈道0和第一組彈道的飛行高度誤差

3 縱向跳躍滑翔初始狀態(tài)最優(yōu)性分析

3.1 最優(yōu)性問題描述

由前文分析可知，飛行器滑翔彈道產(chǎn)生跳躍的原因是初始狀態(tài)不滿足平衡滑翔條件，即跳躍滑翔彈道滑翔段的初始狀態(tài)不唯一。正是因為跳躍滑翔彈道滑翔段初始狀態(tài)不能唯一確定，所以有必要對其初始狀態(tài)的最優(yōu)性進行研究，即尋找跳躍滑翔彈道滑翔段的最優(yōu)初始狀態(tài)。在此以飛行彈道的彈道性能最優(yōu)為目標，初始狀態(tài)最優(yōu)性的數(shù)學模型如下：

彈道性能：f(V0,γ0,z0)

約束條件：

由初始狀態(tài)最優(yōu)性的數(shù)學模型可知，求解最優(yōu)的初始狀態(tài)為多約束條件下的優(yōu)化問題。為便于問題求解，引入懲罰函數(shù)，將有約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題，如式(24)所示，為彈道性能函數(shù)f(V0,γ0,z0)引入懲罰因子pi(i=1,2,…,5)。當滑翔彈道不滿足約束條件時，需要在相應彈道的性能函數(shù)上疊加懲罰因子。

(24)

3.2 評價指標

為了評價以不同初始狀態(tài)進行跳躍滑翔時的彈道特性，特選擇以下幾個評價指標。

1)機動變軌次數(shù)：機動變軌次數(shù)Nm定義為飛行器縱向加速度符號發(fā)生變化的次數(shù)。高超聲速滑翔飛行器的彈道上下跳躍，所以無法像彈道導彈一樣反推導彈的發(fā)射點和預測導彈的落點。機動變軌次數(shù)是高超聲速滑翔飛行器機動性能的重要體現(xiàn)，機動變軌次數(shù)越多，飛行器彈道越靈活多變。

2)首跳高度：首跳高度ΔH是指飛行器第一次跳躍時的高度大小，其數(shù)值等于滑翔段初始位置與彈道軌跡曲線第一個極值點(極大值或極小值)之間的高度差。因為無法準確定義跳躍滑翔彈道的平衡位置，且隨著飛行速度的下降，飛行器的跳躍幅度越來越小，所以采用首跳高度來衡量高超聲速滑翔飛行器彈道的跳躍強度。

3)飛行時間：飛行時間ΔT是指飛行器滑翔段初始時刻與滑翔段結束時刻的差值。飛行時間越短，飛行器暴露在雷達、衛(wèi)星等探測裝備探測區(qū)的時間越短，越不容易被發(fā)現(xiàn)。即便被探測裝備發(fā)現(xiàn)，因為飛行時間短，留給攔截武器的時間將被大大壓縮，也將極大提高飛行器的生存能力。

4)剩余機械能：剩余機械能Ef是指滑翔段結束時刻高超聲速滑翔飛行器總的機械能。高超聲速滑翔飛行器在滑翔段做無動力滑翔，所以飛行過程中其機械能是不斷減小的?；瓒问Ｓ鄼C械能即飛行器末段的最大機械能。飛行器的剩余機械能越大，則為末段彈道提供的可利用能量空間越大。

綜合以上評價指標以及約束條件，可確定求解最優(yōu)初始狀態(tài)時的目標函數(shù)，如式(25)所示。其中ω1、ω2、ω3、ω4分別為四個評價指標的指標權重，可通過本征向量法確定各評價指標的指標權重值為(0.472 9，0.169 9，0.284 4，0.072 8)。

f(V0,γ0,z0)=max(ω1Nm+ω2ΔH+

(25)

3.3 粒子群算法

粒子群算法是一種全局迭代搜索算法，該算法將優(yōu)化問題的解看作是搜索空間中的粒子。算法起始時，隨機產(chǎn)生種群大小為Npso的初始粒子群，即初始解集。在每次迭代中，利用目標函數(shù)計算粒子的適應度值，并更新粒子個體最優(yōu)解和粒子群全局最優(yōu)解。兩個最優(yōu)解更新完畢后，按照式(26)更新各粒子的速度和位置，實現(xiàn)粒子在解空間的局部搜索和全局搜索。當算法達到終止條件時，迭代結束并輸出搜索結果。

(26)

式中，vj(t)為第t次迭代后粒子的速度，wpso為搜索慣性權重，C1pso和C2pso為學習因子，r1(t)、r2(t)為介于0和1之間的隨機數(shù)，pj(t)為第t次迭代后粒子的個體最優(yōu)解，g(t)為第t次迭代后粒子群的全局最優(yōu)解，zj(t)為第t次迭代后粒子的位置。

3.4 仿真校驗與分析

3.4.1 仿真校驗

通過粒子群算法可求得最優(yōu)的初始狀態(tài)(V0,γ0,z0)為(4864.718 m/s，-4.727 8°，-93 691.965 m)，機動變軌次數(shù)Nm=12，首跳高度ΔH=53.181 km，飛行時間ΔT=1085 s，剩余機械能Ef=4.711×108J，目標函數(shù)值f(V0,γ0,z0)=0.568 3。

