高濤 何秀麗

0 引言

圖像去噪是圖像處理中的基本問題,其目標(biāo)是從含噪的觀測(cè)圖像中估計(jì)出理想圖像.通常這是一個(gè)不適定的反問題,大量文獻(xiàn)對(duì)該問題進(jìn)行了深入的研究,但主要針對(duì)的是高斯白噪聲[1].然而,如CCD(電荷耦合元件)固態(tài)光電檢測(cè)器陣列、天文成像、計(jì)算X 射線成像(CR)、熒光共焦顯微成像等,獲取的圖像往往受到量子噪聲的污染,量子噪聲一般為非高斯白噪聲,而是服從于泊松分布的泊松噪聲y～P(y):

(1)

其中,P(y)為泊松噪聲的概率密度函數(shù)．另外,式(1)還體現(xiàn)出泊松噪聲強(qiáng)度與方差是信號(hào)依賴的.統(tǒng)計(jì)上,亮度大的像素受到更多的干擾,因此去除泊松噪聲是一個(gè)困難的任務(wù)．迄今為止,有許多學(xué)者在灰色圖像的泊松去噪方面做出了大量工作[2]．但是,針對(duì)彩色圖像(RGB)的泊松去噪研究至今很少.

小波分析作為近年來發(fā)展起來的一種新的信號(hào)分析方法,兼有時(shí)域分析和頻域分析的特點(diǎn),在分析信號(hào)的去噪方面有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)．小波變換以其特有的多分辨率性、去相關(guān)性和選基靈活性等特點(diǎn),使得它在圖像去噪方面大有可為．圖像信號(hào)與噪聲信號(hào)經(jīng)過小波變換后,在不同的分辨率下呈現(xiàn)出不同規(guī)律.在不同的分辨率下,設(shè)定閾值門限,調(diào)整小波系數(shù),就可以達(dá)到小波去噪的目的．小波去噪的方法有很多種,本文選用的是小波閾值去噪．特別的,本文選擇小波緊框架[3],因?yàn)樗亩喾直媛侍匦院腿哂嘤兄谒惴ǖ膶?shí)現(xiàn)和圖像的稀疏表示[4-5].

本文基于Goldstein等[6]的研究工作,提出了一種基于小波緊框架的彩色圖像泊松去噪模型．該模型是由保真項(xiàng)和正則項(xiàng)構(gòu)成的最小凸問題．基于泊松噪聲的概率密度函數(shù)特征,保真項(xiàng)為賦權(quán)的二范數(shù)項(xiàng),與此同時(shí),本文在正則項(xiàng)中引入小波緊框架,從而更好地保持了圖像的棱角細(xì)節(jié)．緊接著,本文又提出了解決上述模型的重新賦權(quán)的split Bregman 算法．在本文最后,又給出了該算法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果,結(jié)果顯示該算法具有一定的實(shí)用性和應(yīng)用推廣價(jià)值.

1 背景知識(shí)

圖像去噪需要較好地保持圖像邊界等細(xì)節(jié)信息．本文將含有噪聲的彩色圖像看作一個(gè)M維的向量f∈RM,具體表達(dá)形式如下:

f=u+ε,

(2)

其中,u為干凈彩色圖像,ε是噪聲干擾項(xiàng)．f=(f1,f2,f3),u=(u1,u2,u3)分別代表了RGB 3個(gè)通道．并且,對(duì)于所加的白高斯噪聲,方差為σ2的獨(dú)立正態(tài)分布．采用經(jīng)典的最大后驗(yàn)概率P(u|f)估計(jì),圖像去噪的變分模型通常是保真項(xiàng)和正則項(xiàng)之和的最小化:

其中,λ是一個(gè)正數(shù),用于平衡保真項(xiàng)F(u)和正則項(xiàng)G(u)．保真項(xiàng)是關(guān)于噪聲的特性,由似然函數(shù)得到,數(shù)據(jù)的保真項(xiàng)可以保持修復(fù)后的圖像u與觀察的圖像f足夠接近,否則有用的信息可能在求解模型時(shí)丟失．正則項(xiàng)G(u)是基于u的先驗(yàn)假設(shè)得出的,而懲罰項(xiàng)l1的標(biāo)準(zhǔn)解代表了小波變換的系數(shù)[7]．因此,下面的變分模型主要研究高斯白噪聲圖像恢復(fù):

這里‖.‖1表示l1范數(shù),W是一個(gè)小波變換[7].

假定觀察數(shù)據(jù)f∈RM含有泊松噪聲,即

f～P(u+c),

給定u,可以得到觀測(cè)數(shù)據(jù)f的概率：

這里,ui表示u的第i行元素．根據(jù)泊松噪聲的性質(zhì),可以得出f的期望和方差：

E(f|u)=var(f|u)=u.

2 泊松去噪的加權(quán)最小二乘法

2.1 小波框架

小波框架是一族冗余的具有多分辨率分析(MRA)的系統(tǒng),它在圖像處理等領(lǐng)域已經(jīng)有很好的應(yīng)用．小波框架的構(gòu)造可通過 UEP(不等差錯(cuò)保護(hù))方法來生成[8].

通過小波緊框架系統(tǒng)的濾波器,可以生成快速緊框．矩陣W由J+1個(gè)子濾波器W0,W1,…,WJ構(gòu)成．其中,W0是低通濾波器,其余的均是高通濾波器．相應(yīng)地,由統(tǒng)一展成原則,WT是快速緊框架重構(gòu)算子,且WTW=I對(duì)任何圖像u均有WTWu=u.

