原博
(山西工程職業(yè)學(xué)院,山西太原 030009)
生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域目前對于病原體毒性適應(yīng)性進(jìn)化的一個比較合理的解釋是病原體毒性與病原體誘導(dǎo)的宿主死亡率之間存在一定的權(quán)衡關(guān)系。目前,對于單同態(tài)病原體毒性進(jìn)化機制有了較為深入的研究,但是對于雙同態(tài)病原體毒性進(jìn)化機制的研究還較少,因此有必要建立一個具體的SI1I2模型來研究雙同態(tài)病原體毒性的適應(yīng)性進(jìn)化機制。利用適應(yīng)動力學(xué)的方法來研究模型能否出現(xiàn)進(jìn)化穩(wěn)定共存的進(jìn)化效果。同時,利用進(jìn)化入侵分析的方法研究雙同態(tài)病原體毒性特征在進(jìn)化穩(wěn)定共存之后是停止進(jìn)化變成兩種具有不同毒性的病原體,還是其中一支進(jìn)化滅絕。
一旦病原體的毒性特征進(jìn)化到進(jìn)化分支點附近時,變異病原體與原駐病原體在進(jìn)化分支點附近可能共存并發(fā)散進(jìn)化。這種情況下,被雙同態(tài)病原體感染的宿主的種群動力學(xué)模型就是直接在單重感染的SI模型中加入被帶有毒性v2的病原體感染的感染者I2,因此可以得到模型I。
該模型中,b表示宿主的出生率,v1表示被帶有毒性v1的病原體感染的感染者的因病死亡率,v2表示被帶有毒性v2的病原體感染的感染者的因病死亡率,不同的病原體因為毒性v不同,相應(yīng)的傳染率β(v)也就不同。同時假設(shè)死亡率m(N)=m0+m1N仍然是線性密度依賴函數(shù)。
令模型I的右端等于零,并且令
當(dāng)滿足條件d1>0,d2>0,d3>0時,可得模型Ⅰ唯一的正平衡點如下:
由Routh-Hurwitz定理可得:所有的3×3矩陣的根都在負(fù)半平面的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)其跡和特征值都是負(fù)的,且M·trA-DetA<0,其中M為A的主子式之和[1]。通過直接計算,可以得到:
在模型Ⅰ正平衡點存在并且穩(wěn)定的條件下,考慮v1和v2可以共存,討論雙同態(tài)病原體毒性特征最終的進(jìn)化情況。即接下來要考慮的是兩種病原體毒性的特征v1,v2都為正的情形。當(dāng)突變是稀少的并且突變很小時,假設(shè)突變可能在任何時間出現(xiàn)在這兩種病原體中的任意一種之中,但是不能出現(xiàn)兩種病原體毒性都發(fā)生突變的情況。當(dāng)帶有突變毒性vm的病原體以較低的密度出現(xiàn)時,可得變異病原體的入侵適合度為:
帶有變異毒性vm的病原體命運將由入侵適合度s(vm,v1,v2)來決定,毒性特征v1和毒性特征v2的進(jìn)化方向?qū)⒂删植窟x擇梯度g(v1,v2)和g2(v1,v2)來決定,其中g(shù)1(v1,v2)和g2(v1,v2)的形式如下:
由參考文獻(xiàn)[3]相關(guān)結(jié)果可知,雙同態(tài)病原體的毒性特征(v1,v2)將一步一步地進(jìn)化,當(dāng)入侵適合度大于零時,變異的病原體可以入侵并替代原駐病原體。
當(dāng)突變是稀少的且突變很小時,可知毒性特征v1和v2的進(jìn)化動力學(xué)模型如下:
其中τ代表的是進(jìn)化時間尺度,g1(v1,v2)和g2(v1,v2)分別代表相應(yīng)的局部選擇梯度,n1(v1,v2)和n2(v1,v2)分別表示毒性特征v1和v2的進(jìn)化速率,其描述了變異的過程如何影響進(jìn)化的速度。具體的來說
其中μ1和μ2表示單位時間內(nèi)每個被帶有相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者出生的個體發(fā)生突變的概率;σ21和σ22表示被帶有相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者的表型效應(yīng)方差;代表模型Ⅰ在正平衡態(tài)處被帶有相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者的種群密度[4]。為了研究雙同態(tài)病原體毒性進(jìn)化的最終結(jié)果,采取以下策略。
首先要確定出現(xiàn)雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略的權(quán)衡函數(shù)所滿足的條件。