為分析縱向跳躍滑翔彈道滑翔段最優(yōu)初始狀態(tài)中各變量對彈道特性的影響，利用單因素敏感性分析方法對跳躍滑翔彈道滑翔段的最優(yōu)初始狀態(tài)進行敏感性分析。如表2所示，設計以下三組對比實驗：①在最優(yōu)的初始速度和速度傾角(V0,γ0)條件下，改變初始高度z0；②在最優(yōu)的初始速度傾角和高度(γ0,z0)條件下，改變初始速度V0；③在最優(yōu)的初始速度和高度(V0,z0)條件下，改變初始速度傾角γ0。

表2 彈道10和三組對比彈道的滑翔段初始狀態(tài)

三組對比實驗以及最優(yōu)初始狀態(tài)對應彈道的性能指標值和目標函數(shù)值如表3所示。由表3可知，最優(yōu)初始狀態(tài)的目標函數(shù)值最大，第五組三個彈道的目標函數(shù)值最小。下面從彈道軌跡和縱向加速度兩個方面對三組彈道和最優(yōu)初始狀態(tài)對應彈道的彈道特性進行分析。

表3 彈道10和三組對比彈道的評價指標值和目標函數(shù)值

3.4.2 彈道軌跡分析

圖5是三組對比彈道和彈道10的彈道軌跡仿真圖。從圖5(a)中可以看出，當初始高度偏離最優(yōu)初始高度時，彈道的首跳高度會相應降低，且偏離程度越大，首跳高度越小。從圖5(b)中可以看出第五組的三個彈道，滑翔段終點距離目標點的終端距離大于200 km，不滿足終端約束。雖然第五組三個彈道的性能指標，除機動變軌次數(shù)外均優(yōu)于彈道10的性能指標，但因為第五組的三個彈道不滿足終端約束條件，所以第五組三個彈道初始狀態(tài)的目標函數(shù)值明顯低于其他兩組彈道和彈道10初始狀態(tài)的目標函數(shù)值。從圖5(c)中可以看出，當初始速度傾角偏離最優(yōu)初始速度傾角時，彈道的首跳高度會相應降低，且偏離程度越大，首跳高度越小。

對比圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)可知，當彈道的初始狀態(tài)偏離最優(yōu)初始狀態(tài)時，彈道軌跡均會偏離最優(yōu)彈道軌跡，相應初始狀態(tài)的目標函數(shù)值都低于最優(yōu)初始狀態(tài)的目標函數(shù)值。當初始速度偏離最優(yōu)初始速度時，相應彈道軌跡偏離最優(yōu)彈道的程度越來越大，且不能滿足終端約束條件，對彈道性能影響最大。當初始速度傾角偏離最優(yōu)初始速度傾角時，彈道軌跡偏離最優(yōu)彈道的程度最低，首跳高度下降在幾十米的量級。當初始高度偏離最優(yōu)初始高度時，彈道軌跡偏離最優(yōu)彈道的程度介于第六組和第五組之間，其首跳高度下降在幾百米的量級。

(a) 彈道10和第四組彈道的彈道軌跡仿真圖

3.4.3 縱向加速度分析

圖6是兩組對比彈道和彈道10的縱向加速度曲線，因為第五組的三個彈道不滿足終端約束條件，所以主要對第四組和第六組彈道的縱向加速度進行分析。從圖6(a)中可以看出，當初始高度偏離最優(yōu)初始高度時，縱向加速度曲線會偏離最優(yōu)初始狀態(tài)對應彈道的縱向加速度曲線。在飛行結束之前，彈道11、彈道12、彈道13均能完成最后一次縱向加速度符號翻轉，所以彈道11、彈道12和彈道13的縱向機動變軌次數(shù)與彈道10相同。從圖6(b)中可以看出，當初始速度傾角偏離最優(yōu)初始速度傾角時，縱向加速度曲線會偏離最優(yōu)初始狀態(tài)對應彈道的縱向加速度曲線。在飛行結束之前，彈道17、彈道18、彈道19均未能完成最后一次縱向加速度符號翻轉，所以彈道17、彈道18和彈道19的縱向機動變軌次數(shù)少于彈道10的縱向機動變軌次數(shù)。

(a) 彈道10和第四組彈道的縱向加速度

4 結論

針對臨近空間高超聲速滑翔飛行器滑翔段初始狀態(tài)影響其彈道特性的規(guī)律問題，在平衡滑翔條件下，從理論上證明了縱向平衡滑翔彈道滑翔段初始狀態(tài)的唯一性。由敏感性分析可知，當初始速度偏離平衡滑翔初始速度真值時，隨著飛行過程的進行，其彈道逐漸發(fā)散，對彈道特性的影響最大；當初始速度傾角偏離平衡滑翔初始速度傾角真值時，其彈道軌跡、狀態(tài)變量均趨向于收斂到平衡滑翔的彈道軌跡和狀態(tài)變量，對彈道特性的影響最小。在跳躍滑翔條件下，利用粒子群算法求解了彈道性能最優(yōu)時的滑翔段初始狀態(tài)。由敏感性分析可知，當初始速度偏離跳躍滑翔最優(yōu)初始速度時，其彈道不滿足約束條件，相應彈道初始狀態(tài)的目標函數(shù)值最低；當初始速度傾角偏離最優(yōu)初始速度傾角時，從彈道軌跡的角度分析，其彈道軌跡最接近最優(yōu)的彈道軌跡。