2.2 模型和算法

根據(jù)式(2),可以得到泊松噪聲的表達(dá)式如下:

ε=f-u.

假設(shè)給定u,可以得出期望E(ε|u)=0和方差var(ε|u)=u.

接下來,用高斯噪聲[9]近似估計(jì)泊松噪聲ε,即ε服從正態(tài)分布N(0,u):

P(ε|u)

(3)

其中,∑是協(xié)方差矩陣．由于每個(gè)像素上的噪聲是相互獨(dú)立的,因此可以得到

∑=diag(u),

其中,diag(u)是對(duì)角矩陣．運(yùn)用極大似然估計(jì),取式(3)的負(fù)對(duì)數(shù),得到保真項(xiàng)為

(4)

(5)

通過假設(shè)u>0,所以∑-1是正定的．式(5)可以作為偏差原理去選擇正則化參數(shù)λ．然而,由于保真項(xiàng)中含有一個(gè)未知的權(quán)重u,所以該問題十分難解．因此需要近似u[10].

最簡(jiǎn)單的做法是將觀察到的數(shù)據(jù)f來近似未知的權(quán)重u,從而得到如下表達(dá)式:

但是,這種近似是粗糙的或者是不精確的．本文提出一種重新賦權(quán)的split Bregman算法可以更精確地求解未知量u.

結(jié)合框架的稀疏化和非負(fù)性的約束,可以得到彩色圖像的泊松去噪模型:

其中

這一方法可以直接應(yīng)用到求解非線性最小二乘法的稀疏正則化問題,為此平滑的正則化項(xiàng)l1范數(shù)可以通過計(jì)算梯度獲得．筆者感興趣的是可以用加權(quán)最小二乘結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì),并利用提出的高效稀疏正規(guī)化方案,例如split Bregman方法[11]來實(shí)現(xiàn)．假設(shè)有一個(gè)迭代算法可以求解上式,并且求得的結(jié)果是序列uk．如果uk收斂到u*,通過固定u*可以解決下列最小化問題:

(6)

為了接近先前的迭代而使結(jié)果穩(wěn)定,可以在u和d的更新中增加一個(gè)鄰近項(xiàng)．給定γ1,γ2,具體步驟如下:

(7)

當(dāng)γ1=γ2=0時(shí),它就是之前的式(6).

算法1更詳細(xì)地描述了式(7)．另外,需特別注意的是,第一步可通過梯度方法投影到非負(fù)象限解決．在實(shí)踐中,多幾次迭代足以獲得一個(gè)合理的結(jié)果.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面,將泊松噪聲模型數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果與未加噪聲的原始圖像進(jìn)行比較從而證明算法的合理性．其中在干凈的圖像中添加泊松噪聲使用的是Matlab中的‘poissrnd’命令．所有的實(shí)驗(yàn)選擇分段線性B樣條．對(duì)應(yīng)的濾波器離散形式[12]如下:

圖1是試驗(yàn)圖像進(jìn)行算法執(zhí)行的結(jié)果,上層是原始圖像,中間是加泊松噪聲后的圖像,下層為算法迭代20次恢復(fù)的圖像．圖2是試驗(yàn)迭代次數(shù)與對(duì)應(yīng)的PSNR的值.

由圖1可以直觀地看出,本文所做的3組數(shù)值實(shí)驗(yàn)的去噪效果均非常好．彩色圖像中的具體細(xì)節(jié)得到了有效的保持.

由圖2可以看出,算法的PSNR值均在迭代10次左右達(dá)到最大,最大值均接近27．由此可以看出,算法不但去噪效果好,而且去噪效率極高,從而在具體的生產(chǎn)實(shí)際中有著重要的推廣價(jià)值.

算法1 泊松噪聲去噪的重新賦權(quán)l(xiāng)2范數(shù)split Bregman算法初始化:u0=0,d0=Wf,b0=0,k=1,0是初始的協(xié)方差矩陣.當(dāng) ‖uk-2-uk-1‖2>δ或k=1運(yùn)行,uk+1=argminu≥012‖u-f‖2-1k-1+μ2‖Wu-dk-1+bk-1‖22+γ12‖u-uk-1‖22,dk=sign μ(Wuk+bk-1)+γ2dk-1μ+γ2 ·maxμ(Wuk-1+bk-1) +γ2dk-1-λ/(μ+γ2),0 ,bk=bk-1+Wuk-dk,∑k=diag(uk),k=k+1.結(jié)束

4 結(jié)語

本文提出了一種基于小波緊框架的彩色圖像泊松去噪模型．該模型是由保真項(xiàng)和正則項(xiàng)構(gòu)成的變分問題．基于泊松噪聲的概率密度函數(shù)特征,保真項(xiàng)為賦權(quán)的二范數(shù)項(xiàng),與此同時(shí),本文在正則項(xiàng)中引入小波緊框架,從而更好地保持了圖像的棱角細(xì)節(jié)．緊接著,本文又提出了解決上述模型的重新賦權(quán)的split Bregman算法．最后,又給出了該算法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果,結(jié)果顯示該算法具有一定的實(shí)用性和應(yīng)用推廣價(jià)值.