因為斜率β'(vi),(i=1,2)既依賴于v1也依賴于v2,從條件Ⅷ可以看出,任意一個權(quán)衡函數(shù)要存在雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略的條件是必須在兩個不同的點處有相同的斜率,所以對于權(quán)衡函數(shù)是全局凹的情況和全局凸的情況下都不可能存在雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略。把模型Ⅰ的正平衡點代入條件Ⅷ,可以得到要求的兩個點的斜率為
1.5.1 進(jìn)化奇異策略的收斂穩(wěn)定性
當(dāng)滿足條件Ⅱ時,模型Ⅰ的正平衡點是存在并且是局部漸近穩(wěn)定的,此時如果則雅可比矩陣J的行列式值是正的,并且J的跡卻是負(fù)的[8],所以(v1*,v2*)是局部收斂穩(wěn)定的。因此如果權(quán)衡函數(shù)在v1*和v2*兩點處是局部凹的,那么雙同態(tài)的奇異策略是局部收斂穩(wěn)定的。
1.5.2 進(jìn)化奇異策略的進(jìn)化穩(wěn)定性
當(dāng)滿足條件
從定理1可以看出,如果權(quán)衡函數(shù)是凹-凸-凹形式的,并且在奇異策略處的凸性比臨界函數(shù)更弱,那么進(jìn)化分支現(xiàn)象是可能出現(xiàn)的,當(dāng)進(jìn)化分支發(fā)生以后,如果存在一個雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策路是收斂穩(wěn)定的,那么通過進(jìn)化分支出現(xiàn)的雙同態(tài)是一個穩(wěn)定共存的雙同態(tài),這兩種不同毒性的病原體可以長期進(jìn)化穩(wěn)定共存。因此最終的進(jìn)化結(jié)果包含兩種不同毒性的病原體,且這兩種病原體是可以長期穩(wěn)定共存的。
為了驗證模型Ⅵ可能出現(xiàn)的雙同態(tài)病原體的進(jìn)化穩(wěn)定共存的現(xiàn)象,假設(shè)宿主死亡率是密度依賴的線性函數(shù),并取權(quán)衡函數(shù)為:
并且必須保證權(quán)衡函數(shù)β(v)是隨著v單調(diào)增加的,同時β(v)還滿足條件Ⅱ。這時候權(quán)衡函數(shù)是凹-凸-凹形式的,且此時在奇異策略A處凸性比臨界函數(shù)更弱,從圖1a可以發(fā)現(xiàn)奇異策略A=0.360是收斂穩(wěn)定,但不是進(jìn)化穩(wěn)定的,因此在凸區(qū)域的部分會出現(xiàn)進(jìn)化分支的現(xiàn)象。進(jìn)化分支出現(xiàn)以后,依賴于初始特征值,這兩種病原體的毒性特征將會按照模型Ⅵ進(jìn)化。通過數(shù)值模擬,可以在特征空間中找到2個進(jìn)化奇異策略E1和E2(如圖1a)。因此由定理1可以看出雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略E1和E2都是收斂穩(wěn)定且是進(jìn)化穩(wěn)定[9]。
典型的特征進(jìn)化圖如圖1a所示,奇異策略A=0.360是收斂穩(wěn)定但不是進(jìn)化穩(wěn)定的。因此,在A的附近,進(jìn)化分支會在灰色的區(qū)域發(fā)生。進(jìn)化分支發(fā)生以后,毒性特征只依賴于分支時的初始特征值,進(jìn)化收斂到一個雙同態(tài)的進(jìn)化奇異策略E1和E2。相應(yīng)的模擬特征進(jìn)化樹的圖如圖1b所示。當(dāng)初始特征值v=0.35時,在奇異策略A的附近,原駐毒性的病原體分支成2種不同毒性的病原體,其中一支的毒性特征從初始值開始增加,而另一支的毒性特征從初始值開始減小,并最終收斂到進(jìn)化穩(wěn)定的平衡點(v2*,v2*)=(0.22,0.46)。黑色實線代表毒性特征v1的等斜線;黑色虛線代表毒性特征v2的等斜線,而且當(dāng)毒性的特征發(fā)生進(jìn)化時,被相應(yīng)毒性的病原體感染的感染者的種群密度在圖1c中表示出來,圖1d中表示的是當(dāng)毒性特征進(jìn)化時的易感者在平衡態(tài)處的種群密度。由此,可以看到雙同態(tài)的病原體可以長期進(jìn)化并穩(wěn)定共存。
圖1 雙同態(tài)病原體進(jìn)化穩(wěn)定共存實例
本文主要研究了雙同態(tài)病原體毒性特征的進(jìn)化機制,首先建立了雙同態(tài)病原體的種群動力學(xué)模型,并證明了模型正平衡點存在和穩(wěn)定的條件;在此條件下進(jìn)一步推導(dǎo)出雙同態(tài)病原體的進(jìn)化動力學(xué)模型,得出雙同態(tài)病原體穩(wěn)定共存的條件,通過數(shù)值模擬驗證了本文給出的權(quán)衡函數(shù)的條件下雙同態(tài)病原體進(jìn)化穩(wěn)定共存的進(jìn)化現(xiàn)象。