全概率公式教學(xué)探究

王江

摘?要：全概率公式具有廣泛的應(yīng)用和豐富的內(nèi)涵.通過兩個問題，從條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性入手，導(dǎo)出全概率公式的定義，挖掘全概率公式的內(nèi)涵，找到應(yīng)用全概率公式的關(guān)鍵所在是完備事件組，化解全概率公式的教學(xué)難點.

關(guān)鍵詞：全概率公式;完備事件組

概率論是高職院校公共基礎(chǔ)課《高等數(shù)學(xué)》中重要的一章，也是與生活最為密切相關(guān)的.全概率公式應(yīng)該是從高中到大學(xué)在概率論中遇到的第一個難點和重點，因為全概率公式是以條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性為基礎(chǔ)建立的，同時又是貝葉斯公式的基礎(chǔ).教材所給的定義和公式相對簡單，一目了然，難在如何應(yīng)用全概率公式解決實際問題，因此，在全概率公式的教學(xué)中，應(yīng)重點引導(dǎo)學(xué)生去理解全概率公式的內(nèi)涵.

一、實例引入，提出問題

新知識的產(chǎn)生必定以實際問題為背景，以已有知識為基礎(chǔ)，全概率的學(xué)習(xí)可通過以下兩個問題為出發(fā)點.

問題1?一個盒子中裝有10個球，其中有4個白球，6個黑球，采取不放回抽樣，每次取一個，求第二次取到白球的概率.

問題2?一個盒子中裝有10個球，其中有3個白球，2個黑球，5個紅球，采取不放回抽樣，每次取一個，求第二次取到白球的概率.

說明：這兩個問題在有相似性，在教學(xué)中應(yīng)該預(yù)留足夠的時間讓學(xué)生分組討論，在討論過程中教師應(yīng)幫助學(xué)生回憶條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性相關(guān)知識.實際上，問題1中設(shè) “第一次取到白球”， “第二次取到白球”，則;問題2中設(shè)分別為第一次取到白球、黑球、紅球， “第二次取到白球”，則.

二、歸納新知，剖析內(nèi)涵

通過問題1、2歸納總結(jié)，這兩個問題的共性是將所求事件轉(zhuǎn)化成兩個事件的乘積，兩個事件的乘積又可轉(zhuǎn)化成若干個互斥事件的和，于是所求事件的概率可以轉(zhuǎn)化成若干個互斥事件的概率之和，再利用事件乘法的概率公式得到全概率公式.

導(dǎo)出全概率公式之后，討論全概率公式的內(nèi)涵，即：事件發(fā)生的概率不易直接求得，但積事件的概率可通過乘法公式易求得，即.由此可知利用全概率公式解決實際問題，關(guān)鍵在于找到樣本空間的一個完備事件組，把一個復(fù)雜隨機(jī)事件分解成若干個互斥的簡單隨機(jī)事件，形成一個隨機(jī)事件組，然后利用互斥隨機(jī)事件概率的可加性，最后利用隨機(jī)事件的乘法公式求出各部分相交隨機(jī)事件的概率，進(jìn)而解決整個問題.[2]全概率公式體現(xiàn)了一個化整為零的重要數(shù)學(xué)思想，和定積分的微元法有異曲同工之妙，教學(xué)中應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生這種思維模式.

為了更加直觀的理解全概率公式，在教學(xué)中可充分利用Venn圖進(jìn)行解釋，事件與樣本空間的一個劃分的每一部分都有交集，直接求事件的概率沒有頭緒，通過求積事件概率的和，求得事件的概率，如果是為“原因”，那么就是“結(jié)果”，每個原因都可能導(dǎo)致發(fā)生，故發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生的概率的總和.[3]

三、強(qiáng)化訓(xùn)練，知識內(nèi)化

全概率公式講解透徹之后，必要的例子能強(qiáng)化學(xué)生對全概率公式的理解，完成知識的建構(gòu)和內(nèi)化.

四、課堂總結(jié)、完善認(rèn)知

直接應(yīng)用加法公式與乘法公式可以計算一些較簡單事件的概率.但在計算一些復(fù)雜事件的概率時，往往將其分解成若干個互不相容的比較簡單的事件的和（即劃分完備事件組），然后分別計算出這些簡單事件的概率，最后根據(jù)概率的可加性求得復(fù)雜事件的概率，這就是全概率公式.在教學(xué)中要注重對概率基本理論的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生利用概率方法建立概率模型，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，使之符合高職院校培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目的.

參考文獻(xiàn)

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2008：17-18.

[2]王鵬飛.全概率公式的教學(xué)研究[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報，2018，34（2）：11-13.

[3]李春娥，張曉，徐翔燕.全概率公式的教學(xué)研究[J].高教視野，2020，13-14.